增廣拉格朗日雙邊全變分壓縮成像重構(gòu)算法

高宇軒,孫華燕,張廷華

(1.航天工程大學(xué)研究生院,北京 101416;2.航天工程大學(xué)電子與光學(xué)工程系,北京 101416)

1 引 言

壓縮感知(Compressive Sensing,CS)[1-2]理論的出現(xiàn)使得基于稀疏表示的圖像非線性重建得到廣泛關(guān)注,該理論表明如果信號(hào)在某個(gè)變換域上是稀疏的或可稀疏表示,就可通過一個(gè)與該稀疏變換矩陣Ψ不相關(guān)的測(cè)量矩陣Φ將高維信號(hào)投影到低維空間。這些投影包含了重構(gòu)圖像所需要的大部分信息,因此可以通過求解稀疏最優(yōu)化問題從低維觀測(cè)向量精確地重構(gòu)出原始目標(biāo)圖像。

目標(biāo)圖像的稀疏重構(gòu)是從低維觀測(cè)信號(hào)中恢復(fù)出高維信號(hào)的過程,是一個(gè)典型的病態(tài)或不對(duì)稱反問題。目前,重構(gòu)算法主要包括貪婪算法和凸優(yōu)化算法兩大類。貪婪算法是解決基于l0范數(shù)最小化模型提出的經(jīng)典重構(gòu)算法,典型算法有MP[3]算法和OMP[4]算法、分段正交匹配追蹤(StOMP)[5]算法和壓縮采樣匹配追蹤(CoSaMP)[6]算法等。凸優(yōu)化算法是將信號(hào)恢復(fù)問題從求解l0范數(shù)問題轉(zhuǎn)化成為求解最小l1范數(shù)的凸優(yōu)化問題,比較具有代表性的凸優(yōu)化算法有基追蹤(BasisPursuit,BP)[7]算法、內(nèi)點(diǎn)法、稀疏梯度投影算法[8]和全變分(Total Variation,TV)算法[9]等,其中TV算法在圖像重構(gòu)中的應(yīng)用較為廣泛。但是,目前的TV算法[10-11]仍然存在圖像高頻邊緣信息保持較差或目標(biāo)函數(shù)求解效率較低等問題。

本文在TV算法的基礎(chǔ)上,提出了增廣拉格朗日雙邊全變分重構(gòu)算法(BTV minimization scheme based on augmented Lagrangian and alternating direction algorithms,BTVAL3),首先引入雙邊濾波保持圖像邊緣特性,然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為增廣拉格朗日函數(shù),利用交替方向法求解函數(shù)模型的最優(yōu)解,并在迭代過程中選用最速下降法優(yōu)化了目標(biāo)函數(shù)求解效率。

2 TV算法

TV算法是Candes等人從稀疏性在絕大多數(shù)自然圖像的離散梯度向量中都能得到滿足的角度出發(fā),通過對(duì)梯度的稀疏性進(jìn)行描述并求解,提出的一種適合二維圖像壓縮重構(gòu)的算法。它通過計(jì)算圖像梯度之和作為一個(gè)平滑處理的參考量。TV正則項(xiàng)可以表示為:

(1)

其中,x是原始圖像;Dix代表對(duì)圖像每個(gè)像素橫向和縱向進(jìn)行離散梯度計(jì)算。Φ是測(cè)量矩陣;y是x通過Φ得到的測(cè)量值?！ぁ阕涌梢允莑1范數(shù)或者是l2范數(shù),分別對(duì)應(yīng)各項(xiàng)異性的TV和各項(xiàng)同性的TV。l2范式會(huì)減少恢復(fù)出來的圖像的鋸齒邊界,默認(rèn)選擇l2范式,這是一個(gè)典型的有約束的最優(yōu)化問題。

基于TV算法對(duì)圖像進(jìn)行重構(gòu)時(shí),一般情況下利用TVl1l2作為衡量圖像離散梯度值的標(biāo)準(zhǔn)[12],定義為:

(2)

其中,Dh和Dv依次代表梯度操作子在水平與垂直方向的取值;x代表輸入圖像。如果用(i,j)代表x(維數(shù)為M×N)中某一像素點(diǎn)的位置信息(1≤i≤M,1≤j≤N),則水平和垂直方向的梯度可依次描述為:

(3)

(4)

上述算法中,對(duì)離散梯度的標(biāo)準(zhǔn)定義格式如圖1所示,圖1(a)描述了圖像中任一像素點(diǎn)的梯度標(biāo)準(zhǔn)格式,圖1(b)和圖1(c)分別代表所有像素的梯度分別在水平和垂直方向上的定義。

圖1 梯度定義Fig.1 The definition of gradient

TV算法在重構(gòu)過程中對(duì)圖像全域搜索,需要對(duì)每個(gè)像素進(jìn)行橫向與縱向的梯度求解,這在一定程度上會(huì)造成圖像邊緣信息與平滑區(qū)域內(nèi)的噪聲混淆,因而出現(xiàn)邊緣信息退化、對(duì)比度降低等現(xiàn)象。

3 BTVAL3算法

3.1 雙邊全變分正則化

雙邊濾波同時(shí)考慮像素點(diǎn)的空域信息和值域信息,對(duì)圖像邊緣等高頻信息保存結(jié)果較好,能夠解決TV算法中存在的邊緣信息退化、對(duì)比度降低等問題。將雙邊濾波應(yīng)用于全變分,既有對(duì)圖像像素之間的空間關(guān)系的約束,也有對(duì)像素間的灰度關(guān)系的約束[11],與TV正則化算法相比,能夠在抑制噪聲的同時(shí)進(jìn)一步去除圖像中的虛假邊界,更好地保持圖像的邊緣特性[10]。雙邊全變分正則化函數(shù)項(xiàng)可以表示為:

(5)

雙邊全變分正則化算子本質(zhì)上就是將點(diǎn)(i,j)的像素值與其p×p范圍鄰域內(nèi)的其他像素點(diǎn)的像素值之差以一定比例反饋到該點(diǎn)。雙邊濾波具有較好的邊緣保持功能[14]。雙邊全變分差分定義如圖2所示。

圖2 BTV差分定義Fig.2 The gradient definition of BTV

雙邊全變分正則化方法是對(duì)其他常用正則化方法的推廣[12],如果限制m和l在m=1,l=0或者m=0,l=1并且α=1這兩種情況時(shí),可以定義算子Qh和Qv作為一階導(dǎo)數(shù)(Qh=x-Sh,Qv=x-Sv),那么上式就可以表示為:

ΥBTV(x)=‖Qhx‖1+‖Qvx‖1

(6)

從上式中可以看出,與TV算法的表達(dá)式相一致,也就是說TV算法是雙邊全變分算法的一種特殊形式。

雙邊全變分預(yù)先設(shè)定窗口尺寸,每個(gè)像素的梯度求解過程僅在已設(shè)定的窗口范圍內(nèi)在水平和豎直方向同時(shí)梯度求解,這在很大程度較好地保持了圖像的邊緣特征以及細(xì)節(jié)信息。其中,參數(shù)的選擇受主觀影響較大[15],對(duì)算法的重構(gòu)性能以及算法的運(yùn)行速度有一定的影響。

根據(jù)以上分析可知,BTVAL3算法壓縮成像重構(gòu)模型則可以表示為:

(7)

3.2 基于增廣拉格朗日函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)求解

目標(biāo)函數(shù)式(7)不可微并且非線性,無法進(jìn)行直接求解。Rockafellar[17]提出的全局收斂性定理指出在每一步迭代過程中,即使不對(duì)子問題進(jìn)行精確求解也能達(dá)到全局收斂。因此,本文將目標(biāo)函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化成一系列無約束子問題,將拉格朗日算子應(yīng)用于目標(biāo)函數(shù)的求解過程,目標(biāo)函數(shù)的求解問題即可轉(zhuǎn)化為最小化增廣拉格朗日函數(shù)的問題。由式(1)和式(5)可得,BTVAL3算法中的目標(biāo)函數(shù)可以表示為:

(8)

(9)

在求解增廣拉格朗日函數(shù)的過程中需要高效地解決每一步迭代過程中的子問題,本文采用交替方向最小化方法克服子問題的非可微性及非線性。假設(shè)xk和gi,k是第k次迭代子問題的最優(yōu)解,進(jìn)而可以求得gi,k+1。由于求解過程非常復(fù)雜,因此選用梯度下降法來迭代求解式,在每次迭代過程中,梯度下降法都要更新梯度方向,數(shù)據(jù)較大的情況下,運(yùn)算代價(jià)非常大。因此,選用近似解xk作為起點(diǎn),只進(jìn)行一次梯度下降算法,求得xk+1。最后判斷是否滿足初始閾值,停止迭代,輸出結(jié)果。利用增廣拉格朗日函數(shù)算子求解目標(biāo)函數(shù)流程圖如圖3所示。

圖3 求解目標(biāo)函數(shù)流程圖Fig.3 The flow chart of solving objective function

4 仿真實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證BTVAL3算法相對(duì)于改進(jìn)前的全變分算法的重構(gòu)性能,進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)分析。實(shí)驗(yàn)以MATLAB_2014a為平臺(tái),選用Building標(biāo)準(zhǔn)圖像作為測(cè)試圖像,以高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣為編碼方式。實(shí)驗(yàn)結(jié)果以峰值信噪比PSNR值、重構(gòu)錯(cuò)誤率ERROR和結(jié)構(gòu)相似度SSIM為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。其中,PSNR值越大越好、ERROR值越小越好、SSIM值介于[0,1]之間,越接近1越好。由于測(cè)量率和噪聲水平對(duì)重構(gòu)算法性能都有較大的影響,因此實(shí)驗(yàn)比較分析了算法在不同測(cè)量率、不同噪聲水平下的重構(gòu)性能。為了避免實(shí)驗(yàn)結(jié)果的偶然性,取10次仿真結(jié)果的平均值作為最終實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

4.1 各算法在不同測(cè)量率下的重構(gòu)結(jié)果

為了分析本文提出的BTVAL3算法的重構(gòu)性能,本文將典型的OMP算法、SP算法、CoSaMP算法、IRLS算法、TVAL3算法進(jìn)行比較。以PSNR、ERROR、SSIM為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),各種算法在不同測(cè)量率下對(duì) Building 圖像的重構(gòu)結(jié)果分別如圖4～6所示。

圖4 各算法重構(gòu)圖像PSNR值Fig.4 The PSNR values of the reconstructed images of each algorithm

圖5 各算法重構(gòu)圖像ERROR值Fig.5 The ERROR values of the reconstructed images of each algorithm

圖6 各算法重構(gòu)圖像SSIM值Fig.6 The SSIM values of the reconstructed images of each algorithm

從圖4～6中各算法在不同測(cè)量率下的重構(gòu)圖像PSNR值曲線、重構(gòu)錯(cuò)誤率ERROR曲線以及結(jié)構(gòu)相似度SSIM曲線可以分析得出:TVAL3算法和BTVAL3算法的重構(gòu)性能在各測(cè)量率下優(yōu)于其他典型重構(gòu)算法。其中IRLS算法比較特殊,在未壓縮情況下重構(gòu)結(jié)果優(yōu)于其他算法。改進(jìn)的BTVAL3算法重構(gòu)性能相對(duì)于TVAL3算法而言,各測(cè)量率下重構(gòu)圖像的PSNR值提高約2 dB；重構(gòu)錯(cuò)誤率在測(cè)量率小于0.7時(shí)下降低10%左右,而測(cè)量率在大于0.7時(shí)錯(cuò)誤率降低2%左右；結(jié)構(gòu)相似度在測(cè)量率小于0.2時(shí)低于TVAL3算法,測(cè)量率介于0.2和0.7之間時(shí),BTVAL3算法的結(jié)構(gòu)相似度較TV算法相比提高0.1左右,測(cè)量率大于0.7時(shí)則相似度相差不大。

為了更直觀地表示重構(gòu)效果,在測(cè)量率為0.2和0.5時(shí)TVAL3算法與BTVAL3算法的重構(gòu)結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖7 測(cè)量率為0.2時(shí)重構(gòu)結(jié)果Fig.7 The reconstruction results when the measurement rate is 0.2

從圖7和圖8中可以看出,相同測(cè)量率下BTVAL3算法的重構(gòu)圖像輪廓信息更加清晰。

圖8 測(cè)量率為0.5時(shí)的重構(gòu)結(jié)果Fig.8 The reconstruction results when the measurement rate is 0.5

4.2 不同噪聲水平下的重構(gòu)結(jié)果

由于噪聲水平會(huì)對(duì)算法的重構(gòu)性能產(chǎn)生一定的影響,本節(jié)對(duì)BTVAL3算法對(duì)噪聲的魯棒性進(jìn)行了分析。根據(jù)4.1節(jié)可知,TVAL3算法與BTVAL3算法的性能優(yōu)越,遠(yuǎn)高于其他典型算法。因此,本節(jié)只對(duì)這兩種算法在不同噪聲水平下的重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行了分析比較。其中,在各測(cè)量率下的重構(gòu)結(jié)果相似,選擇測(cè)量率為0.5時(shí)Building圖像在高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣下不同噪聲水平的重構(gòu)結(jié)果如圖9～11所示。

圖9 不同噪聲水平下重構(gòu)圖像PSNR值Fig.9 The PSNR values of reconstructed image at different noise levels

圖10 不同噪聲水平下重構(gòu)圖像ERROR值Fig.10 The ERROR values of reconstructed image at different noise levels

圖11 不同噪聲水平下重構(gòu)圖像SSIM值Fig.11 The SSIM values of reconstructed image at different noise levels

從圖9～11中TVAL3算法與BTVAL3算法在不同噪聲水平下的重構(gòu)圖像PSNR值曲線、重構(gòu)錯(cuò)誤率ERROR曲線以及結(jié)構(gòu)相似度SSIM曲線可以分析得出:BTVAL3算法相對(duì)于TVAL3算法而言在相同測(cè)量率下隨著噪聲水平的提高,重構(gòu)圖像的PSNR值降低的很小,基本保持不變；重構(gòu)錯(cuò)誤率增加的很緩慢,而且重構(gòu)錯(cuò)誤率很低,低于TVAL3算法10%左右；結(jié)構(gòu)相似度隨著噪聲水平的提高,略高于TVAL3算法,但是相差不明顯?？梢钥闯?BTVAL3算法不同噪聲具有更好的魯棒性。

5 結(jié) 論

本文在TV算法的基礎(chǔ)上引入雙邊濾波思想,通過同時(shí)對(duì)圖像像素之間的空間關(guān)系和灰度關(guān)系進(jìn)行約束,彌補(bǔ)了全變分正則項(xiàng)求解過程中對(duì)全域進(jìn)行差分導(dǎo)致的圖像邊緣信息模糊的不足。求解過程中通過在目標(biāo)函數(shù)中加入拉格朗日算子,將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為加入增廣拉格朗日函數(shù),利用交替方向法求解該函數(shù)最小值,迭代過程中選擇梯度下降法進(jìn)行求解,可使算法得到優(yōu)化,運(yùn)算速率得到提升。最后利用MATLAB程序進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),證明改進(jìn)的BTVAL3算法相對(duì)于TVAL3算法能夠更好地保持圖像的邊緣信息,在不同測(cè)量率下重構(gòu)圖像的結(jié)構(gòu)相似度提高了0.1、PSNR提高了2 dB,重構(gòu)圖像錯(cuò)誤率降低了10%左右,并且BTVAL3算法對(duì)噪聲也具有較好的魯棒性,圖像重構(gòu)質(zhì)量得到進(jìn)一步提高。