高職高等數(shù)學(xué)中逆矩陣的求法及應(yīng)用

周 同，杜珍珍

（銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 銅陵 244000）

1 引言

矩陣是高職數(shù)學(xué)線性代數(shù)的核心內(nèi)容，利用矩陣研究問題，可以抓住問題的本質(zhì)，簡化問題的復(fù)雜程度。矩陣在自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理學(xué)等多學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用。在矩陣教學(xué)過程中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生不會(huì)求逆矩陣，而求逆矩陣是矩陣運(yùn)算的一個(gè)難點(diǎn)。本文針對(duì)這種情況，總結(jié)了適合高職學(xué)生的常見的三種求逆矩陣的方法，并給出了逆矩陣的一些實(shí)際應(yīng)用。

2 求逆矩陣的三種常用方法

2.1 定義法（待定系數(shù)法）

定義1：設(shè)A為n階方陣，如果存在n階方陣B，使得AB=BA=E,則稱A是可逆矩陣，B稱為A的逆矩陣，記作 A-1，即 B=A-1。

結(jié)論：定義法又稱待定系數(shù)法，它是根據(jù)逆矩陣的定義，通過待定系數(shù)設(shè)逆矩陣，利用矩陣的乘法和矩陣相等的定義，通過解線性方程組就可以求得逆矩陣。在求解過程中我們可以發(fā)現(xiàn)，2階矩陣求逆矩陣需要解4個(gè)方程，以此類推可知，3階矩陣求逆矩陣需要解9個(gè)方程，4階矩陣求逆矩陣需要解16個(gè)方程，n階矩陣求逆矩陣需要解n2個(gè)方程，計(jì)算量相當(dāng)繁瑣且易出錯(cuò)，因此，此種方法一般應(yīng)用于低階矩陣的逆矩陣求法。

2.2 伴隨矩陣法

結(jié)論：這種求逆矩陣的方法稱為伴隨矩陣法，求解過程中只要會(huì)求該矩陣對(duì)應(yīng)的行列式的值及伴隨矩陣即可代入公式計(jì)算。在求解過程中我們可以發(fā)現(xiàn)，3階或3階以上矩陣，需要求9個(gè)或9個(gè)以上的代數(shù)余子式，還要計(jì)算一個(gè)3階或3階以上的行列式，計(jì)算量大還很容易出錯(cuò)，因此，該方法一般適用于階數(shù)不超過3階的矩陣求逆矩陣。

2.3 初等變換法

在矩陣A的右邊寫一個(gè)同階的單位矩陣E，構(gòu)成一個(gè)n×2n矩陣，用初等行變換將左半部分的A化成單位矩陣E，與此同時(shí)，右半部分的E就被化成了。 同理，也可以使用初等列變換的方法，求逆矩陣，即

結(jié)論：初等變換法多用于三階及三階以上的矩陣求逆，其解題思路可歸結(jié)為：1.變?yōu)樯先欠疥嚕?.變?yōu)閷?duì)角方陣；3.變?yōu)閱挝环疥?。需要注意的是，?dāng)用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣時(shí)，必須始終采用行變換，絕對(duì)不可作列變換；如果在作初等行變換時(shí)，出現(xiàn)了零行，則說明它的行列式為零，該矩陣是不可逆的；此種方法計(jì)算過程涉及數(shù)據(jù)較多，只要一個(gè)數(shù)錯(cuò)了，結(jié)果就會(huì)不對(duì)，因此計(jì)算過程要求特別細(xì)心，最好對(duì)計(jì)算結(jié)果加以驗(yàn)證。

3 可逆矩陣的應(yīng)用

3.1 在解線性方程組的應(yīng)用

設(shè)線性方程組為

它用矩陣形式表示為AX=B

其中

對(duì)矩陣方程AX=B，兩邊同時(shí)左乘矩陣A的逆矩陣A-1可知：A-1AX=A-1B，而A-1A=E，得到方程的解為X=A-1B。

例4：解線性方程組

解：該線性方程組的矩陣形式為AX=B，其中

如果A-1存在，可用A-1左乘等式的兩邊，得A-1AX=A-1B，即，X=A-1B,

3.2 在保密通信中的應(yīng)用

基于加密技術(shù)保密通信模型如下：

其原理是：發(fā)送方采用某種算法將明文數(shù)據(jù)加密轉(zhuǎn)換成密文數(shù)據(jù)后發(fā)送給接受方，接受方則可以采用相對(duì)應(yīng)的某種算法將密文數(shù)據(jù)解密轉(zhuǎn)換成明文數(shù)據(jù)。

從該模型可知，一種加密技術(shù)是否有效，關(guān)鍵在于密文是否能還原成明文。設(shè)有矩陣方程AB=C，其中B為未知矩陣，若矩陣A可逆，則B=A-1C。故可逆矩陣可以很好地應(yīng)用于加密技術(shù)。

設(shè)A為可逆矩陣，B為明文矩陣，C為密文矩陣。加密時(shí)，采用下面的矩陣乘法C=AB；解密時(shí)，采用下面的矩陣乘法B=A-1C。

例5：在學(xué)完矩陣這章后，某數(shù)學(xué)老師給本班學(xué)生發(fā)了一封密信，他有一個(gè)三階矩陣可知矩陣A可逆，且

他們約定：消息的每一個(gè)英文字母用一個(gè)整數(shù)來表示：

師發(fā)給學(xué)生的密信的內(nèi)容。

解：設(shè)密信內(nèi)容矩陣為X，則：

由英文字母和整數(shù)間的對(duì)應(yīng)可得到密信內(nèi)容為“I LOVE MATH”。

4 結(jié)束語

鑒于高職學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，學(xué)習(xí)積極性不高，總感覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是無用的，本文給出了適合高職學(xué)生的求逆矩陣的三種方法，通俗易懂，然后利用逆矩陣知識(shí)去解決一些實(shí)際問題。這樣，讓學(xué)生感覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是枯燥無用的，它在我們實(shí)際生活中有很重要的作用。