分位數(shù)向量自回歸分布滯后模型及脈沖響應(yīng)分析

許啟發(fā)劉 曦蔣翠俠虞克明

(1.合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院,安徽合肥230009;2.合肥工業(yè)大學(xué)過(guò)程優(yōu)化與智能決策教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽合肥230009;3.Department of Mathematics,Brunel University,London UB8 3PH,UK)

1 引 言

時(shí)間序列分析是一種動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)分析與處理方法,為揭示決策變量的動(dòng)態(tài)行為特征及其相互之間動(dòng)態(tài)影響關(guān)系提供了基本工具,在實(shí)踐中獲得了廣泛應(yīng)用、取得了很好的應(yīng)用價(jià)值,成為一個(gè)重要的研究領(lǐng)域.時(shí)間序列可以視為隨機(jī)過(guò)程的一次樣本實(shí)現(xiàn),其分析方法大體經(jīng)歷了從確定到隨機(jī)、從一元到多元、從線(xiàn)性到非線(xiàn)性等發(fā)展歷程.隨著差異化統(tǒng)計(jì)需求的發(fā)展,時(shí)間序列平均取值信息難以滿(mǎn)足決策需求,如:VaR風(fēng)險(xiǎn)管理側(cè)重于尾部風(fēng)險(xiǎn)特征的描述,人們?cè)絹?lái)越傾向于研究時(shí)間序列完整分布特征的變動(dòng)規(guī)律.為此,在分位數(shù)回歸框架下進(jìn)行多元時(shí)間序列分析,能夠揭示在不同分位點(diǎn)處變量之間的異質(zhì)影響關(guān)系,從而提供更多有用信息,便于科學(xué)決策,本文對(duì)此開(kāi)展研究.

為研究多個(gè)時(shí)間序列之間的關(guān)系,Sims[1]提出了向量自回歸(vector autoregressive model,VAR)模型.VAR模型采用多方程聯(lián)立的形式,通過(guò)每一個(gè)內(nèi)生變量對(duì)模型全部?jī)?nèi)生變量的滯后值進(jìn)行回歸,從而估計(jì)全部?jī)?nèi)生變量的動(dòng)態(tài)關(guān)系,避免了變量?jī)?nèi)生性與外生性的劃分以及模型識(shí)別等復(fù)雜問(wèn)題.VAR模型建模過(guò)程非常簡(jiǎn)單,只需進(jìn)行兩個(gè)關(guān)鍵性的選擇:(1)變量選擇,在系統(tǒng)邊界范圍內(nèi),選擇關(guān)聯(lián)關(guān)系緊密的變量建立模型系統(tǒng);(2)滯后階數(shù)選擇,在可能整數(shù)取值范圍內(nèi),選擇能夠揭示變量間真實(shí)關(guān)系的最優(yōu)滯后階數(shù).在多元時(shí)間序列分析中,VAR模型占據(jù)非常重要的地位,一方面它能夠同時(shí)捕捉多個(gè)時(shí)間序列之間的線(xiàn)性依賴(lài)關(guān)系,準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律;另一方面它可以為許多其他時(shí)間序列分析方法提供基礎(chǔ),如:基于VAR模型的脈沖響應(yīng)分析、Granger因果分析、協(xié)整分析等.因此,VAR模型在實(shí)踐中獲得了廣泛的應(yīng)用,如:劉向麗等[2]通過(guò)高頻數(shù)據(jù),使用VAR模型研究了中國(guó)期貨市場(chǎng)收益率與交易量之間日內(nèi)變動(dòng)模式;王曦等[3]使用VAR模型與脈沖響應(yīng)分析,比較了各種貨幣政策工具、目標(biāo)和作用效果,識(shí)別反通貨膨脹的貨幣政策有效性;李湘梅等[4]使用VAR模型與脈沖響應(yīng)分析、方差分解等,研究中國(guó)能源消費(fèi)碳排放影響因素.

然而,以上研究工作都是在均值意義下開(kāi)展的,只能描述響應(yīng)變量條件均值的變動(dòng)規(guī)律.按照統(tǒng)計(jì)學(xué)觀(guān)點(diǎn),均值只是隨機(jī)變量分布的局部特征,當(dāng)響應(yīng)變量服從非對(duì)稱(chēng)分布或者散布較大時(shí),均值很難具有代表性.完整地描述隨機(jī)變量變動(dòng)規(guī)律需要依賴(lài)于分布函數(shù).為此,Koenker等[5]提出了分位數(shù)回歸,主要目的在于細(xì)致地刻畫(huà)解釋變量對(duì)響應(yīng)變量整個(gè)條件分布的影響.王新宇等[6]考慮金融資產(chǎn)收益與正負(fù)收益對(duì)分位數(shù)沖擊的非對(duì)稱(chēng)性,建立含有非對(duì)稱(chēng)絕對(duì)值和斜率設(shè)定的AAVS-CAViaR模型,采用混合最優(yōu)化方法估計(jì)模型的參數(shù)并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).許啟發(fā)等[7]提出了分位數(shù)局部調(diào)整模型,實(shí)證結(jié)果表明,在不同分位點(diǎn)處,調(diào)整速度與調(diào)整方式都呈現(xiàn)出非對(duì)稱(chēng)性.運(yùn)用分位數(shù)回歸方法,史金鳳等[8]對(duì)金融市場(chǎng)穩(wěn)定進(jìn)行了檢驗(yàn),王新宇等[9]描述了在不同分位點(diǎn)處IPO收益率與交易量之間的異質(zhì)性關(guān)系.Xu等[10]更進(jìn)一步使用非線(xiàn)性分位數(shù)回歸方法,研究了美國(guó)非線(xiàn)性Phillips曲線(xiàn),并給出產(chǎn)出缺口變化對(duì)通貨膨脹條件概率密度的影響.許啟發(fā)等[11]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分位數(shù)回歸模擬金融系統(tǒng)的非線(xiàn)性結(jié)構(gòu),同時(shí)結(jié)合極值理論彌補(bǔ)非線(xiàn)性分位數(shù)回歸對(duì)極端尾部數(shù)據(jù)信息處理能力的不足,并將其應(yīng)用于極端VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度.這些研究工作一致表明,分位數(shù)回歸能夠彌補(bǔ)均值回歸的不足,可以更加細(xì)致地描述經(jīng)濟(jì)規(guī)律在不同分位點(diǎn)處的異質(zhì)效應(yīng),從而提供更多有用信息,便于科學(xué)決策.

在時(shí)間序列分析領(lǐng)域,均值回歸框架下的諸多經(jīng)典模型與方法,紛紛擴(kuò)展到分位數(shù)回歸框架下.Koenker等[12]將自回歸模型擴(kuò)展到分位數(shù)回歸框架下,提出了分位數(shù)自回歸(QAR)模型,其自回歸系數(shù)具有分位點(diǎn)依賴(lài)性,隨著分位點(diǎn)變化而變化.陳磊等[13]使用分位數(shù)自回歸(QAR)模型,對(duì)石油期貨收益率的分布特征與石油市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)特征進(jìn)行了定量研究,發(fā)現(xiàn)前期油價(jià)漲跌對(duì)石油期貨收益存在明顯的非對(duì)稱(chēng)影響.Engle等[14]在QAR框架下提出了CAViaR模型,用于描述風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR)的變動(dòng)規(guī)律.Xu等[15]研究了QAR模型對(duì)金融危機(jī)的預(yù)測(cè)能力,發(fā)現(xiàn)CAViaR模型的預(yù)測(cè)能力優(yōu)于QAR模型.Gourieroux等[16]研究了動(dòng)態(tài)加性分位數(shù)模型,該模型一方面具有很好的自回歸性質(zhì),體現(xiàn)分位數(shù)的動(dòng)態(tài)效應(yīng);另一方面具有很好的包容性,概括了幾類(lèi)經(jīng)典的線(xiàn)性與非線(xiàn)性分位數(shù)自回歸模型.葉五一等[17]使用動(dòng)態(tài)分位數(shù)回歸方法,通過(guò)回歸系數(shù)函數(shù)變化趨勢(shì)對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)傳染問(wèn)題進(jìn)行檢驗(yàn)和預(yù)測(cè).更進(jìn)一步,Galvao等[18]在QAR模型中引入外生變量,提出了分位數(shù)自回歸分布滯后(QARDL)模型.White等[19]將QAR模型擴(kuò)展到多元情形的向量分析框架下,提出分位數(shù)向量自回歸(QVAR)模型,可用于討論不同隨機(jī)變量尾部之間的關(guān)聯(lián)程度.

本文在QVAR模型基礎(chǔ)上,引入外生解釋變量及其滯后項(xiàng),建立高階分位數(shù)向量自回歸分布滯后(QVARDL)模型,該模型不僅能夠考慮內(nèi)生解釋變量之間的相互影響,而且可以討論外生解釋變量所帶來(lái)的在不同分位點(diǎn)處的異質(zhì)影響,從而將White等[19]的QVAR模型向前推進(jìn)一步.本文主要開(kāi)展了四個(gè)方面新的研究工作:第一,給出了高階QVARDL(p,q)模型的數(shù)學(xué)表示及參數(shù)估計(jì)方法;第二,建立了用于最優(yōu)滯后階數(shù)p與q選擇的信息準(zhǔn)則;第三,推導(dǎo)了基于QVARDL(p,q)模型的分位數(shù)脈沖響應(yīng)過(guò)程;第四,將QVARDL(p,q)模型及分位數(shù)脈沖響應(yīng)分析應(yīng)用于解釋美國(guó)次貸危機(jī)的影響.研究結(jié)果顯示:本文的模型與方法能夠同時(shí)刻畫(huà)多個(gè)時(shí)間序列在多個(gè)分位點(diǎn)處條件分位數(shù)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系,可以更加深入地揭示美國(guó)次貸危機(jī)帶來(lái)的影響,實(shí)證結(jié)果表明:美國(guó)次貸危機(jī)在世界范圍內(nèi)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響,但對(duì)不同國(guó)家(地區(qū))的資本市場(chǎng)在影響程度、影響方式、響應(yīng)時(shí)期等方面有著不同的表現(xiàn).

2 QVARDL模型

2.1 模型表示

考慮一個(gè)由Y1t,Y2t,...,Ynt組成的n×1維向量時(shí)間序列,記?t為由生成的直到t時(shí)刻的信息集.在給定?t-1時(shí),Yit的條件分位數(shù)可以定義為

其中τ(0＜τ＜1)稱(chēng)為分位點(diǎn);Fit(y|?t-1)=Pr(Yit≤y|?t-1)為隨機(jī)序列{Yit}的條件分布函數(shù);inf{x}表示變量x的下確界.

Koenker等[5]提出了分位數(shù)回歸方法,用以估計(jì)條件分位數(shù).在時(shí)間序列分析中,自回歸是最為常用的一個(gè)建模方法,它能夠很好地描述時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)性.Koenker等[12]將自回歸模型擴(kuò)展到分位數(shù)領(lǐng)域,讓自回歸系數(shù)隨著分位點(diǎn)的變化而變化,提出了分位數(shù)自回歸(QAR)模型.在QAR模型中,響應(yīng)變量為時(shí)間序列的條件分位數(shù),解釋變量為時(shí)間序列的滯后項(xiàng).更進(jìn)一步,Engle等[14]在QAR框架下不僅使用時(shí)間序列的滯后項(xiàng),也使用了條件分位數(shù)滯后項(xiàng),提出了CAViaR模型,取得了更好的實(shí)證效果.

受Engle等[14]建模理念的啟示,本文將分位數(shù)自回歸模型擴(kuò)展到多元情形,建立分位數(shù)向量自回歸分布滯后(QVARDL)模型,同時(shí)估計(jì)多個(gè)時(shí)間序列在多個(gè)分位點(diǎn)處的條件分位數(shù)及其相互之間動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)關(guān)系.不妨考慮由n個(gè)時(shí)間序列條件分位數(shù)組成的n×1維向量條件分位數(shù)QYt(τ)≡Qt(τ)=(Q1t(τ),Q2t(τ),...,Qnt(τ))T,可以建立模型

其中X既可以表示由外生變量組成的向量,也可以特指模型內(nèi)生變量組成的向量X≡Y;p,q分別為滯后階數(shù);A(i)(τ)與B(j)(τ)為影響系數(shù)矩陣,依賴(lài)于分位點(diǎn)τ的取值,分別定義為

模型表明,向量條件分位數(shù)Qt(τ)不僅受到向量時(shí)間序列滯后項(xiàng)Xt-i的影響,產(chǎn)生分布滯后效應(yīng);同時(shí)受到其自身滯后項(xiàng)Qt-j(τ)的影響,產(chǎn)生自回歸效應(yīng).不過(guò),模型(2)只是考慮了一個(gè)分位點(diǎn),只能估計(jì)第τ個(gè)條件分位數(shù).如果同時(shí)考慮m個(gè)分位點(diǎn)τ1＜τ2＜···＜τm處的向量條件分位數(shù),則可以建立模型

將其表示成矩陣與向量形式

模型(4)與時(shí)間序列分析中的自回歸分布滯后模型在形式上完全一致,然而卻存在本質(zhì)上的區(qū)別,這里的響應(yīng)變量為條件分位數(shù),回歸系數(shù)也是依賴(lài)于分位點(diǎn)的變化而變化.值得注意,模型(4)是在White等[19]的QVAR模型基礎(chǔ)上引入外生解釋變量的滯后項(xiàng)所得,是其推廣形式,不僅能夠考慮內(nèi)生解釋變量之間的相互影響,而且可以討論外生解釋變量所帶來(lái)的在不同分位點(diǎn)處的異質(zhì)影響.事實(shí)上,模型(4)與Engle等[14]的CAViaR模型也存在顯著差別,至少表現(xiàn)在三個(gè)方面:第一,這里的響應(yīng)變量為向量形式,能夠同時(shí)對(duì)多個(gè)時(shí)間序列的條件分位數(shù)進(jìn)行估計(jì),提高了建模效率;第二,這里的分位點(diǎn)為多個(gè)分位點(diǎn),能夠同時(shí)考慮在多個(gè)分位點(diǎn)處條件分位數(shù)的估計(jì),為解決分位數(shù)交叉問(wèn)題提供了可能;第三,這里的回歸系數(shù)為矩陣形式,若矩陣中非主對(duì)角線(xiàn)上的元素非零,則能夠刻畫(huà)不同時(shí)間序列之間的相互依賴(lài)關(guān)系.因此,本文稱(chēng)式(4)為分位數(shù)向量自回歸分布滯后模型,記為QVARDL(p,q).由QVARDL(p,q)模型,可以得到每一個(gè)時(shí)間序列在各個(gè)分位點(diǎn)處條件分位數(shù)估計(jì),其中第i個(gè)時(shí)間序列在分位點(diǎn)τj處的條件分位數(shù)可以表示為

可以看出,QVARDL(p,q)模型不僅描述了時(shí)間序列(或條件分位數(shù))自身對(duì)自身?xiàng)l件分位數(shù)的影響,而且刻畫(huà)了來(lái)自其他時(shí)間序列(或條件分位數(shù))的影響,能夠度量多個(gè)時(shí)間序列及其條件分位數(shù)之間復(fù)雜的相互依賴(lài)關(guān)系.本文建立了更為一般的高階QVARDL(p,q)模型,這一高階模型比White等[19]的一階QVAR(1,1)模型更能體現(xiàn)變量之間的真實(shí)依賴(lài)關(guān)系,從而更加符合實(shí)際建模需求.

2.2 模型參數(shù)估計(jì)

為實(shí)現(xiàn)QVARDL(p,q)模型的系數(shù)向量θ的估計(jì),需要將其視為一個(gè)模型系統(tǒng),在多個(gè)分位點(diǎn)處同時(shí)考慮多個(gè)時(shí)間序列條件分位數(shù)之間的關(guān)系.為此,對(duì)于樣本觀(guān)測(cè)值Yi,t,i=1,2,...,n;t=1,2,...,T,可以定義損失函數(shù)S(θ),并由下式實(shí)現(xiàn)模型的參數(shù)估計(jì)

可以證明,式(6)所示的QVARDL(p,q)模型的系數(shù)向量估計(jì)量具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì):一致性與漸近正態(tài)性.

定理1(一致性):對(duì)回歸系數(shù)估計(jì)量與真實(shí)參數(shù)θ?,有.

證明定理1的證明過(guò)程參見(jiàn)附錄2.

定理2(漸近正態(tài)性):漸近服從正態(tài)分布,滿(mǎn)足,其中”表示依分布收斂;;▽?duì)葹殛P(guān)于θ的向量偏導(dǎo)數(shù),1{·}為指示函數(shù).

證明定理2的證明過(guò)程參見(jiàn)附錄3.

2.3 模型定階

在QVARDL(p,q)模型中,滯后階數(shù)p與q的選擇非常重要,可以通過(guò)信息準(zhǔn)則實(shí)現(xiàn)這一目的.信息準(zhǔn)則最早由Akaike[20]和Schwarz[21]提出,在實(shí)踐中獲得了廣泛的應(yīng)用,其核心思想為:在模型使用變量數(shù)目與模型擬合效果之間進(jìn)行權(quán)衡,以求達(dá)到通過(guò)最簡(jiǎn)單的模型結(jié)構(gòu)給出最佳解釋效果之目的.傳統(tǒng)的AIC和BIC信息準(zhǔn)則定義如下:

其中L,k,n分別表示模型似然函數(shù),待估參數(shù)個(gè)數(shù)以及樣本量.

為解決QVARDL(p,q)模型定階問(wèn)題,本文在分位數(shù)回歸框架下給出AIC和BIC定階準(zhǔn)則如下:

其中S(θ)為按照式(6)定義的經(jīng)驗(yàn)損失函數(shù),反映模型的擬合效果;待估參數(shù)個(gè)數(shù)取決于p,q,m,n,并且表示為mn2(p+q),反映模型的復(fù)雜程度;為實(shí)際樣本量.使得AIC或BIC達(dá)到最小的p,q取值,將作為QVARDL(p,q)模型的最優(yōu)滯后階數(shù).

本文給出的信息準(zhǔn)則依然沿用了信息準(zhǔn)則定義的核心思想,但與傳統(tǒng)的AIC和BIC定義也存在不同之處:1)使用經(jīng)驗(yàn)損失而不是對(duì)數(shù)似然,來(lái)表示擬合效果;2)將對(duì)數(shù)似然前面的負(fù)號(hào),調(diào)整為經(jīng)驗(yàn)損失前面的正號(hào).Yuan[22]和Li等[23]驗(yàn)證了在分位數(shù)回歸框架下AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則的定階效果,Monte Carlo模擬結(jié)果表明:AIC和BIC準(zhǔn)則具有與廣義交叉驗(yàn)證較為類(lèi)似的性能,能夠獲得滿(mǎn)意的定階效果.

3 分位數(shù)脈沖響應(yīng)分析

3.1 分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)定義

為進(jìn)一步考察QVARDL模型系統(tǒng)的穩(wěn)定性,本文通過(guò)對(duì)隨機(jī)誤差項(xiàng)?i,t實(shí)施一個(gè)沖擊,進(jìn)而觀(guān)察各內(nèi)生變量以及對(duì)應(yīng)的條件分位數(shù)的響應(yīng)情況,稱(chēng)其為分位數(shù)脈沖響應(yīng)分析.在QVARDL模型(4)中,為簡(jiǎn)化起見(jiàn),可以不考慮外生變量的影響(取X=Y),僅僅考慮內(nèi)生變量及其滯后項(xiàng)的影響,從而建立起在QVARDL模型基礎(chǔ)上的脈沖響應(yīng)分析,可以揭示組成QVARDL系統(tǒng)內(nèi)生變量間動(dòng)態(tài)影響規(guī)律,并描述對(duì)隨機(jī)誤差項(xiàng)施加一個(gè)沖擊后,對(duì)內(nèi)生變量在各個(gè)分位點(diǎn)處條件分位數(shù)的當(dāng)期值和未來(lái)值所帶來(lái)的影響.

定義1第i個(gè)時(shí)間序列{Yi,t}在第τ分位點(diǎn)處的分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)(QIRF)定義如下

其中δ為t時(shí)刻的沖擊.在傳統(tǒng)VAR模型及脈沖響應(yīng)分析中,隨機(jī)誤差項(xiàng)?i,t服從對(duì)稱(chēng)分布,一次性沖擊δ常取一個(gè)單位的標(biāo)準(zhǔn)差(即δ=1個(gè)單位標(biāo)準(zhǔn)差).為簡(jiǎn)便起見(jiàn)與滿(mǎn)足可比性要求,本文依然對(duì)隨機(jī)誤差項(xiàng)?i,t實(shí)施一個(gè)單位標(biāo)準(zhǔn)差δ的沖擊,來(lái)進(jìn)行分位數(shù)脈沖響應(yīng)分析.

本文給出的分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)可以稱(chēng)為偽分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù).這里,t時(shí)刻的沖擊δ僅存在于t時(shí)刻,其他時(shí)刻并不存在沖擊.因此,可以分別給出無(wú)沖擊時(shí)誤差項(xiàng)的時(shí)間路徑為,以及有沖擊時(shí)誤差項(xiàng)的時(shí)間路徑為.

事實(shí)上,本文模型的誤差項(xiàng)可能是更為一般的分布函數(shù),如非對(duì)稱(chēng)Laplace分布,未必滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性要求.此時(shí),可以考慮一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)化沖擊帶來(lái)的影響,這一分析在貝葉斯框架下運(yùn)用貝葉斯分位數(shù)回歸,更容易得到相應(yīng)的分位數(shù)脈沖響應(yīng)分析結(jié)果,值得未來(lái)進(jìn)一步研究.

3.2 分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)估計(jì)

考慮如下數(shù)據(jù)生成過(guò)程,用以描述向量時(shí)間序列(Y1t,Y2t)T的動(dòng)態(tài)行為

此外,QVARDL(1,1)模型給出的τ分位點(diǎn)表達(dá)式

由此,可以通過(guò)矩陣形式來(lái)表達(dá)t時(shí)刻二維向量時(shí)間序列的分位數(shù)

其中Qt與Yt-1均為二維向量,A和B為2×2的矩陣,矩陣元素如上式所示.

1)一階情形

根據(jù)VMA模型設(shè)置,t時(shí)刻沖擊δ僅僅影響Yt,并不影響.進(jìn)而可以給出有沖擊時(shí)的時(shí)間路徑為,此時(shí).

首先,以i=1為例計(jì)算分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)(QIRF).當(dāng)s=1時(shí),擾動(dòng)為常數(shù)項(xiàng),此時(shí)只影響,所以有

當(dāng)s=2時(shí),根據(jù)一階VMA模型設(shè)置,擾動(dòng)同時(shí)影響Y1,t和Y2,t,有

此時(shí),分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)可以表達(dá)為

當(dāng)s≥2時(shí),由于VMA(1)的設(shè)置,此時(shí)Yt與無(wú)關(guān),而對(duì)應(yīng)的條件分位數(shù)與有關(guān),有

同理,可以得到i=2對(duì)應(yīng)各期分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù).當(dāng)s=1時(shí),有

當(dāng)s=2時(shí),有

當(dāng)s≥ 2時(shí),有

由上述推導(dǎo)過(guò)程,可以綜合出基于VMA(1)模型的分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)一般表達(dá)式

2)高階情形

類(lèi)似地,可以導(dǎo)出高階向量移動(dòng)平均VMA(k)模型的分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)一般表達(dá)式(以i=1為例)

當(dāng)s=1時(shí),同式(19),有分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)(QIRF)

當(dāng)s＞k+1時(shí),由于VMA(k)的設(shè)置,無(wú)關(guān),僅有對(duì)應(yīng)的條件分位數(shù)與有關(guān),即

此時(shí),有分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)

由上述推導(dǎo)過(guò)程,可以綜合出VMA(k)模型的分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)一般表達(dá)式

易見(jiàn),基于VMA(1)模型得出分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)正是上式k=1時(shí)的特例.至此,本文討論了更為一般情形下的分位數(shù)脈沖響應(yīng)分析,運(yùn)用高階向量移動(dòng)平均VMA(k)模型與QVARDL模型之間關(guān)系,推導(dǎo)出分位數(shù)脈沖相應(yīng)函數(shù).White等[19]的分位數(shù)脈沖響應(yīng)分析是本文的特例形式,本文是其推廣.

3.3 分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)分布特征

分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)也是隨機(jī)變量,研究其分布特征對(duì)于把握其變動(dòng)規(guī)律至關(guān)重要.給出如下引理.

引理1Hamilton[24]:對(duì)一個(gè)向量隨機(jī)序列{Zt},若存在,同時(shí)有一函數(shù)g(·)其在c處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),則有.

由上述引理,可以得出下列結(jié)論.

定理3對(duì)于定義1中給出的脈沖響應(yīng)函數(shù),有

證明定理3的證明過(guò)程參見(jiàn)附錄4.

4 實(shí)證研究

4.1 數(shù)據(jù)選擇

楊博理等[25]的研究工作表明,向量自回歸(VAR)模型能夠有效地揭示金融市場(chǎng)之間動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)關(guān)系.這里,使用本文提出的QVARDL(p,q)模型來(lái)檢驗(yàn)美國(guó)次貸危機(jī)在世界范圍的影響.在QVARDL模型(4)中,不考慮外生變量的影響,僅僅考慮內(nèi)生變量滯后項(xiàng)的影響.以美國(guó)S&P500指數(shù)作為研究基準(zhǔn),同時(shí)選取如表1所示的14個(gè)不同國(guó)家(地區(qū))的綜合指數(shù)作為研究對(duì)象進(jìn)行實(shí)證研究.樣本數(shù)據(jù)取2005–01–01至2013–12–31 期間各市場(chǎng)指數(shù)日收盤(pán)價(jià),其中以2005–01–01至2012–05–31為樣本內(nèi),2012–06–01 至2013–12–31為樣本外,樣本數(shù)據(jù)均來(lái)自雅虎財(cái)經(jīng)網(wǎng)站(http://finance.yahoo.com/).這一樣本區(qū)間包含了2008年美國(guó)次貸危機(jī)的完整周期,便于定量研究美國(guó)次貸危險(xiǎn)產(chǎn)生的影響.收益率采用對(duì)數(shù)收益率,用自然對(duì)數(shù)收盤(pán)價(jià)的一階差分計(jì)算rt=100×(lnPt-lnPt-1).

4.2 參數(shù)估計(jì)

為考察美國(guó)次貸危機(jī)對(duì)其他國(guó)家(地區(qū))帶來(lái)的影響,以美國(guó)市場(chǎng)作為基礎(chǔ),與其他任意一個(gè)市場(chǎng),分別建立二元QVARDL模型與VMA模型,共建立14個(gè)QVARDL模型與14個(gè)VMA模型.這里,使用VMA模型描述時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)變動(dòng)規(guī)律,使用QVARDL模型描述時(shí)間序列條件分位數(shù)的變動(dòng)規(guī)律.在估計(jì)VMA模型與QVARDL模型時(shí),使用2.3節(jié)給出的AIC與BIC信息準(zhǔn)則,確定了最優(yōu)滯后階數(shù)為VMA(2)與QVARDL(1,1).

表1報(bào)告了VMA(2)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果,為進(jìn)一步進(jìn)行脈沖響應(yīng)分析,定量揭示美國(guó)次貸危機(jī)沖擊對(duì)于不同國(guó)家(地區(qū))股票市場(chǎng)的影響,奠定了基礎(chǔ).表2報(bào)告了QVARDL(1,1)模型在一個(gè)分位點(diǎn)(τ=0.01,對(duì)應(yīng)99%VaR)處的參數(shù)估計(jì)結(jié)果(限于篇幅,這里略去了其他分位點(diǎn)處的估計(jì)結(jié)果),可以得到幾個(gè)初步結(jié)論.第一,在14個(gè)QVARDL(1,1)模型中,有超過(guò)一半的國(guó)家(地區(qū))所得自回歸系數(shù)矩陣B中的對(duì)角線(xiàn)元素(即B1(11)和B2(12))在統(tǒng)計(jì)上顯著(10%水平),意味著條件分位數(shù)(與VaR風(fēng)險(xiǎn)對(duì)應(yīng))過(guò)程具有顯著的自相關(guān)性.第二,QVARDL(1,1)模型中所有非對(duì)角線(xiàn)系數(shù)均顯著不等于0,意味著美國(guó)與世界其他國(guó)家(地區(qū))之間的金融風(fēng)險(xiǎn)存在相互影響.第三,值得注意的是,德國(guó)和巴西的自回歸系數(shù)矩陣B各元素均在統(tǒng)計(jì)上顯著(5%水平).作為歐洲經(jīng)濟(jì)的頂梁柱,德國(guó)的出口導(dǎo)向型經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模式以及穩(wěn)定歐元區(qū)經(jīng)濟(jì)狀況的能力在一定程度上對(duì)美國(guó)造成沖擊;而作為新興經(jīng)濟(jì)體的巴西,以與美國(guó)模式不同的經(jīng)濟(jì)政策不斷加強(qiáng)與拉美鄰國(guó)、非洲國(guó)家乃至印度和中國(guó)之間的政治經(jīng)濟(jì)合作,而這正是美國(guó)一再鞏固“南北關(guān)系”的重要原因.第四,由于考慮到不同國(guó)家(地區(qū))金融風(fēng)險(xiǎn)之間相互作用,QVARDL(1,1)模型能夠更加準(zhǔn)確預(yù)測(cè)其金融風(fēng)險(xiǎn)變化規(guī)律,結(jié)果見(jiàn)圖1和圖2.

表1 14個(gè)國(guó)家(地區(qū))股票指數(shù)與美國(guó)的VMA(2)模型估計(jì)結(jié)果Table 1 Estimated results of 14 countries(districts)from VMA(2)model

表2 14個(gè)國(guó)家(地區(qū))股票指數(shù)與美國(guó)的QVARDL(1,1)模型估計(jì)結(jié)果(τ=0.01)Table 2 Estimated results of 14 countries(districts)from QVARDL(1,1)model with τ=0.01

圖1給出了15個(gè)國(guó)家(地區(qū))樣本內(nèi)的實(shí)際收益率(藍(lán)線(xiàn))與99%VaR估計(jì)結(jié)果(綠線(xiàn))(限于篇幅,本文略去了其他置信水平VaR估計(jì)結(jié)果,只報(bào)告了極端風(fēng)險(xiǎn)值估計(jì)結(jié)果),圖2則給出其樣本外預(yù)測(cè)結(jié)果.在圖1與圖2中,美國(guó)的VaR是通過(guò)在QVARDL(1,1)模型中將兩個(gè)內(nèi)生變量都取做S&P500指數(shù)所得,其他國(guó)家(地區(qū))的VaR是將模型中的兩個(gè)內(nèi)生變量分別取做S&P500指數(shù)及本國(guó)(地區(qū))的市場(chǎng)指數(shù).

由圖1可以看出,第一,QVARDL(1,1)模型在樣本內(nèi)取得了很好擬合效果,表現(xiàn)為99%VaR變動(dòng)趨勢(shì)與收益率變化趨勢(shì)吻合程度較高.第二,不同國(guó)家(地區(qū))市場(chǎng)均在2007底至2008年初開(kāi)始出現(xiàn)不同程度波動(dòng),并于2008年底至2009年初大幅度波動(dòng)全面爆發(fā),而這段時(shí)間恰逢美國(guó)次貸危機(jī)集中爆發(fā)并演變成全球性金融海嘯.第三,在2011年中下旬不同國(guó)家(地區(qū))再次出現(xiàn)不同程度波動(dòng),這可能源于歐元區(qū)主權(quán)債務(wù)危機(jī)影響.由圖2可以看出,99%VaR同樣與收益率變化趨勢(shì)一致,表明QVARDL(1,1)模型同樣具有很好的樣本外表現(xiàn).

綜合圖1和圖2的信息可知,基于QVARDL(1,1)模型能夠給出準(zhǔn)確的VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度,具有很好的樣本內(nèi)與樣本外表現(xiàn).為精確檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏y(cè)算效果,本文采用Kupiec[26]無(wú)條件覆蓋似然比(uc.LR)檢驗(yàn)與Christoffersen等[27]條件覆蓋似然比(cc.LR)檢驗(yàn)對(duì)樣本內(nèi)與樣本外VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度進(jìn)行返回測(cè)試檢驗(yàn),同時(shí)還采用Engle等[14]提出的樣本外動(dòng)態(tài)分位數(shù)(DQ)檢驗(yàn)作為指標(biāo)檢驗(yàn)方法,檢驗(yàn)結(jié)果如表3所示.

圖1 15個(gè)國(guó)家(地區(qū))股票指數(shù)的樣本內(nèi)99%VaR(τ=0.01)Fig.1 Stock indices returns plot for the in-sample days of 15 countries(districts)superimposed by VaR estimates at=1%and 5%

圖2 15個(gè)國(guó)家(地區(qū))股票指數(shù)的樣本外99%VaR(τ=0.01)Fig.2 Stock indices returns plot for the out-of-sample days of 15 countries(districts)superimposed by VaR estimates at=1%and 5%

表3 99%VaR返回測(cè)試結(jié)果Table 3 Backtesting results of 99%VaR for 14 countries(districts)

續(xù)表3Table 3 Continues

由表3,可以得到以下初步結(jié)果.第一,除美國(guó)以外的14個(gè)國(guó)家(地區(qū))股票指數(shù)的VaR在樣本內(nèi)均有很好的擬合效果.其中,由uc.LR檢驗(yàn)可以看出,QVARDL(1,1)模型對(duì)日本、韓國(guó)與巴西的擬合效果最優(yōu),表現(xiàn)為有較大的p值且都為0.987 1;由cc.LR檢驗(yàn)則可以看出,QVARDL(1,1)模型對(duì)韓國(guó)與巴西擬合效果最優(yōu),表現(xiàn)為p值較大且都為0.867 4.第二,在14個(gè)股票指數(shù)VaR樣本外預(yù)測(cè)中,有9個(gè)國(guó)家(地區(qū))的股票指數(shù)通過(guò)了樣本外DQ檢驗(yàn),僅有阿根廷MERV指數(shù)沒(méi)有通過(guò)cc.LR檢驗(yàn);事實(shí)上,所有國(guó)家(地區(qū))的股票指數(shù)均通過(guò)了uc.LR檢驗(yàn).這一實(shí)證結(jié)果也表明,在VaR返回測(cè)試中,uc.LR檢驗(yàn)最為寬松,其次為cc.LR檢驗(yàn),最嚴(yán)格的為DQ檢驗(yàn).以上結(jié)果表明基于QVARDL(1,1)模型的VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度在樣本內(nèi)與樣本外都取得了很好的效果,其中樣本內(nèi)更為有效,這也與預(yù)期結(jié)果相符.

4.3 分位數(shù)脈沖響應(yīng)分析

由前面QVARDL(1,1)模型估計(jì)結(jié)果,已經(jīng)判定美國(guó)金融市場(chǎng)與其他國(guó)家(地區(qū))市場(chǎng)之間存在密切聯(lián)系.本節(jié)主要通過(guò)分位數(shù)脈沖響應(yīng)分析,定量揭示不同國(guó)家(地區(qū))受美國(guó)次貸危機(jī)影響的程度與反應(yīng)速度.黃友珀等[28]認(rèn)為,有必要研究資產(chǎn)組合收益分位數(shù)預(yù)測(cè)問(wèn)題.郭華等[29]通過(guò)脈沖相應(yīng)分析考察由特定交易變量構(gòu)成的脈沖交易對(duì)價(jià)格波動(dòng)的沖擊模式.本文中,在一個(gè)單位標(biāo)準(zhǔn)差沖擊下的分位數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)可以直觀(guān)地報(bào)告危機(jī)的傳播過(guò)程以及危機(jī)被吸收(脈沖響應(yīng)函數(shù)收斂于0)的時(shí)間,結(jié)果見(jiàn)圖3.在圖3中,橫軸代表天數(shù),縱軸表示99%VaR(對(duì)應(yīng)0.01分位數(shù))的變化.

圖3 14個(gè)國(guó)家(地區(qū))受美國(guó)次貸危機(jī)影響的脈沖響應(yīng)(τ=0.01)Fig.3 Impulse response of 14 countries(districts)to the U.S.subprime mortgage crisis(τ=0.01)

由圖3,可以得到如下結(jié)果.第一,可以看出大部分國(guó)家(地區(qū))在次貸危機(jī)爆發(fā)后2天～3天內(nèi)受到了嚴(yán)重的沖擊,除了法國(guó)與澳大利亞約在5天左右才達(dá)到收益率的最低值.第二,歐洲地區(qū)包括法國(guó)、英國(guó)和德國(guó),主要受到次貸危機(jī)對(duì)本地銀行業(yè)的沖擊,受到?jīng)_擊后收益率百分比低至-0.2后都開(kāi)始回升,并在約20天收斂于0值.第三,亞洲地區(qū)包括中國(guó)大陸、中國(guó)香港、中國(guó)臺(tái)灣、韓國(guó)以及日本,其中中國(guó)大陸受到次貸危機(jī)沖擊影響最小,脈沖響應(yīng)過(guò)程也較短,可以看出美國(guó)次貸危機(jī)對(duì)于中國(guó)大陸的沖擊有限,這可能是由于中國(guó)大陸準(zhǔn)備金充足,所以并沒(méi)有造成實(shí)質(zhì)性的影響.中國(guó)臺(tái)灣地區(qū)相對(duì)于中國(guó)香港地區(qū)受沖擊更為嚴(yán)重,可能是中國(guó)臺(tái)灣出口萎縮等原因?qū)е铝酥袊?guó)臺(tái)灣地區(qū)經(jīng)濟(jì)衰退.亞洲其他地區(qū),如日本與韓國(guó)對(duì)于次貸危機(jī)的響應(yīng)卻有著明顯的差異.日本是受到次貸危機(jī)沖擊最大的國(guó)家,收益率百分比一度跌破-0.65,這種現(xiàn)象與日本近年經(jīng)濟(jì)發(fā)展不穩(wěn)定有密切的關(guān)系,在此期間日本需要面對(duì)經(jīng)濟(jì)衰退和通貨膨脹的雙重壓力.第四,墨西哥與阿根廷幾乎沒(méi)有受到次貸危機(jī)的沖擊,作為拉丁美洲的新興市場(chǎng),受益于長(zhǎng)期以來(lái)實(shí)施的對(duì)外貿(mào)易自由化政策,對(duì)美國(guó)商品市場(chǎng)的依賴(lài)性較小,因而受美國(guó)次貸危機(jī)的沖擊相對(duì)有限.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一個(gè)新的分位數(shù)回歸模型:分位數(shù)向量自回歸分布滯后(QVARDL),給出其數(shù)學(xué)表示、參數(shù)估計(jì)、滯后階數(shù)選擇、脈沖響應(yīng)分析等一整套建模方法.該模型可以同時(shí)刻畫(huà)多個(gè)時(shí)間序列在多個(gè)分位點(diǎn)處條件分位數(shù)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系,能夠整體提升分位數(shù)回歸的功能.在結(jié)構(gòu)分析方面,主要通過(guò)回歸系數(shù)矩陣,定量揭示不同時(shí)間序列及其分位數(shù)之間的相互依賴(lài)關(guān)系,有助于解釋經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)內(nèi)部聯(lián)系與相互影響.在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)方面,主要通過(guò)多變量與自回歸,從橫向與縱向兩個(gè)方面把握條件分位數(shù)的變動(dòng)規(guī)律,有助于準(zhǔn)確預(yù)測(cè)響應(yīng)變量在不同分位點(diǎn)處的條件分位數(shù),進(jìn)而可以準(zhǔn)確地進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估.在政策評(píng)價(jià)方面,主要通過(guò)分位數(shù)脈沖響應(yīng)分析,可以考察對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)實(shí)施一個(gè)沖擊,定量刻畫(huà)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)內(nèi)部的響應(yīng)情況,評(píng)估經(jīng)濟(jì)政策的有效性.

為檢驗(yàn)提出模型與方法的有效性,本文將其應(yīng)用于解釋美國(guó)次貸危機(jī)對(duì)世界范圍金融市場(chǎng)產(chǎn)生的影響.實(shí)證中,選取世界范圍內(nèi)主要國(guó)家(地區(qū))資本市場(chǎng)作為研究對(duì)象,建立QVARDL(p,q)模型并進(jìn)行分位數(shù)脈沖響應(yīng)分析.通過(guò)QVARDL(p,q)模型估計(jì)結(jié)果發(fā)現(xiàn),一方面,絕大多數(shù)國(guó)家(地區(qū))的金融風(fēng)險(xiǎn)具有顯著的自相關(guān)性;另一方面,美國(guó)對(duì)世界其他國(guó)家(地區(qū))的金融市場(chǎng)存在顯著影響.通過(guò)脈沖響應(yīng)分析發(fā)現(xiàn),美國(guó)次貸危機(jī)對(duì)不同國(guó)家(地區(qū))的資本市場(chǎng)在影響程度、影響方式、響應(yīng)時(shí)期等方面有著不同的表現(xiàn).本文的研究方法與實(shí)證結(jié)果,為從新的角度研究金融風(fēng)險(xiǎn)及其傳染性提供了一個(gè)參考.