滾珠絲杠磨削再生顫振穩(wěn)定性極限預測*

遲玉倫 李郝林

(上海理工大學機械工程學院，上海 200093)

磨削是加工滾珠絲杠中的最后一道工序，磨削加工過程中發(fā)生的再生顫振是影響磨削工件質(zhì)量的主要因素之一。再生顫振是一種典型的因振動位移延時反饋所導致的失穩(wěn)現(xiàn)象，屬于非線性振動，產(chǎn)生機理復雜，消振和減振十分困難［1］。在滾珠絲杠加工中，機床的振動不可避免，特別是砂輪與滾珠絲杠之間產(chǎn)生的再生顫振不僅影響滾珠絲桿的表面粗糙度和加工精度，還直接影響生產(chǎn)效率的提高。所以，如何有效分析和預測滾珠絲杠加工時的顫振穩(wěn)定域成為一個關(guān)鍵技術(shù)［2－6］。

本文根據(jù)控制論中穩(wěn)定性判據(jù)理論分析預測磨削系統(tǒng)的再生顫振穩(wěn)定域，建立了滾珠絲杠磨削振動系統(tǒng)的動力學模型。通過大量磨削實驗分析，實驗驗證了磨削顫振穩(wěn)定性極限圖預測的實用性。該顫振穩(wěn)定性極限預測對優(yōu)化磨削工藝參數(shù)提高加工質(zhì)量和加工效率有重要意義。

1 滾珠絲桿磨削再生顫振模型

如圖1所示，滾珠絲杠的兩端分別被機床尾架頂尖和工件頭架頂尖支撐頂緊;在滾珠絲杠磨削加工過程中，工件頭架主軸帶動滾珠絲杠轉(zhuǎn)動，通過調(diào)整機床磨削砂輪與滾珠絲杠滾道的磨削角度進行磨削。

如圖2所示，砂輪－滾珠絲桿磨削系統(tǒng)模型的示意圖，該磨削動力學模型的運動微分方程可表示為

式中:m為機床振動系統(tǒng)等效質(zhì)量，kg;c為機床振動系統(tǒng)等效阻尼，N·s/mm;k為機床振動系統(tǒng)等效剛度，N/mm;X(t)為t時刻砂輪振幅，mm;F(t)為動態(tài)磨削力，N。

以工件磨削深度方向為正方向，由材料去除率表示的動態(tài)磨削力F(t)，可表示為

式中:km為砂輪磨削力系數(shù)，N/mm3;h為砂輪磨削深度，mm;u為磨削接觸寬度，mm;a(t)為工件表面振紋，mm;b為砂輪前后兩轉(zhuǎn)的重疊系數(shù);T為砂輪旋轉(zhuǎn)周期，s;a0為初始表振紋。

通過拉氏變換，式(1)在頻域中表示為

式中:s為拉氏算子，無量綱。

將磨削力F(t)的表達式式(2)經(jīng)過拉氏變換后代入式(3)，以X(s)作為顫振系統(tǒng)的輸出，a0(s)作為輸入，得到磨削系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

式中:W(s)為砂輪系統(tǒng)動柔度，m/N;ωn為砂輪系統(tǒng)固定角頻率，rad/s;ζ為砂輪系統(tǒng)阻尼比，無量綱。

由控制原理可知，振動系統(tǒng)輸出的時域特性取決于系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)特征方程根s的性質(zhì)。s可寫成s=δ+jω的形式，當δ=0時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定與不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)。令δ=0，即可據(jù)此求得系統(tǒng)穩(wěn)定性極限磨削深度hlim，將s=jω代入式(4)得

式中:ω為磨削砂輪顫振角頻率，rad/s。

根據(jù)磨削砂輪顫振系統(tǒng)的傳遞函數(shù)式(6)及控制論中的穩(wěn)定性判據(jù)，令式(6)傳遞函數(shù)的分母為零，可得到砂輪系統(tǒng)發(fā)生顫振條件，即

2 滾珠絲杠磨削再生顫振模型求解

令 λ = ω/ωn及e－jωT=cosωT－jsinωT，將式(5)代入式(7)后，經(jīng)整理得

式中:ζ為振動系統(tǒng)阻尼比;ωn為振動系統(tǒng)固定角頻率，rad/s。

根據(jù)復數(shù)相等的性質(zhì)可知，等式左右兩邊實部與幅角分別相等，如式(9)和式(10)所示

由式(6)、(9)和(10)可推得保證磨削過程穩(wěn)定性的磨削深度h和砂輪主軸轉(zhuǎn)速n分別為

由上述式(11)和式(12)，可確定磨削中磨削深度hlim和砂輪主軸轉(zhuǎn)速n顫振穩(wěn)定性極限圖。

3 實驗研究

3.1 實驗

本實驗機床為SK7432萬能外圓數(shù)控磨床，測量儀器為KISTLER振動分析儀。通過模態(tài)試驗，對力激勵下測得的機床振動加速度信號進行時域和頻域分析，識別磨床砂輪結(jié)構(gòu)的各階固有頻率及相關(guān)的模態(tài)參數(shù)。

在磨床的砂輪架結(jié)構(gòu)上設(shè)置振動傳感器的響應測點，如圖3所示。激勵點設(shè)置在各響應測點附件，使用鋼頭力錘進行錘擊。在模態(tài)試驗過程中，應盡可能地減少隨機誤差和噪聲對測量結(jié)果的影響。圖4、圖5分別為力錘激勵的力信號和加速度響應信號隨時間變化曲線。

通過模態(tài)實驗分析及磨削工藝參數(shù)計算，可確定出式(11)和(12)的各機床動態(tài)特性參數(shù)如表1所示。

表1 機床動態(tài)特性各參數(shù)

3.2 磨削顫振穩(wěn)定性極限圖確定

穩(wěn)定性極限圖是用磨削深度與砂輪轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系來確定磨削過程中穩(wěn)定磨削和不穩(wěn)定磨削區(qū)域的臨界條件。將表1中各機床動態(tài)特性參數(shù)值代入式(11)和(12)可確定磨削中磨削深度hlim和砂輪主軸轉(zhuǎn)速n顫振穩(wěn)定性極限圖，如圖6所示。圖中耳垂線之上為不穩(wěn)定區(qū)，耳垂線之下為穩(wěn)定區(qū)。

為驗證上述顫振穩(wěn)定性極限預測圖的準確性，分別選取砂輪轉(zhuǎn)速800 r/min、1 000 r/min、1 200 r/min和1 400 r/min進行磨削顫振實驗。通過多次改變切削深度確定出各砂輪轉(zhuǎn)速下發(fā)生顫振與未發(fā)生顫振的臨界磨削深度h'lim。實驗測量各砂輪轉(zhuǎn)速與臨界磨削深度的坐標為:(800 r/min，18 μm)、(1 000 r/min，17 μm)、(1 200 r/min，16 μm)和(1 400 r/min，20 μm)。

如圖7所示，利用實驗臨界坐標測點驗證上述圖6中顫振穩(wěn)定性極限預測圖(圖中星號點表示實驗臨界坐標測點)。如表2所示，列出在不同轉(zhuǎn)速下穩(wěn)定性圖的預測磨削深度hlim、實驗測量臨界磨削深度h'lim和兩個絕對值之差Δ=|h'lim－h(huán)lim|。計算結(jié)果Δ≤0.25，說明實驗測量結(jié)果與理論預測曲線結(jié)果一致，驗證了文中再生顫振穩(wěn)定性極限預測方法的有效性。

表2 各砂輪轉(zhuǎn)速下臨界磨削深度

4 結(jié)語

(1)基于再生顫振機理，對磨削滾珠絲杠振動系統(tǒng)進行動力學建模。

(2)根據(jù)動力學模型繪制出再生顫振穩(wěn)定性極限預測圖，并對該再生顫振模型進行磨削實驗，實驗驗證了該理論預測與實驗結(jié)果的一致性。

(3)該磨削顫振穩(wěn)定性極限預測方法為機床加工人員選擇正確切削參數(shù)提供理論依據(jù)，對提高磨削工件的表面質(zhì)量和加工效率有重要意義。

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