深度研讀試題 啟迪復(fù)習(xí)備考

安徽省臨泉田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué) (郵編：236400)

高考試題對(duì)復(fù)習(xí)備考有導(dǎo)向作用.因此，每年高考后，教師大都認(rèn)真做高考試題，感受高考試題的變化.筆者認(rèn)為僅限于此還不夠，教師應(yīng)深度研讀高考試題，挖掘試題的來(lái)源，探尋試題的不同解法，并深度拓展試題，啟迪高三復(fù)習(xí)備考.下面以2018年全國(guó)卷I文20(理19可看成它的變式)為例具體談?wù)勛约旱目捶?，與大家交流.

1 試題呈現(xiàn)

設(shè)拋物線C：y2=2x,點(diǎn)A(2,0)、B(-2,0),過點(diǎn)A的直線l與C交于M、N兩點(diǎn).

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；

(2)證明：∠ABM=∠ABN.

本題以拋物線為載體，以直線與拋物線的位置關(guān)系(相交)為依托，借助兩角相等，綜合考查直線、拋物線以及它們之間的關(guān)系等知識(shí)；在解決問題的過程中，進(jìn)一步考查學(xué)生的邏輯推理與運(yùn)算求解能力，從中滲透了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，綜合性強(qiáng)，有一定難度.

2 試題來(lái)源

2.1 試題命制猜想

該試題改編自教材，過程如下：

(1)人教版數(shù)學(xué)選修2-1第73頁(yè)第6題：“如圖1，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A、B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB”；

(2)如圖2，去掉線段OA、OB以及點(diǎn)F,然后取直線y=x-2與x軸交點(diǎn)M(2,0)及定點(diǎn)N(-2,0),連接NA、NB；

圖1

圖2

圖3

(3)如圖3，把直線y=x-2改為任意過M(2,0)的直線l，并把相應(yīng)的字母交換，就得到試題.

2.2 改編前后對(duì)比

試題保持了教材中拋物線和點(diǎn)(2,0)不變，把直線y=x-2一般化，并添加了與點(diǎn)(2,0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)(-2,0),而結(jié)論也由線垂直改為角相等.通過這樣的改編，使得試題的深度和靈活性都得到大幅度地提高，符合高考命題(源于教材，又高于教材)的要求.

3 試題解法

3.1 解法

(1)是求特殊位置(直線l與x軸垂直)下的直線方程，易得直線BM的方程為x-2y+2=0或x+2y+2=0(過程略).對(duì)于(2)，由于∠ABM與∠ABN的公共邊在x軸上，另外兩邊分居x軸的兩側(cè)，故證∠ABM=∠ABN主要有四條思路：利用角平分線定理的逆定理，直線BM、BN的斜率之和為零以及三角形相似.由于當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，易證∠ABM=∠ABN,只考慮直線l不垂直x軸的情況.

解法1利用角平分線定理1的逆定理

解法2利用角平分線定理的逆定理

設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),M(x1,y1),N(x2,y2),

解法3利用兩直線的斜率之和為零

因?yàn)镸(x1,y1),N(x2,y2)都在直線l：x=my+2上，所以x1=my1+2，x2=my2+2.

因此kBM+kBN=

=∠ABN.

解法4利用三角形相似

圖4

故∠ABM=∠ABN.

當(dāng)然也可以借助BM上關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)在BN上，或者向量法證明.

3.2 解法對(duì)比

四種解法都是以直線與拋物線相交為基礎(chǔ)，在設(shè)而不求思想的指導(dǎo)下，通過消元建立關(guān)于x或y的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得到等式，為證明命題做準(zhǔn)備.其中方法1與方法2直接利用角平分線定理的逆定理，具有初中知識(shí)背景，容易想到，但是對(duì)運(yùn)算能力要求較高，對(duì)一般的學(xué)生是一種挑戰(zhàn)，一般不提倡用它.方法3是把角相等轉(zhuǎn)化為斜率之和為零，相對(duì)于前兩種方法，運(yùn)算量減少，但思維量增大，這是師生一般采用的方法.方法4側(cè)重于幾何法，構(gòu)造三角形相似，簡(jiǎn)化了運(yùn)算量，但學(xué)生不易想到.四種方法各有千秋，只有讓學(xué)生親身感受解題的過程，才能深刻領(lǐng)會(huì)各種方法的優(yōu)缺點(diǎn).

4 試題拓展

4.1 拓展

拓展1設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0),點(diǎn)A(a,0),B(-a,0)(a>0),過點(diǎn)A的直線l與C交于M、N兩點(diǎn),那么∠ABM與∠ABN是否相等？

拓展2已知A、B、C、D是拋物線E：y2=2px(p>0)上的四點(diǎn)，A、C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱且在直線BD的異側(cè)，直線l:x-y+1=0是拋物線在C點(diǎn)處的切線，BD∥l,那么AC平分∠BAD嗎？

拓展3設(shè)圓C：x2+y2=r2(r>0),點(diǎn)A(a,0),B(-a,0)(0

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

4.2 拓展分析

在試題的基礎(chǔ)上，通過變換載體(從拋物線到圓、橢圓再到雙曲線)實(shí)現(xiàn)橫向拓展，在同一載體(拋物線、橢圓)下變換條件進(jìn)行縱向拓展，力求舉一反三，打通知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，開拓視野，發(fā)展學(xué)生的思維能力.

5 復(fù)習(xí)備考啟示

5.1 復(fù)習(xí)備考，注重教材的深度挖掘

復(fù)習(xí)備考的主要目的是解高考題.關(guān)于如何解高考題，羅增儒教授曾指出：“教材是高考命題的基本依據(jù).有的試題直接取自教材，或?yàn)樵}、或?yàn)轭愵}；有的試題是教材概念、定理、例題、習(xí)題的改編；有的試題是教材中的幾道題目、幾種方法的串聯(lián)、并聯(lián)、綜合與開拓；少量難題也是按照教材內(nèi)容設(shè)計(jì)的，在綜合性、靈活性上提出較高要求.”[1]在談到復(fù)習(xí)備考時(shí)，章建躍博士曾強(qiáng)調(diào)：“高考復(fù)習(xí)教學(xué)，基本而重要的是使學(xué)生系統(tǒng)掌握課本知識(shí)，形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).這是教師應(yīng)作、能做且必須做好的工作.不能拋開課本搞復(fù)習(xí)！”[2]由此可見，教材在復(fù)習(xí)備考中的重要性.在復(fù)習(xí)備考中，教師要依托教材，對(duì)教材深度挖掘，不僅要串聯(lián)起相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還要對(duì)一些例題、習(xí)題加工整合，必要的話可適度拓展.對(duì)于“復(fù)習(xí)就是講題”，“復(fù)習(xí)無(wú)需教材”等片面的備考觀要引起重視，實(shí)踐證明，任何脫離教材的備考都是不靠譜的.

5.2 復(fù)習(xí)備考，注重習(xí)題的深度解析

眾所周知，高考數(shù)學(xué)科的考試時(shí)間有限且極其珍貴，如何節(jié)約時(shí)間將是影響高考成績(jī)的重要因素.而高考試題的設(shè)置往往入口寬，解法多樣，這就要求學(xué)生在短暫的時(shí)間內(nèi)選擇最優(yōu)的解法(如文20的思路3與思路4).這種最優(yōu)法選擇的培育源于平時(shí)教學(xué)，源于復(fù)習(xí)備考.而復(fù)習(xí)備考主要是讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題.解題就是尋找題目的條件與結(jié)論之間的通達(dá)路徑，路徑不同，解法亦不同.

有的路徑曲曲折折，但沿途風(fēng)景優(yōu)美；有的路徑平坦通達(dá)，但略顯乏味.只有讓學(xué)生親身體驗(yàn)，才能品味到個(gè)中的滋味，才能在解題中靈活應(yīng)用.因此，在復(fù)習(xí)備考的途中，對(duì)于解法多樣的習(xí)題，教師要有足夠的耐心，深度解析各種方法，讓學(xué)生在比較中開拓思路；教師不能以趕進(jìn)度為借口，選擇一種自認(rèn)為合適的解法，草率的結(jié)束了事，這樣不利于學(xué)生思維的發(fā)展和解題能力的提升.

5.3 復(fù)習(xí)備考，注重習(xí)題的深度拓展

復(fù)習(xí)備考，時(shí)間緊、任務(wù)重，教師往往為了趕時(shí)間、趕進(jìn)度，把有“內(nèi)涵”的試題輕易地放過了.表面上題沒少講，但實(shí)際上效果并不佳，再遇到類似的題目學(xué)生仍不會(huì)做，或看起來(lái)會(huì)做就是做不對(duì)，復(fù)習(xí)的效果可想而知.教師應(yīng)抓住有“內(nèi)涵”的試題不放手，不僅深度解析試題，還要在此基礎(chǔ)上加以拓展，讓學(xué)生通過一道題看透一類題,“拔出蘿卜帶出泥”.這樣可以避免“刷題”帶給學(xué)生的體力勞動(dòng)，保證做適量的題達(dá)到有效復(fù)習(xí)備考的目的.

總之，在高考試題面前，教師要做一個(gè)“有心”人，既認(rèn)真做高考題，又要抱著一種欣賞的態(tài)度，從不同方面、不同角度深度研讀它.唯有這樣，才能取得收獲，獲得啟迪，進(jìn)而提升復(fù)習(xí)備考的效果.