操作 感知 推理
——“三角形的中位線性質(zhì)”教學(xué)過程分析

■孫 潔

圖形的運(yùn)動(dòng)是現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的現(xiàn)象，同時(shí)也是探索一些圖形性質(zhì)的手段。蘇科版教材的特點(diǎn)是注重借助圖形的運(yùn)動(dòng)來認(rèn)識和研究圖形，例如“圖形的平移”“軸對稱和軸對稱圖形”，等等。八年級下冊第九章在此基礎(chǔ)上，立足于學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和初步的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從觀察生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象開始，以中心對稱為主線，展開對平行四邊形、矩形、菱形、正方形以及三角形中位線的研究。“中位線性質(zhì)”這一課時(shí)通過圖形的運(yùn)動(dòng)，探索、發(fā)現(xiàn)并確認(rèn)三角形中位線的一些性質(zhì)，有助于學(xué)生發(fā)展幾何直觀和空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，提高學(xué)生研究圖形性質(zhì)的興趣，幫助學(xué)生從中體會(huì)到研究圖形性質(zhì)可以有不同的方法。

教材共分3個(gè)部分來探索三角形的中位線。一是剪紙拼圖；二是對上述操作得出的圖形進(jìn)行猜想，直觀感知三角形的中位線；三是用演繹推理的方式證明三角形的中位線定理。

一、剪紙拼圖，建立三角形與平行四邊形的聯(lián)系

教材直接呈現(xiàn)問題：“怎樣將一張三角形紙片剪成兩部分，使這兩部分能拼成一個(gè)平行四邊形？”在實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，如果直接將該問題拋給學(xué)生，對本校八年級的學(xué)生來說是有難度的，他們很難想到去取三角形的兩邊中點(diǎn)然后連接。而如果直接將教材上的操作步驟告訴學(xué)生，讓學(xué)生按步驟一步一步地“依葫蘆畫瓢”，又不免落入“偽操作”的境地。

因此，筆者將該操作分解為以下幾個(gè)任務(wù)型問題：

問題1：怎樣將一張直角三角形紙片剪成兩部分，使這兩部分能拼成一個(gè)矩形？

問題2：為什么得到的圖形是矩形？

問題3：你能將這兩部分換一種運(yùn)動(dòng)方式得到一般平行四邊形嗎？

問題4：你能將一般三角形紙片剪成兩部分，使這兩部分拼成一個(gè)平行四邊形嗎？

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了矩形的判定方法，知道要構(gòu)造矩形必須要找到直角，而要能夠拼合，必須要有相等的邊，故只需取某一邊的中點(diǎn)。如圖1，取AB的中點(diǎn)D，過D點(diǎn)將紙片折疊，使A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，再沿折痕將直角三角形剪成兩部分，如圖2，將△AED繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°即可。

圖1

圖2

圖3

此時(shí)呈現(xiàn)問題2：為什么得到的圖形是矩形？學(xué)生們都能夠根據(jù)三個(gè)直角來說理，但所有的學(xué)生都忽視了E、D、F三點(diǎn)是否共線的問題。于是筆者接著追問：你認(rèn)為你得到的圖形一定是個(gè)四邊形嗎？要說明它是個(gè)四邊形，必須要說明什么？

到這里，學(xué)生已經(jīng)解決了拼形問題。筆者繼續(xù)追問：你認(rèn)為點(diǎn)E應(yīng)該是什么點(diǎn)？為什么？你能將這兩部分換一種方式得到一般的平行四邊形嗎？學(xué)生在剛才操作的基礎(chǔ)上很快解決了這兩個(gè)問題：點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，只需將△AED繞E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°即可。

至此，學(xué)生已經(jīng)能夠輕松解決教材最初提出的問題“怎樣將一張三角形紙片剪成兩部分，使這兩部分拼成一個(gè)平行四邊形”了。于是讓學(xué)生獨(dú)立操作完成該問題，并將理由說給同桌聽聽。

本環(huán)節(jié)通過任務(wù)型問題串的方式層層深入，由特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生說理，讓學(xué)生在操作中思考，在動(dòng)手中動(dòng)腦，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

二、感知確認(rèn)，發(fā)現(xiàn)三角形中位線性質(zhì)

在剛才的操作過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)要將三角形剪拼成平行四邊形，需要一條重要的線段，而這條線段與三角形的第三邊似乎存在著某些特殊的關(guān)系，于是有必要來研究它。這樣就很自然地得出了中位線的定義——連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，并對中位線的性質(zhì)做出了直觀的猜想和感知。事實(shí)上，從上面的操作中，我們已經(jīng)說明了四邊形DBCF是平行四邊形，學(xué)生已經(jīng)能夠在此基礎(chǔ)上根據(jù)這個(gè)圖形說明DE與BC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。這實(shí)際上是蘇科版教材運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)發(fā)現(xiàn)并確認(rèn)圖形性質(zhì)的一個(gè)典型案例，但由于教師與學(xué)生都習(xí)慣了三段式的演繹推理的證明方式，往往都是利用圖形的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行猜想和發(fā)現(xiàn)，卻忽視了有的性質(zhì)利用圖形運(yùn)動(dòng)也能夠進(jìn)行確認(rèn)。比如教材中的“垂徑定理”“切線長定理”“垂線段最短”“兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等”，等等。所以，在教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識地強(qiáng)化運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)感知并確認(rèn)圖形性質(zhì)的訓(xùn)練。

三、演繹推理，證明三角形中位線定理

教師提出問題：你有其他方法證明三角形中位線定理嗎？學(xué)生有了剛才操作的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)要說明中位線與第三邊的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，只要尋找到平行四邊形即可。如圖4，可以作輔助線“過C點(diǎn)作CF‖AB，交DE的延長線于F點(diǎn)”，這樣就把對三角形中位線性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為用平行四邊形的性質(zhì)來證明。在這個(gè)轉(zhuǎn)化的過程中，學(xué)生能夠感悟圖形的運(yùn)動(dòng)帶來了作輔助線的靈感，演繹推理的思路來源于圖形的運(yùn)動(dòng)。

圖4

當(dāng)然，我們也可以繼續(xù)探究中位線定理證明的不同方法，拓寬學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。如：要證明一條線段是另一條線段的一半，你有哪些方法？常見的思路有兩種：加倍和折半。加倍的方法就是延長DE到F點(diǎn)，如圖5，使EF=DE，連接CF，這樣就構(gòu)造出來2DE，只要再證明四邊形BDFC是平行四邊形即可；折半的方法就是想辦法構(gòu)造出BC的一半，常規(guī)思路是取中點(diǎn)，但這樣會(huì)出現(xiàn)三個(gè)中點(diǎn)，對解決中位線問題并無幫助，如圖6，可以過E作EF‖AB，過E點(diǎn)作ED′‖BC，這樣可得平行四邊形ED′BF，可證△AD′E≌ △EFC，得AD′=EF，而由平行四邊形性質(zhì)可得EF=BD，所以AD′=AD，即D′是AB的中點(diǎn)，D′E與DE重合，即證。

圖5

圖6

蘇科版教材中“三角形中位線性質(zhì)”的教學(xué)過程表明：操作、感知、說理是學(xué)生發(fā)現(xiàn)并證明圖形性質(zhì)的重要途徑。在這個(gè)過程中，學(xué)生能親身經(jīng)歷“用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論、用演繹推理證明結(jié)論”的完整推理過程，感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這對提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)是非常有利的。

課標(biāo)指出，空間觀念、幾何直觀、推理能力的培養(yǎng)與發(fā)展是一個(gè)長期積累的過程，教師應(yīng)利用多種途徑、多種方式，通過多樣化的活動(dòng)來提升學(xué)生的幾何素養(yǎng)。探索活動(dòng)是進(jìn)行合情推理的過程，有助于學(xué)生理清思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，也有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神，演繹推理的證明有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重操作猜想、探索發(fā)現(xiàn)和演繹推理的有機(jī)結(jié)合，有利于實(shí)現(xiàn)“增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力”的課程總目標(biāo)。