新課程下高中數(shù)學(xué)反證法的具體運(yùn)用

摘 要：反證法的合適運(yùn)用能夠培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力、邏輯思維能力以及發(fā)展學(xué)生智力，本文就高中數(shù)學(xué)反證法的具體運(yùn)用做出討論。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；反證法；運(yùn)用；思維能力

高中數(shù)學(xué)比初中數(shù)學(xué)深?yuàn)W許多，存在很多難以直接解決的問題，像假設(shè)條件中不存在需要的有效條件、對(duì)問題的解決辦法不能一目了然，這時(shí)候高中生就需要變換思路，嘗試用反證法解決問題。

一、 反證法輕松解決存在性問題

存在性問題即涉及“存在”“必有”“至少有”“至多有”等關(guān)鍵詞的命題，這類問題從一般邏輯出發(fā)，往往涉及分門別類、分段討論等，比較麻煩，更容易讓學(xué)生們眼花繚亂、思路混淆，這時(shí)候?qū)W生們不如采用迂回求解的辦法，從原命題的逆否命題著手，我們知道若原命題為真，則其逆否命題為真，能夠證明其逆否命題為真，問題就迎刃而解了。概括反證法的解決問題步驟就是：否定——推理——否定。在存在性問題的證明中，反證法無疑是解決問題最簡(jiǎn)潔的方法，學(xué)生們應(yīng)該牢固掌握，并加以運(yùn)用，來解決卷面和生活中的數(shù)學(xué)問題。

二、 反證法輕松解決唯一性問題

反證法在唯一性證明問題中的應(yīng)用也非常普遍。唯一性問題即帶有“唯一”“只有一個(gè)”等字眼的證明性問題。由于不同部分所適用的定義域的不同，學(xué)生們應(yīng)該分類討論，呈現(xiàn)在試卷上的也是長(zhǎng)篇大論，還不如證明該問題的兩個(gè)或者多個(gè)解是相同的，相應(yīng)也就證明了該證明題的解是唯一的。反證法就是首先否定結(jié)論，作相反的判斷，再將其當(dāng)作已知條件，站在正常的邏輯思維角度，進(jìn)行推理，所得結(jié)論與已知條件背道而馳，從而就能夠證明原命題的正確性。以上觀點(diǎn)也是反證法中矛盾律的體現(xiàn)：對(duì)于這樣一種相同的事理，在對(duì)其的所有推理證明過程中，在同一理論體系下，一定不會(huì)存在矛盾。

比如，已知三角函數(shù)方程：x=sinx+m（m是常數(shù)），試證明該三角函數(shù)方程的解是唯一的。

對(duì)于該證明題，利用反證法只需要從解的角度出發(fā)，相反觀點(diǎn)就是該函數(shù)方程的解不唯一，然后求出其兩個(gè)解，證明這兩個(gè)解是相同的，所得結(jié)論與已知條件相違背，從而間接證明該證明題：

三、 反證法輕松解決分段式命題的逆命題

分?jǐn)嗍矫}即命題的主題以分段的形式書寫，不同的表達(dá)方式有不同的定義域，這類證明問題，如果從正常的邏輯思維出發(fā)，就要論證兩個(gè)甚至多個(gè)領(lǐng)域的命題的正確性，既繁瑣又困難，像崎嶇不平的山間小路，需要經(jīng)歷許多的曲折才能夠“柳暗花明又一村”。如果采用反證法就會(huì)讓廣大學(xué)子們眼前一亮，這條路線就像寬闊而又筆直的馬路直通勝利的彼岸，鼓舞學(xué)生們解決數(shù)學(xué)難題的氣勢(shì)，給予學(xué)生們自信心，在數(shù)學(xué)的世界中“為所欲為”，富有創(chuàng)新精神，思維活躍，在接解決數(shù)學(xué)問題時(shí)游刃有余。

以上我做了一些關(guān)于反證法在存在性問題、唯一性問題、分段命題的逆命題正確性問題證明的簡(jiǎn)單討論，其實(shí)在數(shù)學(xué)世界中還有很多種類的問題可以用到反證法，像否定性問題、肯定性問題、無限性問題等許多難以直接證明的問題，反證法的應(yīng)用能夠給學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題帶來極大的便利，活躍學(xué)生的思維，平和學(xué)生的心態(tài)，開發(fā)自己的潛能，讓學(xué)生們?cè)诳荚囈约吧钪卸寄軌蚴炀氻樌亟鉀Q數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問題，真正地做到學(xué)以致用，以用促學(xué)，二者相互促進(jìn)，讓學(xué)生能夠更進(jìn)一步，所以教師們也要重視數(shù)學(xué)反證法在高中階段的重要性！

作者簡(jiǎn)介：

廖庚泰，甘肅省甘南藏族自治州，夏河縣夏河中學(xué)。