談等差數(shù)列的主要性質(zhì)及其常考題型

摘要：等差數(shù)列的內(nèi)容內(nèi)涵豐富，其中，等差數(shù)列的性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用?；钣眯再|(zhì)，不僅可以獲得較好的解題思路與方法，而且有利于簡(jiǎn)化運(yùn)算，快速解題，加深對(duì)等差數(shù)列的認(rèn)識(shí)。本文筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談點(diǎn)思考。

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列；解題方法；解題技巧

一、 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

例1（1）已知{an}為等差數(shù)列，a3+a4+a5+a6+a7=450。求a2+a8的值。

（2） 設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列。若a1+b1=7，a3+b3=21，則a5+b5=。

（1） 解：∵a3+a4+a5+a6+a7=450，

由等差數(shù)列的性質(zhì)知：a3+a7=a4+a6=2a5。

∴5a5=450?！郺5=90。

∴a2+a8=2a5=180。

（2） 解析：設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，因?yàn)閍3+b3=（a1+2d1）+（b1+2d2）=（a1+b1）+2（d1+d2）=7+2（d1+d2）=21，所以d1+d2=7，所以a5+b5=（a3+b3）+2（d1+d2）=21+2×7=35。

【類題通法】

1. 利用通項(xiàng)公式時(shí)，如果只有一個(gè)等式條件，可通過(guò)消元把所有的量用同一個(gè)量表示。

2. 本題的求解主要用到了等差數(shù)列的以下性質(zhì)：

若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。

對(duì)于此性質(zhì)，應(yīng)注意：必須是兩項(xiàng)相加等于兩項(xiàng)相加，否則不一定成立。例如，a15≠a7+a8，但a6+a9=a7+a8；a1+a21≠a22，但a1+a21=2a11。

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1. 已知{an}為等差數(shù)列，a15=8，a60=20，則a75=。

解析：因?yàn)閍15=a1+14d，a60=a1+59d，

所以a1+14d=8，

a1+59d=20，解得

a1=6415，

d=415。

故a75=a1+74d=6415+74×415=24。

答案：24

二、 靈活設(shè)元求解等差數(shù)列

例2三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為12，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的12倍，求這三個(gè)數(shù)。

解：設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為a-d，a，a+d，

則（a-d）+a+（a+d）=12

（a-d）·a=12（a+d）解得a=4d=-2

∴這三個(gè)數(shù)為6，4，2。

【類題通法】

常見(jiàn)設(shè)元技巧

（1） 某兩個(gè)數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個(gè)數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個(gè)數(shù)為：a-d，a+d，公差為2d；

（2） 三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：a-d，a，a+d，公差為d；

（3） 四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成a-3d，a-d，a+d，a+3d，公差為2d。

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

2. 已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，四個(gè)數(shù)之和為16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積為15，求這個(gè)等差數(shù)列。

解：設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為a-3d，a-d，a+d，a+3d。由題設(shè)知：

（a-3d）+（a-d）+（a+d）+（a+3d）=16

（a+d）·（a-d）=15

解得a=4d=1或a=4d=-1

∴這個(gè)數(shù)列為1，3，5，7或7，5，3，1。

三、 等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

例3某公司經(jīng)銷一種電子產(chǎn)品，第1年獲利400萬(wàn)元，從第2年起由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)等方面的原因，利潤(rùn)每年比上一年減少40萬(wàn)元，按照這一規(guī)律如果公司不開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？

解：由題意可知，設(shè)第1年獲利為a1，第n年獲利為an，則an-an-1=-40（n≥2，n∈N*），每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且首項(xiàng)a1=400，公差d=-40，

所以an=a1+（n-1）d=400+（n-1）×（-40）

=-40n+440。

若an<0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損，

由an=-40n+440<0，解得n>11，

即從第12年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損。

【類題通法】

1. 在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，若題目涉及一組與順序有關(guān)的數(shù)的問(wèn)題，則可考慮利用數(shù)列方法解決，若這組數(shù)依次成遞增或遞減趨勢(shì)，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決。

2. 在利用數(shù)列方法解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題時(shí)，一定要弄清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等基本關(guān)鍵量。

作者簡(jiǎn)介：

邢春柳，江蘇省南京市，南京市寧海中學(xué)。