數(shù)控機床傳動機構(gòu)精度可靠性優(yōu)化研究*

徐 琦，羅路平，夏 力

(浙江工業(yè)大學 浙江省特種裝備制造與先進加工技術(shù)重點實驗室，浙江 杭州 310014)

0 引 言

數(shù)控機床為先進制造行業(yè)的基礎(chǔ)裝備，其加工精度及可靠性決定了我國機床制造業(yè)的水平。數(shù)控機床實際加工過程中，存在許多類型各異、產(chǎn)生原因復雜的不確定性誤差，常常導致數(shù)控機床精度低、可靠性差等問題。常見機床誤差主要分為幾何誤差、熱誤差、切削力誤差、運動誤差、夾具誤差、伺服誤差等。其中，當溫度變化較穩(wěn)定時，幾何誤差是最重要的誤差因素之一，約占總誤差的40%[1-2]，因此在機床研制過程中，優(yōu)化幾何誤差能有效提高機床精度可靠性。

近年來，數(shù)控機床精度可靠性優(yōu)化受到了國內(nèi)學者的廣泛關(guān)注，如鄭財、黃賢振等[3]基于多體系統(tǒng)理論建立的數(shù)控機床空間幾何誤差模型，運用改進的一次二階矩法和蒙特卡洛法，進行了三軸數(shù)控機床空間加工精度可靠性計算；李翠玲[4]、賈丹丹[5]等基于多體系統(tǒng)理論，建立了數(shù)控機床的誤差模型，結(jié)合隨機輸入誤差，進行了機構(gòu)運動精度可靠性計算；田文杰[6]、劉恩[7]等利用激光干涉儀基于九線法檢測，通過幾何誤差辨識模型，對數(shù)控機床運動軸幾何誤差進行了溯源，為機床精度優(yōu)化提供了理論指導；韓飛飛[8]借助球桿儀對平面綜合誤差進行圓檢驗，分析了工件坐標系下綜合誤差分量與球桿儀半徑變化之間的關(guān)系，獲得了圓偏差產(chǎn)生的各項因素及所占比例，通過機床硬件調(diào)整、修理、更換，快速提高機床的精度性能。

綜上所述，目前學者們大多是基于建立的數(shù)控機床空間誤差模型及儀器測量的方式，確定較簡單的數(shù)控機床的幾何誤差值，并未根據(jù)數(shù)控機床傳動機構(gòu)的結(jié)構(gòu)，進行幾何誤差的深層溯源確定。

本文以某數(shù)控機床傳動機構(gòu)為研究對象，在機床空間誤差建模的基礎(chǔ)上，根據(jù)影響因素誤差多層映射模型，得到X、Y、Z軸3個方向上的傳動機構(gòu)主要零部件參數(shù)與機床空間幾何誤差的傳遞模型；利用一次二階矩法進行混合幾何誤差精度可靠度分析，結(jié)合可靠度靈敏度分析，實施數(shù)控機床傳動機構(gòu)精度可靠性優(yōu)化，確定機床傳動機構(gòu)幾何誤差的精度參數(shù)。

1 某數(shù)控機床幾何誤差建模

1.1 基于多體系統(tǒng)理論的數(shù)控機床幾何誤差建模

某數(shù)控機床為三軸伺服直聯(lián)控制半閉環(huán)立式加工中心。三軸均為鋼球滾動直線導軌，采用高精度高強度的內(nèi)循環(huán)雙螺母預壓大導程滾珠絲杠，且主軸通過同步帶驅(qū)動伺服電機，其機構(gòu)簡圖如圖1所示。

圖1 某數(shù)控機床機構(gòu)簡圖

以數(shù)控機床床身為參考體進行標定的拓撲結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 拓撲結(jié)構(gòu)圖0—床身;1—X向滑臺;2—Y向工作臺;3—Z向?qū)к?4—主軸;5—刀具

結(jié)構(gòu)包括床身—工作臺運動鏈和床身—刀具運動鏈，在此基礎(chǔ)上建立基于多體系統(tǒng)理論的數(shù)控機床幾何誤差模型[9]。

導軌X軸方向的6項誤差如圖3所示。

圖3 導軌X軸方向的6項誤差

由位姿變化矩陣傳遞法則可知[11]，點Ki在相鄰低序體G坐標系中的位置坐標可以表示為：

(1)

式中：TSG—高序體S與相鄰低序體G之間的位姿變換矩陣；TKS—高序體K與相鄰低序體S之間的位姿變換矩陣；PKi—點Ki在體K坐標系中的位置坐標。

因此，數(shù)控機床移動軸在經(jīng)過微小移動和轉(zhuǎn)動后，位姿誤差變換矩陣和垂直度誤差變換矩陣分別為：

(4)

式中：Δx,Δy,Δz—變換過程中沿X、Y、Z軸的微小移動量。

根據(jù)幾何誤差變化方法，相鄰序體間實際(有誤差)運動的變換矩陣可表示為：

Tij=TijpΔTijpTijsΔTijs

(6)

式中：Tijp—序體相對靜止的理想位置變換矩陣;ΔTijp—序體相對靜止的實際位置變換矩陣;Tijs—序體相對運動的理想位置變換矩陣;ΔTijs—序體相對運動的實際位置變換矩陣。

故數(shù)控機床的各序體之間的空間位置誤差轉(zhuǎn)換矩陣可以表示為：T01=RyzT(x)，T12=RxyT(y)，T03=RzxT(z)，T34=I4×4，T45=I4×4。

設(shè)刀具上的成型點在刀具坐標系中的齊次坐標為Pt=(ptx,pty,ptz,1)T，在工件坐標系內(nèi)理論位置變化曲線為Pw=(pwx,pwy,pwz,1)T，因此數(shù)控機床空間位置誤差可是表示如下：

E=T01T12Pw-T03T34T45Pt=(Ex,Ey,Ez,1)T

(7)

式中：Ex,Ey,Ez—數(shù)控機床X、Y和Z軸3個方向位置誤差。

1.2 數(shù)控機床傳動機構(gòu)幾何誤差建模

本研究根據(jù)數(shù)控機床誤差傳遞結(jié)構(gòu)，建立能直觀反映數(shù)控機床零部件與數(shù)控機床末端位姿精度耦合和遞進影響關(guān)系的影響因素多層映射模型圖，如圖4所示。

圖4 數(shù)控機床傳動機構(gòu)精度可靠性影響因素多層映射模型

本研究根據(jù)該模型圖確定數(shù)控機床傳動機構(gòu)主要零部件參數(shù)與數(shù)控機床空間幾何誤差項的傳遞關(guān)系，建立更為具體、精確的數(shù)控機床傳動機構(gòu)的空間幾何誤差傳遞模型，為精度可靠性優(yōu)化打下基礎(chǔ)。

針對影響因素層1和2，將數(shù)控機床傳動機構(gòu)簡化為控制電機—齒輪減速機構(gòu)—滾珠絲杠—工作臺/刀具，數(shù)控機床傳動機構(gòu)結(jié)構(gòu)示意圖如圖5所示。

圖5 數(shù)控機床傳動機構(gòu)結(jié)構(gòu)示意圖

由圖可知：滾珠絲杠的幾何誤差將最直接影響工作臺或者刀具的幾何誤差。為了適當簡化分析模型，本研究通過對X、Y、Z軸3個方向上的滾珠絲杠副進行具體分析，確定滾珠絲杠幾何誤差與數(shù)控機床21項幾何誤差的對應(yīng)關(guān)系。

以X軸朝向的滾珠絲杠為例進行分析，根據(jù)國家標準和現(xiàn)有研究可得如下公式：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

已知數(shù)控機床傳動機構(gòu)的滾珠絲杠幾何參數(shù)如表1所示。

表1 滾珠絲杠幾何參數(shù)

根據(jù)式(8～12)中各誤差參數(shù)計算公式可得數(shù)控機床X軸誤差參數(shù)分布情況，如表2所示。

表2 誤差參數(shù)分布(直線誤差：μm，角度誤差：弧秒)

將表2中各誤差參數(shù)代入式(8～12)，確定數(shù)控機床X軸傳動機構(gòu)的幾何誤差分布情況，同理可得數(shù)控機床Y軸和Z軸傳動機構(gòu)的幾何誤差及對應(yīng)的垂直度誤差。

數(shù)控機床傳動機構(gòu)21項幾何誤差參數(shù)及編號如表3所示。

表3 數(shù)控機床傳動機構(gòu)21項幾何誤差參數(shù)及編號(直線誤差：μm，角度誤差：弧秒)

將表3數(shù)值代入公式(7)可得到數(shù)控機床在X、Y、Z軸3個方向的總誤差Ex、Ey和Ez。

2 數(shù)控機床傳動機構(gòu)精度可靠性分析

2.1 傳動機構(gòu)幾何誤差精度極限狀態(tài)函數(shù)

設(shè)I為數(shù)控機床傳動機構(gòu)的最大幾何誤差，則數(shù)控機床傳動機構(gòu)幾何誤差精度可靠性極限狀態(tài)函數(shù)為：

(13)

式中：*—誤差方向(“+”—沿運動方向；“-”—沿運動反方向)，同方向誤差值進行判斷；i=x，y，z；X—隨機變量向量；Y—區(qū)間變量向量。

由式(7)可知：當數(shù)控機床位置坐標x、y、z，刀具成型點坐標Pt和Pw已知時，極限狀態(tài)函數(shù)G中變量為：

X=(δy(x),δz(x),εy(x),εz(x),δx(y),δz(y),εx(y),

εz(y),δx(z),δy(z),εx(z),εy(z),Sxy,Syz,Szx)

Y=(δx(x),εx(x),δy(y),εy(y),δz(z),εz(z))

2.2 基于一次二階矩的混合幾何誤差精度可靠性計算

數(shù)控機床傳動機構(gòu)精度性能可以通過極限狀態(tài)函數(shù)值是否大于0來決定，當G<0時，系統(tǒng)失效，故失效概率可表示為：

(14)

式中：Pr{·}—概率。

可靠度可表示為：

R=Pr{I-

(15)

由于區(qū)間變量Y的存在，數(shù)控機床傳動機構(gòu)的誤差Ei在空間中是由兩個極限邊界面組成的極限狀態(tài)帶，根據(jù)條件概率公式，可得失效概率的最大值和最小值：

(16)

根據(jù)一次二階矩法，失效概率的最值計算公式又可以采用文獻[17]的方法進行計算，即：

(17)

式中：u*—最大概率點。

某數(shù)控機床傳動機構(gòu)在未經(jīng)過伺服系統(tǒng)控制狀態(tài)下的精度要求：X、Y、Z軸定位精度為0.1 mm，以此為條件，可求得該數(shù)控機床傳動機構(gòu)精度可靠度，如表4所示。

表4 數(shù)控機床傳動機構(gòu)精度可靠度

由表可知：數(shù)控機床傳動機構(gòu)在不同移動方向上的精度可靠性均值為96.89%，最小值為95.21%，精度可靠性較低，需要對各誤差進行合理控制。

3 精度可靠性靈敏度分析及優(yōu)化

3.1 精度可靠性靈敏度分析

由于所有誤差的分布類型、分布參數(shù)都將對可靠性的靈敏程度產(chǎn)生影響，本研究通過可靠性靈敏度分析確定各誤差的分布參數(shù)靈敏度程度。

本文主要通過數(shù)控機床傳動機構(gòu)在X、Y、Z軸3個方向上的總誤差Ei對各個誤差Δej={δk,εl,Sm}求偏導，得到數(shù)控機床傳動機構(gòu)各幾何誤差的靈敏度[18]：

(18)

對靈敏度進行歸一化處理，得到對應(yīng)靈敏度系數(shù)：

(19)

由式(7，18～19)，可求得21項幾何誤差的靈敏度系數(shù)，如圖(6～8)所示。

圖6 X軸方向誤差源靈敏度系數(shù)

圖7 Y軸方向誤差源靈敏度系數(shù)

圖8 Z軸方向誤差源靈敏度系數(shù)

由圖(6～8)可以看出：X軸和Z軸方向上，εy(x)、εy(y)、εy(z)、Szx的靈敏度較高，Y軸方向上，εz(x)、εz(y)、εz(z)、Sxy的靈敏度較高。

誤差源編號如表3所示。并將靈敏度系數(shù)較小的誤差源合并，編號為22。

3.2 精度可靠性優(yōu)化

基于可靠性靈敏度分析結(jié)果，本研究對數(shù)控機床傳動機構(gòu)21項幾何誤差的精度分配進行優(yōu)化設(shè)計。

3.2.1 精度優(yōu)化模型

本研究以制造成本最小化為優(yōu)化目標，建立數(shù)控機床傳動機構(gòu)幾何誤差的精度分配的優(yōu)化模型[19]：

(20)

式中：xi—各項幾何誤差值；ki—各變量的成本權(quán)重系數(shù)。

在設(shè)計制造階段，不能精確給出數(shù)值，因此筆者對其進行定性估計，本研究以3個方向上最大靈敏度為成本系數(shù)，進行歸一化處理，得到相應(yīng)的成本權(quán)重系數(shù)[20-22]；λi—線位移和角位移量綱同一化系數(shù)，線位移量綱為λi=1，角位移量綱為λi=57.2[23]；αi—公差特征指數(shù)，取αi=2。

設(shè)計變量即為各項幾何誤差項，可表示為：

x=(δx(x),δy(x),δz(x),εx(x),εy(x),εz(x),δx(y),

(δy(y),δz(y),εx(y),εy(y),εzy),δx(z),δy(z),

δz(z),εx(z),εy(z),εz(z),Sxy,Syz,Szx)

根據(jù)數(shù)控機床傳動機構(gòu)精度要求，X、Y、Z軸傳動方向上的誤差約束條件可表示為：

(21)

根據(jù)各項誤差源的分布情況，單個誤差源的約束條件可表示為：

ximin≤xi≤ximax

(22)

3.2.2 精度可靠性優(yōu)化結(jié)果對比

數(shù)控機床傳動機構(gòu)幾何誤差分配優(yōu)化的目的是在滿足約束條件下尋找制造成本的最優(yōu)解。本研究基于Matlab編程，采用遺傳算法進行誤差分配優(yōu)化，配置參數(shù)：初始種群數(shù)為200，隨機均勻分布，按0-1二進制雜交，雜交概率為0.8，雙向遷移，運行100代停止，運行求解；采用蒙特卡洛抽樣法求解每組精度分配值的精度可靠性。

分配優(yōu)化結(jié)果如表5所示。

表5 數(shù)控機床傳動機構(gòu)21項幾何誤差分配優(yōu)化結(jié)果(直線誤差：μm，角度誤差：弧秒)

精度優(yōu)化結(jié)果如表6所示。

表6 數(shù)控機床傳動機構(gòu)精度優(yōu)化結(jié)果

對比表(3，5)可知：各誤差變量取值與初始誤差均值存在偏離值，且靈敏度系數(shù)較大的誤差偏離值相對更大，而靈敏度系數(shù)較小的誤差偏離值相對較小。在滿足精度要求的前提下，合理選擇較大的誤差參數(shù)，能更大程度地降低制造成本。

由表6可知：優(yōu)化后，數(shù)控機床傳動機構(gòu)的精度可靠度平均值為99.87%，最小為99.85%，精度可靠度得到提高，成本從優(yōu)化前的286 674降低到187 070，降低34.74%。由此可見，該方法能在滿足精度可靠性的條件下有效地降低了制造成本，為設(shè)計制造過程中零部件精度選擇提供了依據(jù)。

4 結(jié)束語

針對數(shù)控機床誤差溯源不充分導致精度低、可靠性差等問題，本研究對數(shù)控機床誤差建模、精度可靠性分析、精度優(yōu)化設(shè)計等方面進行了研究，具體為：

(1)建立了數(shù)控機床幾何誤差模型，根據(jù)誤差傳遞結(jié)構(gòu)，建立了數(shù)控機床傳動機構(gòu)的幾何誤差傳遞模型和影響因素多層映射模型圖，為數(shù)控機床傳動機構(gòu)精度可靠性分析和優(yōu)化打下基礎(chǔ)；

(2)結(jié)合數(shù)控機床傳動機構(gòu)精度可靠度影響因素的不確定性，運用基于一次二階矩的混合幾何誤差精度可靠度分析方法，求解X、Y、Z軸3個運動方向的精度可靠性，以可靠度分析結(jié)果作為優(yōu)化設(shè)計指標，全面地反映了幾何誤差對數(shù)控機床傳動機構(gòu)精度性能的影響；

(3)通過可靠性靈敏度分析，具體量化各誤差變量對數(shù)控機床傳動機構(gòu)精度可靠度的影響程度，通過機床傳動機構(gòu)精度分配優(yōu)化，使數(shù)控機床傳動機構(gòu)的精度可靠性達到99.87%，成本降低34.74%，為數(shù)控機床傳動機構(gòu)的精度設(shè)計、參數(shù)選型提供了更為針對、高效、合理的理論依據(jù)。