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    對稱間隙單自由度振動系統(tǒng)的Simulink仿真

    2018-10-23 06:13:22崔錦濤
    自動化與儀表 2018年9期
    關(guān)鍵詞:數(shù)值積分步長間隙

    崔錦濤,汪 諍

    (蘭州交通大學(xué) 機電工程學(xué)院,蘭州 730070)

    實際機械系統(tǒng)中廣泛存在著各種非線性因素,因此工程實際中的振動系統(tǒng)絕大多數(shù)屬于非線性系統(tǒng)。近些年來,人們對于實際工程中含間隙振動系統(tǒng)的問題越來越重視[1-4]。

    對于非線性振動問題的求解,多借助于數(shù)值方法[5-8],但是這種方法往往需要編制復(fù)雜的計算程序,也會借助多提動力學(xué)軟件進行仿真,然而軟件仿真往往針對特定的模型進行的(例如齒輪系統(tǒng)、連桿機構(gòu)、鏈傳動等)[9-11]。對于一些特定的模型,大型通用多體動力學(xué)軟件往往沒有相應(yīng)的模型。因此,要想通過多體動力學(xué)軟件進行非線性問題的仿真并得到較為精準的結(jié)果,還是需要與其他方法(有限元分析、過程控制)相結(jié)合進行聯(lián)合仿真。

    軟件本文將在對稱間隙碰撞系統(tǒng)模型基礎(chǔ)上,實現(xiàn)了一種基于Simulink的含間隙非線性動力學(xué)仿真模型。與傳統(tǒng)的數(shù)值仿真算法程序相比,Simulink是一種框圖式的動態(tài)系統(tǒng)建模仿真工具,可以實現(xiàn)多個變量同時輸出顯示,并且在模型運行過程中動態(tài)顯示變化過程。并且,此方法對于實現(xiàn)Simulink與多體動力學(xué)軟件進行含間隙類非線性動力學(xué)聯(lián)合仿真提供了參考意義。

    1 物理模型和數(shù)學(xué)模型

    典型的對稱間隙單自由度碰撞模型如圖1所示。質(zhì)量塊M通過彈簧(K0)阻尼(C)系統(tǒng)連接,振子M在簡諧波激勵的作用下沿著水平光滑平面運動。設(shè)線性彈簧在完全釋放時的位置為零點,以零點建立向右的一維坐標系統(tǒng)。當(dāng)振子的位移>B(或<-B)時,受到剛度為K1的彈性約束,在簡諧力的作用下,如此往復(fù)發(fā)生碰撞。

    圖1 對稱間隙單自由度碰撞模型Fig.1 Single degree of freedom collision model with symmetrical gap

    1.1 數(shù)學(xué)模型

    圖1所示對稱間隙單自由度振動系統(tǒng)為典型的非線性振動系統(tǒng)。其主要含有分段線性彈性力F(X),其數(shù)學(xué)模型為

    分段線性彈性力為

    取無量綱化參數(shù)為

    則無量綱化形式為

    其中

    1.2 分叉圖

    取式(2)中的參數(shù) μk=32,ξ=0.23,δ=0.02。 采用龍格庫塔法對系統(tǒng)進行數(shù)值積分,得到系統(tǒng)的分岔圖如圖2所示,圖中橫坐標為激振頻率ω,縱坐標為振子運動到坐標零點時的瞬時速度。由圖可見,系統(tǒng)對ω的變化極為敏感,并且隨著激振頻率的改變,系統(tǒng)出現(xiàn)了周期三分岔、混沌、倍化分岔、周期運動等特性。

    圖2 分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram

    為了更好地描述分岔圖中這幾種典型的運動特性,取 ω 分別為 2.1,2.115,2.166,2.188;對系統(tǒng)進行數(shù)值仿真,得到了周期三分岔、混沌、倍化分岔、周期運動相對應(yīng)的相圖,如圖3所示。

    圖3 系統(tǒng)在不同激振頻率下的相圖Fig.3 Phase diagram of system on different excitation frequency

    2 Simulink建模及仿真

    Simulink可以實現(xiàn)建模、仿真、動態(tài)分析的可視化仿真工具,以各種類型的子模塊可以搭建出線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng),以及數(shù)字信號處理系統(tǒng)。一般來說,1個動態(tài)Simulink系統(tǒng)的構(gòu)成分為3個部分,即信號的輸入、主系統(tǒng)、系統(tǒng)的響應(yīng)。文中使用連續(xù)系統(tǒng)模塊Continuous,數(shù)學(xué)運算模塊Math Operations,信號源模塊Source等,搭建出對稱間隙單自由度碰撞系統(tǒng)的模型,并使用信號流路模塊Signal Routing確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出;利用雙標量圖形模塊XY Graph繪制系統(tǒng)相圖[12-14]。

    2.1 積分模塊設(shè)計

    在Simulink中,由微分方程建立仿真模型通常有3種方法:①將微分方程轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)Discrete TransterFcn;②將微分方程轉(zhuǎn)換成空間狀態(tài)方程State-Space;③利用過程信號連續(xù)時間積分模塊Integrator直接建模。在此采用方法③。

    其中

    圖4 積分模塊Fig.4 Integral module

    2.2 非線性模塊設(shè)計

    非線性部分即式(3)中的 f(y1),對其進行轉(zhuǎn)換,得

    式(4)中的數(shù)學(xué)運算可采用Math Operation模塊庫中的Product數(shù)據(jù)相乘模塊、Add信號相加模塊實現(xiàn);分段邏輯關(guān)系可采用Commonly Used Blocks模塊庫中的Switch模塊實現(xiàn)。Switch模塊基于第2輸入端(中間)的值,判斷輸出第1輸入端(上部)還是第3輸入端(底部)。當(dāng)?shù)?輸入端的值大于模塊閾值(P值)時,第1輸入端作為輸出;反之第3輸入端作為輸出。

    由于Switch模塊的通過判斷標準Criteria for passing first input,僅包含中間輸入是否大于等于閾值(U2≥Threshold),因此對式(4)中的定義域做如下轉(zhuǎn)變:

    其中,采用Gain信號增益模塊,對輸入信號x取負增益可以得到-x。

    3 Simulink仿真

    Simulink中模塊的仿真過程可以解釋為模塊不斷地接受信號、更新狀態(tài)和計算輸出過程。同樣,模型的仿真是系統(tǒng)在特定的仿真時間段內(nèi)不斷根據(jù)源信號計算狀態(tài)和輸出的過程。連續(xù)時間系統(tǒng)的仿真過程是將連續(xù)的時域離散成相應(yīng)的采樣時間點,然后通過數(shù)值積分的方式求解響應(yīng),Simulink將采樣時間點分為主時間步和微時間步2類,后者是對前者的進一步細分。

    連續(xù)時間系統(tǒng)中的離散狀態(tài)更新僅發(fā)生在主時間步上,而在2個主時間步之間保持不變。同時,在仿真結(jié)果輸出中,Simulink只顯示主時間步的狀態(tài)和輸出(實際上主時間步的結(jié)果是微時間步上數(shù)值積分累積而成的)。微時間步上進行的工作,則是計算連續(xù)狀態(tài)的微分以更新連續(xù)狀態(tài),同時計算每個模塊的輸出。

    系統(tǒng)的仿真一般經(jīng)歷模型的初始化和仿真執(zhí)行2個階段。

    初始化階段在此階段Simulink將進行以下操作:

    1)模塊的參數(shù)估值。模型中很多模塊都具有參數(shù)(可能是變量或表達式)其具體值由MatLab確定。

    2)模型的各個子系統(tǒng)被展開,取而代之的是一個大系統(tǒng),然后模型中的模塊按更新次序排序(即仿真執(zhí)行時的順序)。模塊的更新順序存在2個原則:①每個模塊必須在它所驅(qū)動的任何一個模塊更新之前更新;②非直接饋入模塊可以按任何次序更新,只要它們在其所驅(qū)動的直接饋入模塊之前更新。

    3)確定每個模塊輸入輸出信號的屬性,諸如數(shù)據(jù)類型、數(shù)值類型、信號寬度(標量、向量或矩陣)。若模塊沒有明確的信號屬性,Simulink采用屬性傳遞的方法確定待定模塊的特性,即未知模塊的屬性由驅(qū)動它的模塊屬性唯一決定。

    4)確定模型中所有模塊的采樣時間,分配和初始化用于存儲每個模塊狀態(tài)和輸出當(dāng)前值的存儲空間。

    模型執(zhí)行階段在模型的執(zhí)行階段Simulink通過數(shù)值積分實現(xiàn)仿真。所運用的仿真解法器取決于模型提供它的連續(xù)狀態(tài)的微分能力。計算微分可以分成2步:首先,按照排序所確定的次序計算每個模塊的輸出;然后再根據(jù)當(dāng)前時刻其輸入狀態(tài)來確定狀態(tài)的微分,得到微分向量后再將其返回解法器,后者用它計算下一采樣時間點的狀態(tài)向量。一旦新的狀態(tài)向量計算完畢,被采樣的數(shù)據(jù)源模塊和接收模塊才被更新。

    Simulink提供給用戶一系列的數(shù)值積分器。對于連續(xù)時間系統(tǒng),根據(jù)步長的變化情況分為固定步長和可變步長兩大類:1)固定步長求解器 ODE1(一階 Euler法)、ODE2 (二階改進 Euler法)、ODE4(四階Runge-Kutta法);2)可變步長求解器 ODE45(四五階 Runge-Kutta法)、ODE23(二三階 Runge-Kutta法)、ODE113(二三階 Adams-Bashforth 法)。

    選用ODE45作為積分求解器,系統(tǒng)的信號輸出采用雙標量圖形輸出模塊XY Graph,第1坐標量輸入y1,第2坐標量輸入y2;為了得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng),以系統(tǒng)仿真時間為信號,采用輸出選擇開關(guān)(Switch)控制閾值的方法控制信號輸出。根據(jù)數(shù)學(xué)模型,將模塊輸入輸出參數(shù)之間正確連接,最終搭建完成對稱間隙單自由度振動系統(tǒng)的Simulink仿真模型,設(shè)計如圖5所示。設(shè)置參數(shù)U=32,S=0.23,P=0.02;仿真參數(shù)設(shè)置如下:

    圖5 Simulink中的仿真模型Fig.5 Simulation model use Simulink

    仿真開始時間為0/s;

    仿真停止時間為200/s;

    取樣開始時間為100/s;

    取樣停止時間為200/s;

    最大步長為0.02;

    最小步長為0.001;

    求解器為Ode45(Dormand-Prince);

    相對誤差為10-6;

    絕對誤差為10-6。

    取正弦信號(Sine Wave1)頻率分別為2.1,2.115,2.166,2.188;運行模型得到不同激振頻率下的相圖,如圖6所示。

    圖6 Simulink模型中仿真的相圖Fig.6 Simulation phase diagram use Simulink model

    4 結(jié)語

    采用Simulink可以建立與對稱間隙單自由度振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型完全等效的仿真模型,建模過程簡單,不需要復(fù)雜繁瑣的編程;以分模塊的方式建立系統(tǒng)(包含積分模塊、非線性模塊、時間控制模塊),使得龐大的動力模型構(gòu)建過程變得簡單易行。Simulink具備優(yōu)秀的積分算法和豐富的求解器類型,可以達到數(shù)值計算的精度水準,能夠滿足工程實際應(yīng)用。Simulink的示波器可以實現(xiàn)動態(tài)實時顯示圖像的特點,并且在運行過程中可以調(diào)整模型參數(shù)進行假設(shè)仿真分析,監(jiān)視參數(shù)變化對運動特性的影響。這種方法的效率要高于程序計算,且操作簡便。

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