基于SOCP理論的子陣級干擾多波束形成方法

何梅昕 張曉東

（中國船舶重工集團(tuán)公司723研究所 揚(yáng)州 225001）

1 引言

分別加權(quán)多波束形成法和DFT多波束形成法是多波束形成的兩種一般辦法。對于要形成小于陣元數(shù)的任意多波束一般采用分別加權(quán)法，該方法不僅適用于均勻線陣，還適用圓陣、面陣等其他形式的陣列，同時(shí)還能靈活控制波束指向，具有廣泛適用性［1］。相比較加權(quán)法，DFT法只能形成與陣元數(shù)相同的波束，且波束指向固定，不能靈活控制［2］。所以分別加權(quán)多波束形成方法更適用于要求形成較少數(shù)目波束的情況。本文就使用這種方法，在每個(gè)子陣將傳統(tǒng)相控陣發(fā)射波束形成所需的幅度加權(quán)和移相從射頻部分放到數(shù)字部分來實(shí)現(xiàn)，從而形成干擾多波束［3］。同時(shí)將二階錐規(guī)劃（SOCP）理論應(yīng)用于多波束形成優(yōu)化設(shè)計(jì)，提出了一種基于二階錐規(guī)劃的多方向子陣級同時(shí)數(shù)字多波束干擾設(shè)計(jì)方法［4～5］。

2 子陣劃分與干擾多波束數(shù)學(xué)模型的建立

圖1 均勻線陣子陣級分別加權(quán)子多波束形成原理圖

圖1 中將每個(gè)子陣看作一個(gè)新的陣元，則新陣元的間距D=Nd，可得子陣級波束形成方向圖為［6］

式中θB為波束指向，wk為第k個(gè)子陣的加權(quán)系數(shù)。則子陣級分別加權(quán)多波束形成方向圖函數(shù)為

進(jìn)入分路器的中頻信號表示成［7］

m號陣元相對于基準(zhǔn)陣元在中頻頻段所產(chǎn)生的延時(shí)記為τM(m )；n號抽頭相對于基準(zhǔn)抽頭之間的相對延時(shí)記為τN(n )。τM(m)與τN(n)的具體表示分別為［8］

3 數(shù)字干擾多波束模型的優(yōu)化

現(xiàn)假設(shè)有一部干擾機(jī)要對I個(gè)方向，不同頻率的單頻點(diǎn)雷達(dá)進(jìn)行干擾。將干擾總功率等分，將每個(gè)目標(biāo)分配到的干擾功率歸一化，歸一化值為1，相當(dāng)于附加了I個(gè)等式約束，那么干擾多波束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題表示［9］：

上式中，θql,θqp分別為第q個(gè)目標(biāo)頻點(diǎn)上波束旁瓣角度和波束主瓣角度，fq是第q個(gè)目標(biāo)頻點(diǎn)的頻率值。

電磁環(huán)境復(fù)雜，當(dāng)單一范數(shù)準(zhǔn)則不能滿足實(shí)際需求時(shí)，可以增加其他的某一范數(shù)準(zhǔn)則約束實(shí)現(xiàn)混合優(yōu)化，那么干擾多波束模型可優(yōu)化為［10］

式中，k1,k2取1，2或者∞，δ表示范數(shù)的某種上界。

所以，干擾多波束優(yōu)化設(shè)計(jì)可由式（7）所給出的形式統(tǒng)一表達(dá)。因此，干擾多波束的設(shè)計(jì)關(guān)鍵是對上式數(shù)學(xué)模型的快速求解［11～12］。

4 基于l2范數(shù)準(zhǔn)則的優(yōu)化模型SOCP形式求解

構(gòu) 造 列 向 量 c?(θ ,f),s?(θ ,f ) 和 w ，c?(θ ,f )，s?(θ ,f )∈ RN1×N2×1,w ∈ RN1×N2×1，根 據(jù) 式（5）將干擾波束寫為

當(dāng)k≥1時(shí)，任何k范數(shù)球都是凸的，所以式（6）到式（8）可以轉(zhuǎn)化為SOCP的形式進(jìn)行求解。當(dāng)k=2時(shí)，即對旁瓣進(jìn)行l(wèi)2范數(shù)準(zhǔn)則約束，對波束主瓣進(jìn)行等式約束。標(biāo)準(zhǔn)的k維二階錐可記為［13］

對旁瓣功率約束條件l2范數(shù)準(zhǔn)則進(jìn)行展開，可以得到：

其中矩陣H?是一個(gè)半正定矩陣，因此可以將多波束旁瓣功率約束表示SOCP形式：

多波束主瓣功率約束的SOCP形式為

5 基于l2范數(shù)準(zhǔn)則模型的干擾多波束的仿真分析

算例仿真1：假設(shè)測得單頻點(diǎn)雷達(dá)探測信號，來波方向?yàn)?θ1=-45?,θ2=0?,θ3=55?。載頻 fc=2 GHz，本振頻率 fL=1.75GHz，對應(yīng)的信號頻率分別為 f1=200MHz，f2=300MHz，f3=400MHz。假設(shè)發(fā)射天線陣列為一個(gè)32陣元的均勻線陣，均勻劃分成8個(gè)子陣，陣元間隔取半波長；在方位角范圍為 Θ=[- 9 0?,90?]內(nèi)進(jìn)行發(fā)射?；趌2范數(shù)準(zhǔn)則模型的子陣級發(fā)射數(shù)字多波束干擾的波束形成仿真效果如圖2所示。

圖2 32陣元干擾多波束形成方向圖（d=0.5λ）

表1 32陣元均勻線陣l2范數(shù)準(zhǔn)則下的干擾多波束性能指標(biāo)（d=0.5λ）

算例仿真2：假設(shè)發(fā)射天線陣列為一個(gè)64陣元的均勻線陣，均勻劃分為16個(gè)子陣；陣元間隔為半波長；其余條件與算例仿真1中設(shè)定的假設(shè)條件相一致?；趌2范數(shù)準(zhǔn)則模型的子陣級發(fā)射數(shù)字多波束干擾的波束形成方向圖如圖3。

結(jié)合上述方向圖與性能表分析，可以看出相同的陣元間隔情況下，即d=0.5λ時(shí)，隨著陣元數(shù)目的增加，主瓣半功率點(diǎn)寬度在減小，從32陣元增加到64陣元時(shí)，主瓣寬度平均減小了1°，主瓣零點(diǎn)寬度也平均減小了1°，副瓣電平基本沒有變化。隨著陣元數(shù)目的增加，主瓣零點(diǎn)寬度更加接近預(yù)設(shè)值。對于干擾波束形成來說，當(dāng)波束主瓣寬度較寬時(shí)，發(fā)射功率必然造成了一定的浪費(fèi)，但寬波束也有一定的優(yōu)勢，比如當(dāng)干擾目標(biāo)在做高速或大角度機(jī)動時(shí)，較寬的波束可覆蓋更大的空域使目標(biāo)不易逃脫，對干擾波束指向的靈活性要求也降低了，從而使干擾的總體效益得到了有力保證。

圖3 64陣元干擾多波束形成方向圖（d=0.5λ）

表2 64陣元均勻線陣l2范數(shù)準(zhǔn)則下的干擾多波束性能指標(biāo)（d=0.5λ）

6 結(jié)語

本文提出了基于不同范數(shù)準(zhǔn)則的子陣級干擾多波束形成算法，同時(shí)將這些算法轉(zhuǎn)換成易于求解的SOCP形式，實(shí)現(xiàn)了一部干擾機(jī)同時(shí)發(fā)射多波束干擾多個(gè)目標(biāo)的目的。首先詳細(xì)描述基于l2范數(shù)準(zhǔn)則的干擾多波束數(shù)學(xué)模型，將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化成SOCP形式，然后進(jìn)行仿真，對仿真結(jié)果進(jìn)行了詳細(xì)的分析。仿真結(jié)果表明，本文提出的基于二階錐規(guī)劃波束形成算法為子陣級干擾多波束設(shè)計(jì)提供了一種思路。在實(shí)際應(yīng)用過程中，亦采用混合范數(shù)準(zhǔn)則優(yōu)化方法，使單個(gè)優(yōu)化問題當(dāng)中包涵多個(gè)約束條件，從而達(dá)到滿足不同的使用需求的目的。