基于凍土比熱的未凍水含量反演算法

李順群,楊文喜,王杏杏,趙磊,夏錦紅

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基于凍土比熱的未凍水含量反演算法

李順群1,2,楊文喜1,2,王杏杏1,2,趙磊3,夏錦紅3

1. 天津城建大學(xué) 土木工程學(xué)院, 天津 300384 2. 天津市軟土特性與工程環(huán)境重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 天津 300384 3. 新鄉(xiāng)學(xué)院 土木工程與建筑學(xué)院, 新鄉(xiāng) 453003

考慮未凍水含量隨不同負(fù)溫變化的事實(shí)，結(jié)合混合量熱法中相變潛熱對(duì)凍土比熱測(cè)試值的影響，建立了基于比熱的凍土未凍水含量反演算法。依據(jù)比熱具有按各成分質(zhì)量可進(jìn)行加權(quán)疊加的性質(zhì)，將相變階段某一溫度點(diǎn)的凍土比熱視為凍土骨架、液態(tài)水和固體冰三相的比熱加權(quán)之和，同時(shí)還考慮了該溫度點(diǎn)未凍水變化率所需潛熱的影響，在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出了根據(jù)凍土比熱反演其未凍水含量的方法。將凍土相變階段一定溫度下的比熱視為凍土骨架、液態(tài)水和固體冰比熱的加權(quán)總和。采用混合量熱試驗(yàn)測(cè)量了某凍土試樣的未凍水含量，并利用本文給出的反演算法計(jì)算了相應(yīng)的未凍水含量。兩種測(cè)試結(jié)果的未凍水含量變化趨勢(shì)相同，即未凍水含量隨著溫度的降低逐漸減少，且遞減趨勢(shì)逐漸減弱；與混合量熱試驗(yàn)方法相比，本文給出的算法得出的未凍水含量略高，這主要是因?yàn)樾滤惴紤]了相變潛熱的影響，因而理論上更為合理。

巖土工程; 未凍水含量; 反演算法; 量熱法

凍土與常溫土（融土）的最大不同在于含有固體冰。當(dāng)環(huán)境溫度降至0 ℃以下時(shí)，凍土中的部分水將相變?yōu)楸?。隨著溫度的降低，凍土內(nèi)的液態(tài)水量會(huì)不斷變化。受土的礦物成分、受力條件等因素的影響，凍土中始終包含有一定數(shù)量的未凍水。由于水和冰的物理性質(zhì)和熱力學(xué)性質(zhì)相差較大，在確定凍土的工程性質(zhì)時(shí)，未凍水含量是一個(gè)極其重要的影響因素[1,2]。

目前，凍土未凍水含量的測(cè)試一般采用間接方法，如量熱法、時(shí)域反射法（Time-Domain Reflectometry，簡(jiǎn)稱TDR)、脈沖核磁共振法（Nuclear Magnetic Resonance，簡(jiǎn)稱NMR）、差示掃描量熱法（Differential Scanning Calorimeter，簡(jiǎn)稱DSC）和壓力板儀法等[3-7]。這些方法相應(yīng)的計(jì)算理論均存在不同程度的瑕玷，不同測(cè)試方法得到的結(jié)果也并不一致?？偟膩碚f，凍土中的未凍水含量尚難以準(zhǔn)確確定。尤其是某些間接測(cè)量方法，由于是通過測(cè)試自由頻率、氫元素含量等指標(biāo)間接得到未凍水含量的，因此理論上并不嚴(yán)密，數(shù)值上也并不唯一，甚至量綱也不協(xié)調(diào)。而既有的理論計(jì)算方法，多為半理論半經(jīng)驗(yàn)公式，不僅不同方法得到的未凍水含量差別較大，甚至沒有相應(yīng)的理論對(duì)其進(jìn)行解釋[8-12]。因此，完善凍土未凍水含量的簡(jiǎn)易計(jì)算方法，在理論和實(shí)踐方面具有重要的科學(xué)意義和工程價(jià)值。

混合量熱法是進(jìn)行物質(zhì)比熱測(cè)試的常規(guī)方法，其原理鮮明、概念清晰、操作簡(jiǎn)便，適用性廣且測(cè)試精度較高[11]?？紤]凍土中冰體含量隨不同負(fù)溫動(dòng)態(tài)變化，凍土比熱是隨不同負(fù)溫動(dòng)態(tài)變化的[12]。因此，常規(guī)的混合量熱法難以適用于凍土的比熱測(cè)試，即無法通過量熱前后的溫度差來確定某一溫度點(diǎn)的凍土比熱。夏錦紅等[13]考慮凍土比熱無法采用單次混合量熱測(cè)試的事實(shí)，基于混合量熱基本原理給出了一種測(cè)定某負(fù)溫凍土比熱的方法，從而解決了常規(guī)量熱法在凍土比熱測(cè)試中的不足。本研究在其基礎(chǔ)上，依據(jù)熱平衡原理和比熱加權(quán)計(jì)算的方法，考慮相變階段比熱隨負(fù)溫變化的特點(diǎn)，建立了未凍水含量的遞推算法。

1 基于能量理論的未凍水含量

未凍水含量是凍土體系中極為重要的參數(shù)。凍結(jié)過程中，未凍水含量的變化會(huì)導(dǎo)致凍土的熱物理性質(zhì)發(fā)生變化[14-16]。

1.1 未凍水反演算法的理論研究

標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境中，當(dāng)溫度低于0 ℃時(shí)純水會(huì)全部轉(zhuǎn)化為固體冰。土是一種復(fù)雜的多相體，土中水在溫度低于0 ℃時(shí)并不會(huì)馬上凝結(jié)成冰。只有當(dāng)溫度達(dá)到凍結(jié)溫度后，土中的液態(tài)水才開始固化。即使低于凍結(jié)溫度，由于表面能的作用，并不是所有的孔隙液態(tài)水都能固化成冰。也就是說，即使在極低的溫度條件下，土中始終存在著一定數(shù)量的液態(tài)水[17,18]。

根據(jù)土中水相態(tài)的變化過程，可以將土的凍結(jié)過程劃分為三個(gè)階段，即未凍階段、相變階段和凍實(shí)階段。在未凍結(jié)段，土中水未發(fā)生相變，故凍土未凍水含量始終等于初始含水量。在相變階段，即達(dá)到凍結(jié)溫度后，液態(tài)水將隨著溫度的降低不斷相變?yōu)楸?，故未凍水含量并不穩(wěn)定，此時(shí)的未凍水含量需要根據(jù)試驗(yàn)和理論算法獲得。在凍實(shí)階段，土中水的凍結(jié)過程將逐漸趨于平緩，孔隙水不再隨溫度的降低而發(fā)生相態(tài)變化，即該階段始終存在極少量的液態(tài)水，這部分液態(tài)水稱為不可凍水分含量[19]。

凍結(jié)過程的未凍水含量變化主要集中在相變階段，因此建立相變階段未凍水含量的計(jì)算公式極為關(guān)鍵。相變階段溫度與未凍水含量密切相關(guān)，隨著負(fù)溫的降低，凍土內(nèi)的孔隙水不斷相變?yōu)楸?，其?nèi)部熱量不斷變化?；谙嘧冸A段比熱隨負(fù)溫的變化情況以及潛熱對(duì)比熱的影響，可以建立相變階段凍土未凍水含量的反演算法。結(jié)合未凍結(jié)段和凍實(shí)階段的未凍水含量變化，可以提出整個(gè)凍結(jié)過程的未凍水量計(jì)算方法。

1.2 未凍水含量的反演算法

通過室內(nèi)凍結(jié)試驗(yàn)確定土樣的相變溫度范圍，根據(jù)相變溫度范圍的起點(diǎn)和終點(diǎn)即可將凍結(jié)過程劃分為未凍階段、相變階段和凍實(shí)階段。其中，未凍結(jié)段的未凍水含量由土樣的初始含水量決定；凍實(shí)階段的未凍水含量則取決于土樣的不可凍水分含量；相變階段的未凍水含量可以根據(jù)下面的反演算法進(jìn)行確定。

（1）對(duì)所取的原狀土進(jìn)行物性指標(biāo)測(cè)試，得到其含水量和天然密度。將原狀土加工成指定規(guī)格土樣，分別測(cè)量每個(gè)土樣的質(zhì)量；

（2）采用室內(nèi)凍結(jié)試驗(yàn)獲取土樣的溫度-時(shí)間變化曲線，從而可以確定土樣的凍結(jié)溫度T（冰點(diǎn)）和相變終止溫度T；

（3）根據(jù)凍結(jié)溫度T（冰點(diǎn)）和相變終止溫度T，將凍結(jié)過程劃分為未凍階段、相變階段和凍實(shí)階段；

（4）計(jì)算土樣在相變階段任意溫度時(shí)的比熱。由于水相變?yōu)楸尫诺臐摕彷^大，不可忽略，故計(jì)算比熱或未凍水含量時(shí)應(yīng)考慮相變潛熱的影響。將土樣冷卻至溫度，采用混合量熱法測(cè)量土樣在該溫度點(diǎn)的比熱；

（5）混合量熱過程中凍土的熱交換量由凍土骨架、孔隙水和孔隙冰的熱交換量，以及土中水相變?yōu)楸尫诺臐摕峁菜膫€(gè)組成部分構(gòu)成。因此，凍土的比熱由四部分疊加而成，即

式中，、c、c、c分別表示溫度為時(shí)凍土、土骨架、未凍水和冰的比熱容；M、M、M分別表示溫度為時(shí)土體中土骨架、未凍水和冰的質(zhì)量占比；?M表示溫度間隔?內(nèi)凍土內(nèi)冰的質(zhì)量變化量的質(zhì)量占比；表示水的潛熱，一般取333.7 kJ/kg?℃。

（6）結(jié)合公式（1）和（2），推導(dǎo)得出相變階段的未凍水含量-比熱的函數(shù)關(guān)系

式中，w表示溫度為時(shí)凍土的未凍水含量；M’表示溫度為-?時(shí)凍土未凍水的質(zhì)量占比。

結(jié)合凍結(jié)過程其他兩個(gè)階段的未凍水含量，可以建立整個(gè)凍結(jié)過程中未凍水含量的計(jì)算公式。

式中，w、、w分別為土樣未凍水含量、初始含水量、不可凍水分含量；T、T分別為土樣凍結(jié)溫度、相變終止溫度。

2 基于量熱法的未凍水含量

2.1 量熱法原理

量熱法是基于熱量守恒定律建立起來的測(cè)量未凍水含量的經(jīng)典方法。將恒溫凍土試樣放入量熱器中，由于量熱水和凍土試樣存在一定溫差，兩者之間產(chǎn)生熱交換，經(jīng)過一定時(shí)間后量熱器內(nèi)混合物溫度達(dá)到平衡，根據(jù)能量守恒定律，凍土試樣吸收的熱量與量熱水及量熱器釋放的熱量相等。

式中，吸為熱交換過程中試樣吸收的熱量；放為量熱水和量熱器釋放的熱量。

凍土通常被視為凍土骨架、孔隙冰、孔隙水和孔隙氣組成的復(fù)雜四相體，其中孔隙氣的質(zhì)量及比熱很小忽略不計(jì)。所以，對(duì)于含有凍土骨架、孔隙冰和孔隙水的凍土，熱交換過程中吸收的能量為三相吸收能量之和。

式中，固、冰、水分別為凍土骨架、冰相和水相吸收的熱量，即

式中，m、m和分別為凍土骨架、未凍水和量熱水的質(zhì)量；為凍土試樣的初始含水率；為量熱器的熱容量，單位為kJ/℃；、和分別為凍土骨架的初始溫度、量熱水和量熱器的初始溫度、熱交換平衡時(shí)的溫度。因此

2.2 量熱法試驗(yàn)

試驗(yàn)用土取自天津曹莊附近的原狀粉質(zhì)黏土，呈褐黃色。對(duì)所取原狀土進(jìn)行室內(nèi)土工試驗(yàn)測(cè)得物理性質(zhì)指標(biāo)為：天然密度1.91 g/cm3、含水量=23.37%、土粒比重G=2.72、液限W=29.7、塑限W=18.4。

量熱試驗(yàn)主要儀器包括TDR凍融試驗(yàn)箱、自制量熱器（內(nèi)置熱電阻Resistance Temperature Detector，簡(jiǎn)稱RTD）、安捷倫溫度采集儀（型號(hào)34970A）、型熱電偶、計(jì)算機(jī)等。試驗(yàn)儀器連接方式如圖1和圖2所示。

圖1 凍融過程主要儀器

圖2 量熱過程主要儀器

量熱試驗(yàn)過程中，不可避免的會(huì)出現(xiàn)試驗(yàn)誤差，如凍土試樣轉(zhuǎn)入量熱設(shè)備以及量熱過程中的熱損。為了減少試驗(yàn)誤差，采用溫度傳感器（型熱電偶）實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)試樣內(nèi)部溫度和量熱過程中混合物的溫度。并且每一溫度點(diǎn)制備三個(gè)試樣，通過三次平行試驗(yàn)取平均值的辦法，減少試驗(yàn)誤差，精確試驗(yàn)結(jié)果。

2.3 量熱法的未凍水含量分析

凍結(jié)溫度是凍土內(nèi)部液態(tài)水相變的初始溫度，是判斷土體相成分和土體凍結(jié)狀態(tài)的指標(biāo)。凍結(jié)溫度之前，土樣處于未凍結(jié)段，此階段未凍水含量與土樣初始含水量相同。因此混合量熱試驗(yàn)前需要通過凍結(jié)試驗(yàn)測(cè)定原狀土的凍結(jié)溫度。

凍結(jié)法施工時(shí)，現(xiàn)場(chǎng)的凍結(jié)鹽水溫度一般為-28~-30 ℃，室內(nèi)試驗(yàn)測(cè)定土樣凍結(jié)溫度時(shí)，將凍融箱的溫度設(shè)置為-30 ℃。如圖2所示，將土樣與試驗(yàn)儀器連接起來，數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)記錄土樣內(nèi)部溫度變化情況，從而測(cè)得原狀土凍結(jié)溫度接近-0.38 ℃。

圖 2 數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)

量熱法測(cè)定未凍水含量，需要先確定自制量熱器的熱容量，經(jīng)測(cè)定=0.279 kJ/℃。同時(shí)，通過量熱法測(cè)試了未凍土骨架比熱和凍土骨架比熱，測(cè)試結(jié)果分別為0.828 kJ/kg?℃和0.762 kJ/kg·℃。

由于測(cè)量的土樣凍結(jié)溫度為-0.38 ℃，分別制備溫度-0.5 ℃、-1 ℃、-1.5 ℃、-2 ℃、-2.5 ℃、-3 ℃、-5 ℃、-7 ℃、-10 ℃的凍土試樣。土樣為高60 mm，直徑20 mm的圓柱，且每一溫度點(diǎn)取三個(gè)土樣進(jìn)行量熱試驗(yàn)。按照公式（12）計(jì)算未凍水含量，為了結(jié)果更合理取三次平行試驗(yàn)的均值作為該溫度的未凍水含量。圖3為測(cè)定的三個(gè)土樣的凍土未凍水含量及其均值。

圖3 未凍水含量與溫度關(guān)系

從圖3可以看出，未凍水含量隨著溫度的降低逐漸減少且遞減趨勢(shì)逐漸減弱。-0.5 ℃時(shí)凍土未凍水含量發(fā)生驟降，主要是由于溫度低于凍結(jié)溫度-0.38 ℃后凍土內(nèi)大部分自由水和弱結(jié)合水相變?yōu)楸?。相變階段，-0.38℃~-3 ℃的未凍水含量遞減趨勢(shì)顯著，-3℃~-7 ℃的未凍水含量遞減趨勢(shì)明顯弱于前一個(gè)階段且逐漸趨于平緩，-7 ℃后未凍水含量趨于穩(wěn)定。

3 未凍水含量反演算法的驗(yàn)證

從給出的未凍水含量反演算法的步驟可知，反演未凍水含量前需要測(cè)定相變階段凍土的比熱。凍土比熱隨溫度的變化而變化，忽略潛熱影響的凍土比熱與實(shí)際相差較大[20]。夏錦紅等[13]考慮了凍結(jié)過程中顯熱和潛熱的雙重效應(yīng)，建立了凍土比熱的計(jì)算公式。本文基于其建立的凍土比熱計(jì)算公式，得到了溫度為-0.5 ℃、-1 ℃、-1.5 ℃、-2 ℃、-2.5 ℃、-3 ℃、-5 ℃、-7 ℃、-10 ℃的凍土試樣相應(yīng)的比熱值，如表1所列。

表1 不同溫度的比熱值

由不同負(fù)溫的比熱值，結(jié)合未凍水含量反演算法的步驟，求得凍土內(nèi)凍土骨架、孔隙冰和孔隙水三相成分相應(yīng)的質(zhì)量占比，進(jìn)而反演出不同負(fù)溫的未凍水含量。具體數(shù)據(jù)如表2所列。

表 2 凍土內(nèi)各組分質(zhì)量占比及未凍水含量

為了更明確的顯示未凍水含量與溫度的關(guān)系，繪制了兩者的關(guān)系圖，如圖4所示。在反演算法的未凍水含量變化曲線中，未凍水含量隨著溫度的降低逐漸減少，且遞減趨勢(shì)逐漸減弱。-0.5 ℃時(shí)未凍水含量發(fā)生驟降，-0.38 ℃~-3 ℃時(shí)未凍水含量遞減趨勢(shì)顯著，-3 ℃~-7 ℃時(shí)未凍水含量遞減趨勢(shì)趨于平緩，-7 ℃后未凍水含量接近于穩(wěn)定。

圖4 不同負(fù)溫的未凍水含量

對(duì)比未凍水含量反演算法和量熱法的結(jié)果，可以明顯看出，兩種算法的未凍水含量變化趨勢(shì)相同。相變階段任意溫度下量熱法的未凍水含量都小于反演算法的未凍水含量，這可能是由于反演算法考慮了相變潛熱的結(jié)果。由此可知，反演算法的未凍水含量更有利于保證工程實(shí)踐的安全性。

4 結(jié)論

本文主要基于比熱隨負(fù)溫的變化過程和潛熱的宏觀表現(xiàn)形式，建立了未凍水含量的反演算法。該算法將相變階段某一溫度點(diǎn)的比熱轉(zhuǎn)換為四部分熱量貢獻(xiàn)之和，即凍土骨架、液態(tài)水、固體冰的比熱與相應(yīng)質(zhì)量占比之積，以及土中水相變成冰的潛熱轉(zhuǎn)換值，進(jìn)而由等量關(guān)系反演計(jì)算未凍水含量。隨后通過室內(nèi)試驗(yàn)對(duì)量熱法的未凍水含量進(jìn)行了研究，并且與未凍水含量反演算法的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明反演算法的未凍水含量變化趨勢(shì)與已有理論的未凍水含量變化趨勢(shì)形同，即未凍水含量隨著溫度的降低逐漸減少，且遞減趨勢(shì)逐漸減弱。由于反演算法考慮了相變潛熱的影響，相變階段任意溫度下反演算法的未凍水含量均大于量熱法的未凍水含量，且結(jié)果對(duì)工程實(shí)踐安全更有利，從而驗(yàn)證了未凍水含量反演算法的合理性和有效性。

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Inversion Algorithm of Unfrozen Water Content Based on Specific Heat of Frozen Soil

LI Shun-qun1,2, YANG Wen-xi1,2, WANG Xing-xing1,2, ZHAO Lei3, XIA Jin-hong3

1.300384,2.300384,3.453003,

The unfrozen water content varies with different negative temperatures, and combining the effect of the latent heat of phase change on the specific heat test value of frozen soil in the mixed calorific method, the inversion algorithm of unfrozen water content in frozen soil based on specific heat was established. The specific heat can be weighted and superimposed according to the mass of each component, the specific heat of frozen soil at a certain temperature in phase transition stage is regarded as the weighted sum of specific heat of frozen soil skeleton, liquid water and solid ice. At the same time, the influence of latent heat on the change rate of unfrozen water at this temperature point is considered, and the method of retrieving its unfrozen water content according to the specific heat of frozen soil is derived. The specific heat at a certain temperature in the phase transition of frozen soil is regarded as the weighted sum of the specific heat of frozen soil skeleton, liquid water and solid ice.The unfrozen water content of a frozen soil sample was measured by mixing calorimetry, and the corresponding unfrozen water content was calculated by using the inversion algorithm given in this paper. The change trend of unfrozen water content between the two test results is the same. That is, the content of unfrozen water decreases gradually with the decrease of temperature, and the decreasing trend decreases gradually. Compared with the mixed calorimetric test method, the unfrozen water content obtained by the algorithm in this paper is slightly higher. This is mainly because the new algorithm considers the effect of latent heat, so it is more reasonable in theory.

Geotechnical engineering; unfrozen water content; inverse algorithm; calorimetry

TU411.3

A

1000-2324(2018)05-0841-06

10.3969/j.issn.1000-2324.2018.05.024

2018-01-23

2018-04-09

國(guó)家自然科學(xué)基金(41472253);天津市自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(16JCZDJC39000);天津市建設(shè)系統(tǒng)科學(xué)技術(shù)項(xiàng)目發(fā)展計(jì)劃(2016-25)

李順群(1971-),男,博士,教授,主要從事巖土工程和地質(zhì)工程的研究工作. E-mail:lishunqun@yeah.net