關(guān)于表示直向代數(shù)的Hall李代數(shù)的一個注記

賀加來,戈慈水

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關(guān)于表示直向代數(shù)的Hall李代數(shù)的一個注記

賀加來1,戈慈水2

1. 合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院, 安徽 合肥 238000 2. 安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 安徽 合肥 230000

設(shè)是有限域F上的有限維代數(shù)，()是以不可分解-模的同構(gòu)類為基的自由Abel群。通過應(yīng)用Gabriel--Roiter-測度，我們證明如果是表示直向的基本代數(shù)，則()作為基環(huán)/(1)上的李代數(shù)由單-模的同構(gòu)類生成。

表示直向代數(shù); Gabriel--Roiter-測度; Hall李代數(shù)

設(shè)是有限域=F上的有限維代數(shù),-模為有限維,對于任意三個-模,和,令

Ringel證明了Ringel--Hall代數(shù)是一個有單位元的結(jié)合代數(shù)[1,2].

設(shè)()是以不可分解-模的同構(gòu)類為基的自由Abel群,則()是()的子群.由文獻[3]知,在基環(huán)/(-1)上()是()的李子代數(shù),其李代數(shù)的乘法定義為:[[],[]]:=[][]-[][].

定義()-1:=()/(-1)(),()-1:=()/(-1)(),則()-1是()-1的李子代數(shù),稱()-1的由單-模的同構(gòu)類生成的李子代數(shù)()-1為的合成李子代數(shù).當(dāng)是非野型的遺傳代數(shù)時,文獻[4]對()-1有一些研究.

設(shè)是任意一個域,稱-代數(shù)是基本的,如果每一個單-模的自同態(tài)代數(shù)均是基域,稱有限維-代數(shù)是表示直向的,如果在同構(gòu)的意義下僅有有限個不可分解-模,記為:1,2,…,M,且這個-模可定義一個排序，使得對任意的>,有Hom(M,M)=0.Dynkin型箭圖的路代數(shù)是表示直向的基本代數(shù).

在本文中,通過應(yīng)用Gabriel--Roiter-測度的性質(zhì),我們證明如果是表示直向的基本-代數(shù),則()-1與()-1相同.如果是Dynkin型箭圖的路代數(shù),則李代數(shù)()-1系數(shù)擴充到復(fù)數(shù)域上后得到的李代數(shù)()-1與+同構(gòu),其中+是的底圖所對應(yīng)的復(fù)半單李代數(shù)的正部分.在下文,記()-1系數(shù)擴充到復(fù)數(shù)域上后得到的李代數(shù)為()-1.

1 定理

如果是表示直向的基本-代數(shù),則()-1=()-1.而且,存在李代數(shù)滿同態(tài)+?()-1.

特別地，如果是Dynkin型箭圖的路代數(shù)，則()-1與+李代數(shù)同構(gòu)。

該定理是對表示有限型遺傳代數(shù)中相應(yīng)結(jié)果的推廣。

2 定理的證明

2.1 一些已知的結(jié)論或性質(zhì)

設(shè)是一個-代數(shù).根據(jù)文獻[5],我們可對有限維-模的維數(shù)進行歸納來定義有限維-模的Gabriel--Roiter-測度().定義零模的Gabriel--Roiter-測度(0)為零.給定一個維的非零-模,假設(shè)的每一個真子模'的Gabriel--Roiter-測度(')已定義.

設(shè)是任一維的不可分解-模,若不是單-模,則存在的不可分解子模',使得()=(')+2-n.稱此子模'為模的一個Gabriel--Roiter-子模.Ringel在文獻[6]中證明了/'也是不可分解的.注意到,如果是不可分解-模的Gabriel--Roiter-子模,:?是任一單的-模同態(tài),那么Im()也是的一個Gabriel--Roiter-子模,從而Coker是不可分解的.

設(shè)是表示直向的基本-代數(shù),,,是三個不可分解-模,是的一個Gabriel--Roiter-子模.由文獻[7]知,短正合列0????0是一種特殊的Schofield序列,于是,以Hall乘法的形式可以獲得[][]=[]+[?],[][]=[?],從而,[]可表示為[]=[][]-[][]=[[],[]].

在此基礎(chǔ)上可以獲得相應(yīng)的引理[8],設(shè)是有限維的基本-代數(shù)，滿足對任意的?,c=2.則在()-1中對任意的,?,(adu)1-cij(u)=0.

2.2 定理的證明

設(shè)是任一不可分解非單的A-模,是的一個Gabriel--Roiter-子模,我們有

[]=[/][]-[][/]=[[/],[]]

則,/都是不可分解-模.如果或/不是單模,繼續(xù)上面的過程,將其表示為兩個不可分解模的李乘.依此類推,[]可表示為單模的同構(gòu)類的李乘,因此,()-1í()-1.另一方面,顯然()-1í()-1.所以,()-1=()-1.由引理2.1知,存在李代數(shù)滿同態(tài)+?()-1.因此,存在李代數(shù)滿同態(tài)+?()-1.

特別地,如果是Dynkin型箭圖的路代數(shù)，則可通過比較維數(shù)得+?()-1是李代數(shù)同構(gòu),從而()-1與+李代數(shù)同構(gòu),證畢.

其中所證明的定理體現(xiàn)了Gabriel--Roiter-測度理論與Hall理論的聯(lián)系.

3 相關(guān)的實例

令=是在有限域=F上的路代數(shù),=/,其中是的由生成的理想。對的每一個頂點,1≤≤3,記對應(yīng)的一維的單-模為S,用P,I分別表示S的投射蓋與內(nèi)射包.那么,{1=3,2,3=3,1=1,2,2}是所有互不同構(gòu)的不可分解-模.眾所周知,()-1=()-1=()-1,且有李代數(shù)同構(gòu)+@()-1,易知,1=3是唯一的不能被理想零化的不可分解-模.所以,{2,3=3,1=1,2,2}是所有互不同構(gòu)的不可分解有限維-模.顯然,[[1],[2]]=[2],[[2],[3]]=[2],能夠得到()-1=()-1.通過簡單的計算,我們有[1]=[[1],[[2],[3]]],因此,()-1@()-1/á[[1],[[2],[3]]]?@+/á[1,[2,3]]?,這里的每個e是+的標準生成元.

[1] Ringel C. Hall algebras and quantum groups[J]. Invent. Math., 1990,101:583-592

[2] Ringel C. Hall polynomials for the representation-finite hereditary algebras[J]. Adv. Math., 1990,8(4):137-178

[3] Ringel C. Lie algebras arising in representation theory[J]. London Math. Soc., Lecture Note Ser., 1992,16(8):284-291

[4] Green E, Zhang P. Rigids as iterated skew commutators of simples[J]. Algebras and Representation Theory, 2006,9(6):539-555

[5] Gabriel P. Indecomposable representations II[M]. In: Symposia Mathematica. London:Academic Press, 1973,XI(4):81-104

[6] Ringel C. The Gabriel-Roiter measure[J]. Bull. Sci. Math., 2005,12(9):726-748

[7] Ringel C. The theorem of Bo Chen and Hall polynomials[J]. Nagoya Math. J., 2006,183:143-160

[8] Chen J, Deng B. Fundamental relations in Ringel-Hall algebras[J]. J. Algebra, 2008,32(6):1133-1149

A Note on Hall Lie Algebras in regard to Directed Algebras

HE Jia-lai1, GE Ci-shui2

1.238000,2.230000,

Letbe a finite dimensional algebra over a finite fieldF, and denote by() the free Abel group with basis the isomorphism classes of indecomposable-modules. By using the Gabriel--Roiter measure we prove that() as Lie algebra over the ground ring/(1) is generated by the isomorphism classes of simple-modules, ifis a representation directed elementary algebra.

Representation directed algebra; Gabriel-Roiter measure; Hall Lie algebra

O154.1

A

1000-2324(2018)05-0900-02

10.3969/j.issn.1000-2324.2018.05.036

2017-06-10

2017-08-21

安徽省重大教學(xué)研究項目(2017jyxm0672)

賀加來(1965-),男,碩士,副教授,主要從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究. E-mail:chzyhjl@126.com