一種考慮參數(shù)相關(guān)性的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

王倩蓉 姜 潮 方 騰

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙，410082

0 引言

在工程問(wèn)題中，加工尺寸、外載荷、材料參數(shù)等往往存在不確定性，在設(shè)計(jì)時(shí)若不考慮這些不確定性，可能得到不可靠的設(shè)計(jì)結(jié)果［1］?；诳煽啃缘膬?yōu)化設(shè)計(jì)（reliability-based design optimization，RBDO）充分考慮了各種不確定性，將不確定性變量作為隨機(jī)變量來(lái)處理，從而可以得到滿足可靠性要求的設(shè)計(jì)結(jié)果。目前，RBDO已經(jīng)成為一種十分重要的設(shè)計(jì)方法，且該領(lǐng)域已發(fā)展出一系列求解方法。ZHUANG等［2］在求解RBDO問(wèn)題中不斷更新響應(yīng)面，保證了收斂性和精度；LIANG等［3］提出了單循環(huán)方法，采用K-K-T條件取代內(nèi)層的可靠性分析問(wèn)題，將兩層的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換成單循環(huán)問(wèn)題；YI等［4］將序列近似規(guī)劃策略應(yīng)用到RBDO中，通過(guò)構(gòu)建并求解一系列近似規(guī)劃子問(wèn)題來(lái)獲得RBDO問(wèn)題的解；DU等［5］提出了SORA（sequential optimization and reliability assessment）方法，通過(guò)運(yùn)用上一循環(huán)的可靠性分析信息構(gòu)造漂移向量，將RBDO問(wèn)題轉(zhuǎn)換成一系列確定性的優(yōu)化問(wèn)題，有效地提高了計(jì)算效率，同時(shí)具有較高的計(jì)算精度并能保證收斂性。

現(xiàn)有的RBDO方法大多假設(shè)各隨機(jī)變量相互獨(dú)立，然而，在實(shí)際工程問(wèn)題中，很多變量之間具有顯著的相關(guān)性?，F(xiàn)有研究表明，變量之間的相關(guān)性對(duì)結(jié)構(gòu)的可靠性和優(yōu)化結(jié)果可能產(chǎn)生十分顯著的影響［6］。在RBDO問(wèn)題中充分考慮變量間的相關(guān)性，可進(jìn)一步提高優(yōu)化模型的準(zhǔn)確性，并避免產(chǎn)生不可靠的優(yōu)化結(jié)果。目前，Nataf變換是處理隨機(jī)變量相關(guān)性的主要方法，已被應(yīng)用于RBDO領(lǐng)域。CHENG 等［7］利用Nataf變換求解RBDO問(wèn)題。DU等［8］提出了一種考慮相關(guān)區(qū)間變量的RBDO方法。Nataf變換僅能描述變量之間的線性相關(guān)性，對(duì)于一些實(shí)際問(wèn)題中廣泛存在的非線性相關(guān)性，應(yīng)用Nataf變換可能會(huì)出現(xiàn)比較大的誤差，這使得Nataf變換的應(yīng)用范圍受到了限制。

近年來(lái)，在不確定性分析領(lǐng)域發(fā)展出了一種處理相關(guān)性的重要數(shù)學(xué)工具——Copula函數(shù)。通過(guò)Copula函數(shù)，只需確定變量的邊緣分布和相關(guān)類型，即可方便地構(gòu)建出聯(lián)合概率分布函數(shù)。此外，Copula函數(shù)可描述變量之間不同類型的非線性相關(guān)性，并能捕捉到一些重要的信息，如尾部相關(guān)性等，這使得Copula函數(shù)近年來(lái)被廣泛用于解決結(jié)構(gòu)可靠性分析問(wèn)題［9-10］。雖然Copula函數(shù)在可靠性分析方面引起了重視，但將其應(yīng)用到RBDO領(lǐng)域的相關(guān)工作仍很少。CHOI等［11-12］利用Copula函數(shù)構(gòu)建聯(lián)合概率分布函數(shù)，并首次將Copula函數(shù)用于求解RBDO問(wèn)題。然而，上述工作只使用了Copula函數(shù)的一種類型，即Gaussian Copula函數(shù)來(lái)描述變量間的相關(guān)性。在本質(zhì)上，Gaussian Copula函數(shù)與Nataf變換是等效的，僅能描述變量間的線性相關(guān)性［13］。若能根據(jù)樣本的實(shí)際分布情況選擇出描述變量之間相關(guān)類型的最優(yōu)Copula函數(shù)，則可更加準(zhǔn)確地建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步提高不確定性分析精度。

本文提出了一種基于Copula函數(shù)的RBDO方法，為存在復(fù)雜參數(shù)相關(guān)性的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化問(wèn)題提供了一種有效工具。

1 Copula函數(shù)基本原理

SKLAR［14］指出，任一聯(lián)合概率分布函數(shù)都可被分解為若干個(gè)邊緣分布和一個(gè)Copula函數(shù)，該Copula函數(shù)可描述變量之間的相關(guān)性。由此看出，Copula函數(shù)實(shí)際上是一種將多個(gè)變量x1,x2,…,xn的聯(lián)合概率分布函數(shù)F(x1,x2,…,xn)與它們各自的邊緣分布函數(shù)F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)連接在一起的函數(shù)。根據(jù)Sklar定理可知，聯(lián)合概率分布函數(shù)與各邊緣分布函數(shù)之間滿足：

C即為描述F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)之間相關(guān)性的Copula函數(shù)。令uk=Fk(xk),k=1,2,…,n，顯然，C(u1,u2,…,un)是一個(gè)邊緣分布均服從[0,1]均勻分布的多元分布函數(shù)。

若已知各變量的邊緣分布和連接它們的Copula函數(shù)，則可根據(jù)Sklar定理求解出聯(lián)合概率分布函數(shù)。聯(lián)合概率分布函數(shù)的概率密度

1.1 Copula函數(shù)的相關(guān)性測(cè)度

兩個(gè)變量之間，若它們的變化趨勢(shì)一致，則稱這兩個(gè)變量正相關(guān)，反之則稱負(fù)相關(guān)。由此可定義一致性的概念：(x1,y1)和(x2,y2)為(X,Y)的兩組觀測(cè)值，若 (x1-x2)(y1-y2)＞ 0，稱(x1,y1)和(x2,y2)是一致的；若(x1-x2)(y1-y2)＜ 0，則稱(x1,y1)和(x2,y2)是不一致的。HOLLANDER等［15］基于一致性的概念提出了Kendall秩相關(guān)系數(shù)的定義。假設(shè)對(duì)連續(xù)的隨機(jī)向量(X,Y)進(jìn)行觀測(cè)，得到一個(gè)由N組觀測(cè)值組成的樣本集{(x1,y1),(x2,y2),…,(xN,yN)}；將這些觀測(cè)值兩兩匹配，得到C2N項(xiàng)組合，并將其分為兩部分，即C2N=c+d，c表示一致組合的數(shù)量，d表示不一致組合的數(shù)量，由此可定義樣本{(x1,y1),(x2,y2),…,(xN,yN)}的 Kendall秩相關(guān)系數(shù)：

若給定一個(gè)Copula函數(shù)，則變量之間的相關(guān)性也隨之確定。Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ可由相應(yīng)的Copula函數(shù)C( )u1,u2根據(jù)下式計(jì)算［16-17］：

式中，θ為該Copula函數(shù)的相關(guān)性參數(shù)。

式（4）中不含隨機(jī)變量邊緣分布的表達(dá)式，這也表明了對(duì)于某個(gè)Copula函數(shù)，其Kendall秩相關(guān)系數(shù)不依賴于邊緣分布。

在實(shí)際工程問(wèn)題中，變量之間廣泛地存在著尾部相關(guān)性。由于Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ和Pearson相關(guān)系數(shù)（即線性相關(guān)系數(shù)ρ）都無(wú)法描述尾部相關(guān)性，因此引入尾部相關(guān)系數(shù)。若X1、X2為兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其邊緣分布分別為F1(X1)、F2(X2)，用Copula函數(shù)表示其聯(lián)合概率分布函數(shù)為C(F1(X1),F2(X2))，其尾部相關(guān)系數(shù)［18］可由下式定義：

式中，λU為上尾相關(guān)系數(shù)；λL為下尾相關(guān)系數(shù)；p為事件發(fā)生的概率；F-12為邊緣分布F2的逆函數(shù)；t→1-表示t無(wú)限趨近于1的左側(cè)。

尾部相關(guān)系數(shù)可用來(lái)表示當(dāng)一個(gè)變量為極值時(shí)，另一個(gè)變量也出現(xiàn)極值的可能性。尾部相關(guān)性可能對(duì)結(jié)構(gòu)的可靠性造成顯著的影響［9-10］，因此，在RBDO問(wèn)題中考慮尾部相關(guān)性可提高優(yōu)化的精度。

1.2 常用的二維Copula函數(shù)分類

為方便起見(jiàn)，在本文中，僅考慮二維相關(guān)的情形，即多維隨機(jī)變量中僅有兩個(gè)變量之間具有相關(guān)性。當(dāng)有兩個(gè)以上的變量之間兩兩相關(guān)時(shí)，可利用Vine-Copula函數(shù)將多維Copula函數(shù)分解成若干個(gè)二維Copula函數(shù)。

目前常用的二維Copula函數(shù)見(jiàn)表1，分別為Gaussian Copula（可等效為Nataf變換）、t Copula、Clayton Copula、Gumbel Copula和Frank Copula。表1公式中，u1、u2為變量名稱，tν和Φ分別表示t分布和高斯分布函數(shù)。為了更直觀地理解各Copula函數(shù)的性質(zhì)，圖1給出了在秩相關(guān)系數(shù)相同（τ=0.5）、邊緣分布均為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、仿真次數(shù)均為2 000的情況下，由5種不同的Copula函數(shù)仿真得到的隨機(jī)變量的散點(diǎn)圖。從圖1中可以看出，即使具有相同的秩相關(guān)系數(shù)和相同的邊緣分布（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布），兩個(gè)隨機(jī)變量也可呈現(xiàn)不同的相關(guān)模式。例如，Gaussian Copula、t Copula和 Frank Copula的分布具有對(duì)稱性，且t Copula具有明顯的尾部相關(guān)性。Gumbel Copula和Clayton Copula能描述非對(duì)稱的相關(guān)模式，其中前者具有明顯的上尾相關(guān)性，而后者則有明顯的下尾相關(guān)性?？梢钥吹?，Copula函數(shù)能夠描述變量之間不同的非線性相關(guān)類型。通過(guò)Copula函數(shù)，可更準(zhǔn)確地建立隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布函數(shù)。

表1 常用的二維Copula函數(shù)信息［10］Tab.1 General information of two-dimension Copula function

圖1 各Copula函數(shù)仿真散點(diǎn)圖Fig.1 Simulation scatter diagram of Copula functions

2 基于Copula函數(shù)的RBDO求解算法

RBDO問(wèn)題通常可表述如下［3］：

式中，f為目標(biāo)函數(shù)；gi為第i個(gè)可靠性約束；m為約束總個(gè)數(shù)；d為nd維確定性設(shè)計(jì)向量；X為nX維隨機(jī)向量；μX為X的均值向量；P為nP維隨機(jī)參數(shù)向量；、分別為設(shè)計(jì)變量dj的下界和上界、分別為μXp的下界和上界；Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積分布函數(shù)；βti為第i個(gè)約束的目標(biāo)可靠度。

2.1 聯(lián)合概率分布函數(shù)的構(gòu)建

在求解RBDO的過(guò)程中，當(dāng)變量具有相關(guān)性時(shí)，需要利用聯(lián)合概率分布函數(shù)進(jìn)行求解。在實(shí)際工程問(wèn)題中，通常只能獲得各變量的邊緣分布函數(shù)。Sklar定理指出，聯(lián)合概率分布函數(shù)可被分解成邊緣分布函數(shù)和一個(gè)描述變量之間相關(guān)性的Copula函數(shù)，這提供了一種構(gòu)建聯(lián)合概率分布函數(shù)的思路：分別獲得隨機(jī)變量的邊緣分布及連接兩邊緣分布的Copula函數(shù)，從而得到聯(lián)合概率分布函數(shù)F(x1,x2,…,xn)。

本文將 Gaussian Copula、t Copula、Clayton Copula、Gumbel Copula和Frank Copula作為備選Copula函數(shù)，基于已知樣本，通過(guò)極大似然法對(duì)這5種Copula函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，再由AIC（akaike information criterion）信息準(zhǔn)則［19］選擇出擬合效果最好的Copula函數(shù)，確定出變量之間的相關(guān)類型。若隨機(jī)變量X1、X2的邊緣累積分布函數(shù)分別為F1(X1),F2(X2)，已知樣本集合為{(x11,x21),(x12,x22),…,(x1l,x2l)}，共l組樣本。對(duì)備選Copula函數(shù)建立似然對(duì)數(shù)函數(shù)：

式中，θ為備選Copula函數(shù)的相關(guān)性參數(shù)（t Copula有兩個(gè)參數(shù)：θ和ν）。

由極大似然原理，參數(shù)估計(jì)值

對(duì)5種備選函數(shù)均使用極大似然法求得其參數(shù)的估計(jì)值后，可用AIC準(zhǔn)則或BIC準(zhǔn)則擇取最優(yōu)Copula函數(shù)：

式中，r為相應(yīng)Copula函數(shù)中參數(shù)的數(shù)目。

CAIC值越小，說(shuō)明該Copula函數(shù)對(duì)樣本擬合越準(zhǔn)確。由Sklar定理可知，當(dāng)變量之間的Copula函數(shù)確定后，其聯(lián)合概率分布函數(shù)也隨之確定。

2.2 約束可靠性分析

約束可靠性分析是求解RBDO問(wèn)題中的重要環(huán)節(jié)，用于分析當(dāng)前設(shè)計(jì)變量d和μX是否滿足概率約束。第i個(gè)約束gi的失效概率

式中，fz(Z)為聯(lián)合概率密度函數(shù);prob表示事件發(fā)生的可能性。

一次二階矩法（first-order reliability method，F(xiàn)ORM）［20］是進(jìn)行可靠性分析常用的一種高效方法。該方法需將原功能函數(shù)gi從Z空間映射至標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間（即U空間），得到功能函數(shù)Gi，并求解如下優(yōu)化問(wèn)題：

其中，u表示待優(yōu)化的隨機(jī)變量和隨機(jī)參數(shù)。

該優(yōu)化問(wèn)題的解為u?即最可能失效點(diǎn)（most probable point，MPP），進(jìn)而可得到第i個(gè)約束的可靠度指標(biāo) βi=‖u?‖ 。若 βi≥ βti，則說(shuō)明概率約束滿足要求，反之則不滿足。由于該方法用可靠度指標(biāo)β來(lái)度量可靠性，故也稱為可靠度指標(biāo)法（reliability index analysis，RIA）。

此外，在FORM方法中還有另一種可靠性分析方法——功能度量法（performance measure approach，PMA），該方法同樣可以表述為一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題：

該優(yōu)化問(wèn)題的解u?即為MPP點(diǎn)。若Gi(d,u?)≥0，則說(shuō)明滿足概率約束，反之則說(shuō)明不滿足。將u?從U空間映射回Z空間后，記為ZMPPi。對(duì)于RBDO問(wèn)題，在大多數(shù)情況下，PMA法相對(duì)于RIA法效率更高、穩(wěn)定性更好，且較少依賴于隨機(jī)變量的分布類型。

在使用RIA法或PMA法進(jìn)行可靠性分析時(shí)，需要將約束從Z空間映射至U空間，當(dāng)變量之間存在相關(guān)性時(shí)，需要用Rosenblatt變換進(jìn)行全概率變換。對(duì)于二維問(wèn)題，Rosenblatt變換和逆變換如下：

式中，F(xiàn)1(z1)為z1的邊緣累積分布函數(shù)；F2|1(z2|z1)為Z1=z1時(shí)Z2的條件分布函數(shù)。

求解條件分布函數(shù)需要先得到聯(lián)合概率分布函數(shù)，而在實(shí)際工程問(wèn)題中，通常不能準(zhǔn)確地得到聯(lián)合概率分布函數(shù)，這使得Rosenblatt變換的應(yīng)用受到了限制。通過(guò)2.1節(jié)中提出的方法可利用Copula函數(shù)方便地得到條件分布函數(shù)：

將Z空間的點(diǎn)(z1,z2)轉(zhuǎn)換至U空間的點(diǎn)(u1,u2)的變換步驟為：令r1=F1(z1)，r2=F2(z2)；令y1=r1，可得u1=(y1)；由y2=F2(z2|z1)=，可 得 y2=(y1,r2)；從而有u2= Φ-1(y2)。

需要指出的是，對(duì)于Gumbel Copula，h-121沒(méi)有顯式的表達(dá)式，此時(shí)可求解非線性方程h21(r1,r2)=y2得到數(shù)值解。

2.3 設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化

RBDO本質(zhì)上是個(gè)兩層嵌套優(yōu)化問(wèn)題，其外層是設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化，內(nèi)層為約束可靠性的分析。嵌套優(yōu)化使得RBDO求解效率較低，尤其是當(dāng)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)增加時(shí)，所需的計(jì)算量顯著增大。為減小運(yùn)算量，本文在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了一種解耦算法，對(duì)含有非線性相關(guān)性的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行高效求解。該方法由若干個(gè)迭代步組成，在每個(gè)迭代步中，首先對(duì)各約束進(jìn)行可靠性分析，利用MPP點(diǎn)構(gòu)造一漂移向量，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為等效的確定性優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)求解該問(wèn)題更新設(shè)計(jì)變量。由此，將嵌套優(yōu)化解耦成序列進(jìn)行的可靠性分析和確定性優(yōu)化問(wèn)題。在第k次迭代中，原問(wèn)題被轉(zhuǎn)化成如下形式：

其中，μp表示隨機(jī)參數(shù)向量的均值，漂移向量可通過(guò)下式求得：

綜上所述，本文RBDO方法的計(jì)算流程如下。

（1）根據(jù)實(shí)際情況構(gòu)造如式（4）形式的RBDO問(wèn)題。

（2）根據(jù)已知樣本對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行相關(guān)性分析，對(duì)存在相關(guān)性的變量利用極大似然法求得估計(jì)參數(shù)值。

（3）利用AIC準(zhǔn)則求出擬合度最佳的Copula函數(shù)，從而求得聯(lián)合概率分布函數(shù)。

（4）令k=1，給定設(shè)計(jì)變量的初值d(0)、（可用確定性優(yōu)化結(jié)果作為迭代的初值，從而加快收斂，減小計(jì)算量）。

（5）在第k次迭代中，利用Rosenblatt變換將每一個(gè)約束映射至U空間進(jìn)行可靠性分析，求解式（19），得到MPP點(diǎn)。

（7）求解確定性優(yōu)化問(wèn)題式（17），得到更新后的設(shè)計(jì)變量d(k)、。

（8）計(jì)算

若εk＞ 10-3，判定為不收斂，則k+1→k，轉(zhuǎn)到步驟（5）；若εk≤ 10-3，判定為收斂，則程序終止，得到優(yōu)化結(jié)果[d(k)]。

3 數(shù)值算例

3.1 算例一

考慮如下RBDO問(wèn)題：

其中，X1～N(μX1,0.52),X2～N(μX2,0.52)，優(yōu)化的初始點(diǎn)(μX1,μX2)=(0,0)。X1和 X2的 500 組樣本見(jiàn)圖2，從圖中可知X1和X2之間具有明顯的相關(guān)性。按照2.1節(jié)的方法對(duì)樣本進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和相關(guān)性分析，可以得到各備選Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)值和AIC值，見(jiàn)表2。從表中可知，用Gumbel Copula擬合樣本得到的AIC值是各備選Copula函數(shù)中最小的，為最優(yōu)Copula函數(shù)。實(shí)際上，從樣本的散點(diǎn)圖亦可知，該組樣本具有明顯的上尾相關(guān)性，而下尾相關(guān)性相對(duì)不明顯。5種備選Copula函數(shù)中，只有Gumbel Copula具有這樣的性質(zhì)，因而其擬合效果也最好。根據(jù)參數(shù)估計(jì)和相關(guān)性分析所得到的最優(yōu)Copula函數(shù)及其參數(shù)值，即可求解該RBDO問(wèn)題。

圖2 X1和X2的500組樣本Fig.2 500 samples of X1，X2

表2 X1、X2之間備選Copula參數(shù)估計(jì)值及其AIC值Tab.2 Estimate of Copula parameter and AIC value betweenX1、X2

雖然已經(jīng)得到最優(yōu)Copula函數(shù)，但是為了分析不同類型的Copula函數(shù)對(duì)于優(yōu)化結(jié)果的影響，本文仍使用3種Copula函數(shù)進(jìn)行RBDO分析：①Gumbel Copula，θ=1.45（最優(yōu)Copula函數(shù)）；②Gaussian Copula，θ=0.445；③Clayton Copula，θ=0.396。如表3所示，優(yōu)化均經(jīng)過(guò)4個(gè)迭代步即達(dá)到收斂，說(shuō)明本文方法具有較好的收斂性和計(jì)算效率，但3種相關(guān)情形下得到的優(yōu)化解具有明顯的差異。為了解釋優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生差異的原因，將3種相關(guān)情形下的優(yōu)化結(jié)果和各自的β-circle畫(huà)在平面直角坐標(biāo)系中，見(jiàn)圖3。β-circle是指在U空間中所有到原點(diǎn)距離為β的點(diǎn)映射至X空間所得點(diǎn)集。在本算例中，X1和X2都為正態(tài)分布且標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.5。若X1和X2相互獨(dú)立，則β-circle應(yīng)該是一個(gè)半徑R=σβt=1.5的圓；若X1和X2之間存在線性相關(guān)性，則β-circle演化成長(zhǎng)軸與X軸成45°角的橢圓。當(dāng)用Copula函數(shù)描述變量間的相關(guān)性時(shí)，β-circle則為其他類型的形狀，該形狀與Copula函數(shù)的種類及其參數(shù)有關(guān)。在優(yōu)化過(guò)程中，βcircle不與各個(gè)約束相交，以保證設(shè)計(jì)點(diǎn)與約束之間存在安全距離，從而滿足可靠性要求。

表3 算例一優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Optimization results of example 1

由圖3可知，3種相關(guān)情形下最優(yōu)解的β-circle與g1、g2均相切，但由于其形狀不同，得到的最優(yōu)解具有較大差異。這說(shuō)明對(duì)于同一組樣本，用不同的Copula函數(shù)擬合得到的優(yōu)化結(jié)果具有較大的差異，從而說(shuō)明選擇最優(yōu)Copula的必要性。此外，由于Gaussian Copula函數(shù)可等效為Nataf變換，對(duì)比Gaussian Copula函數(shù)和Gumbel Copula函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果，可知在存在復(fù)雜相關(guān)性的RBDO問(wèn)題中，若不考慮非線性相關(guān)，傳統(tǒng)的Nataf變換得到的優(yōu)化結(jié)果可能有較大誤差。

圖3 約束與β-circle示意圖Fig.3 Illustration of constraint and β-circle

3.2 算例二

考慮一受軸向定載荷的彈簧優(yōu)化問(wèn)題［12］，其目標(biāo)是減小彈簧的總質(zhì)量。在該算例中，有5個(gè)隨機(jī)變量，分別為彈簧內(nèi)徑D、線徑d、有效圈數(shù)N、材料密度ρ和材料剪切模量G，均服從正態(tài)分布，其中D、d、N是隨機(jī)設(shè)計(jì)變量，ρ、G是隨機(jī)參數(shù)，具體參數(shù)見(jiàn)表4。該問(wèn)題有3個(gè)可靠性約束：在軸向載荷P=10 lbf（1 lbf=4.448 22 N）作用下（見(jiàn)圖4），變形量 δ不小于一給定值 Δ=0.5in（l in≈25.4 mm）；剪切應(yīng)力不大于許可值τa=80 000lb/in2；彈簧固有頻率不小于一給定值ω0=100 Hz。由變形量約束可得

表4 算例二各隨機(jī)變量/參數(shù)信息［12］Tab.4 Random variables/parameters of example 2

圖4 彈簧及其受力示意圖［18］Fig.4 Illustration of the spring and force diagram

式中，K為勁度系數(shù)。

由剪切應(yīng)力約束可得

由固有頻率約束可得

因此，該優(yōu)化問(wèn)題可寫(xiě)為如下形式：

其中，Q為彈簧閉合端圈數(shù)，Q=2。已知在實(shí)際生產(chǎn)中，平均中徑D和絲徑d具有相關(guān)性，故在求解RBDO問(wèn)題時(shí)需將其考慮進(jìn)來(lái)。D、d的300組樣本見(jiàn)圖5，對(duì)其進(jìn)行相關(guān)性分析，結(jié)果見(jiàn)表5。從結(jié)果中可知，Clayton Copula的AIC值最小，故D和d之間的最優(yōu)Copula為Clayton Copula，其參數(shù)θ=2.92。若用Gaussian Copula對(duì)樣本進(jìn)行擬合，則對(duì)應(yīng)參數(shù)θ=0.76。

圖5D、d的300組樣本Fig.5 300 samples of D、d

表5 D、d之間備選Copula參數(shù)估計(jì)值及其AIC值Tab.5 Estimate of Copula parameter and AIC value betweenD、d

與算例一類似，雖然已經(jīng)得到最優(yōu)Copula函數(shù)，本文仍在以下3種相關(guān)情形下進(jìn)行RBDO求解：①Clayton Copula，θ=2.92；②Gaussian Copula，θ=0.76；③相互獨(dú)立。得到的優(yōu)化結(jié)果見(jiàn)表6。從表6中可以看出，變量之間的相關(guān)情形對(duì)優(yōu)化的結(jié)果影響較大。對(duì)于同樣的一組樣本，用不同的Copula函數(shù)擬合將得到不同的優(yōu)化結(jié)果。此外，在3種相關(guān)情形下，優(yōu)化均經(jīng)過(guò)3個(gè)迭代步達(dá)到收斂，進(jìn)一步說(shuō)明了本文方法具有較好的收斂性和計(jì)算效率，迭代過(guò)程見(jiàn)圖6。

表6 算例二優(yōu)化結(jié)果Tab.6 Optimization results of example 2

圖6 算例2迭代歷史Fig.6 Iteration history of example 2

現(xiàn)假設(shè)X2和X3之間實(shí)際的Copula函數(shù)為Clayton Copula，參數(shù)θ=2.92，用Monte-Carlo模擬法對(duì)3種優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行可靠性驗(yàn)證（即用Monte-Carlo法驗(yàn)證時(shí)產(chǎn)生的樣本之間的相關(guān)類型為Clayton Copula），其可靠度和失效概率見(jiàn)表7。由表7可知：若將X2和X3的樣本用Gaussian Copula擬合，得到的優(yōu)化結(jié)果中g(shù)1的可靠度β僅為2.330 9，失效概率Pf達(dá)到了0.009 9，是目標(biāo)值（0.001 3）的近8倍，未能滿足可靠性；將X2和X3錯(cuò)誤地視為獨(dú)立的隨機(jī)變量，其優(yōu)化結(jié)果的可靠度遠(yuǎn)大于目標(biāo)可靠度，過(guò)于保守。前文提到，Gaussian Copula實(shí)際上等效為傳統(tǒng)的Nataf變換，即只考慮了變量間的線性相關(guān)。從該算例中可以看出，僅用線性相關(guān)系數(shù)對(duì)隨機(jī)變量的相關(guān)性進(jìn)行描述是不足夠的，若不考慮隨機(jī)變量間存在的復(fù)雜非線性相關(guān)性，可能會(huì)得到不可靠的優(yōu)化結(jié)果。將Copula函數(shù)引入到RBDO中，通過(guò)AIC準(zhǔn)則選擇出正確的Copula函數(shù)能充分考慮到變量間的非線性相關(guān)性，提高優(yōu)化結(jié)果的精度。

表7 實(shí)際相關(guān)情形為Clayton Copula時(shí)，各優(yōu)化結(jié)果可靠度Tab.7 Reliability of optimization results when the actual correlation is Clayton Copula

4 結(jié)論

本文基于Copula函數(shù)提出了一種RBDO算法，為求解存在復(fù)雜非線性相關(guān)性的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題提供了有效工具。首先根據(jù)數(shù)據(jù)樣本通過(guò)極大似然法和AIC準(zhǔn)則選擇出最優(yōu)Copula；其次，由最優(yōu)Copula函數(shù)和各變量的邊緣分布構(gòu)建出聯(lián)合概率分布函數(shù)；最后，將聯(lián)合概率分布函數(shù)用于可靠性分析，從而求解RBDO問(wèn)題。兩個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了本文方法的有效性，結(jié)果表明：Copula函數(shù)的類型對(duì)優(yōu)化結(jié)果有較大影響；在某些存在復(fù)雜相關(guān)性的情況下，使用傳統(tǒng)的Nataf變換可能得到不可靠的優(yōu)化結(jié)果；通過(guò)Copula函數(shù)，能夠描述變量間的非線性相關(guān)和尾部相關(guān)性，從而提高優(yōu)化結(jié)果的精度。此外，本文方法主要針對(duì)二維相關(guān)情形，未來(lái)可引入Vine-Copula等模型對(duì)本文方法進(jìn)行拓展，從而求解變量間存在復(fù)雜多維相關(guān)性的RBDO問(wèn)題。