數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用

張茹

摘要： 數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，本文結(jié)合二次函數(shù)的數(shù)學(xué)，探尋滲透數(shù)形結(jié)合思想的有效策略。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)結(jié)合；二次函數(shù)；應(yīng)用

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生在談到數(shù)形結(jié)合的好處時(shí)曾作詩贊美：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)流一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。”數(shù)形結(jié)合思想是指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要數(shù)學(xué)思想之一，掌握數(shù)形結(jié)合的方法，可以極大地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生終身受益。二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，是訓(xùn)練數(shù)形結(jié)合方法的良好載體。

“數(shù)（代數(shù)）”與“形（幾何）”是數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本研究對象，這兩個(gè)內(nèi)容既互相獨(dú)立又互相聯(lián)系，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題過程中包括“以數(shù)解讀形”和“以形分析數(shù)”兩個(gè)方面。數(shù)形結(jié)合思想就是把數(shù)和形有機(jī)組合，使數(shù)學(xué)問題得到轉(zhuǎn)化，“形”讓“數(shù)”更具體明了，“數(shù)”使“形”更形象靈活。因此，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用比較廣泛，借助數(shù)形結(jié)合思想可以方便快捷地解決二次函數(shù)問題，怎樣利用數(shù)形結(jié)合思想解決二次函數(shù)問題呢？要在解題中有效實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見的結(jié)合點(diǎn)，從“以數(shù)助形”角度來看，主要有以下兩個(gè)結(jié)合點(diǎn)：第一，以數(shù)軸、坐標(biāo)系為橋梁把函數(shù)圖象幾何化；第二，利用面積、距離、角度等幾何量來解決二次函數(shù)問題。

一、二次函數(shù)中的形轉(zhuǎn)數(shù)

二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)0，經(jīng)過點(diǎn)A（1，1）；點(diǎn)F（0，1）在y軸上，直線y=1與y軸交于點(diǎn)H。（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線=y-1交于點(diǎn)M，求證：FM平分∠OFP。解析：二次函數(shù)的解析式可以順利解決，對于（2）點(diǎn)P是（l）中圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作X軸的垂線與直線=y-1交于點(diǎn)M，求證：FM平分∠OFP；我們要挖掘圖象蘊(yùn)含的信息，PM平行于y軸，可得∠OFM=∠PMF，接下來探究乙PMF是否等于∠PFM，因?yàn)镻在二次函數(shù)的圖象上，可以設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，那么由P向y軸作垂線段PB，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理表達(dá)出PF的長度，依據(jù)P的坐標(biāo)可以表示PM的長度，那么可以證明PF=PM，于是可以得到∠PM=F乙PFM，所以∠OFM=∠PFM，結(jié)論得到證明。本題的解決依賴于通過“數(shù)”：PM、PF的長度的表達(dá)式證明二者相等，數(shù)相等，線段長相等，通過“形”的狀態(tài)得到“數(shù)”的性質(zhì)，又通過“數(shù)”的性質(zhì)演繹出“形”的狀。

二、二次函數(shù)中的數(shù)轉(zhuǎn)形

數(shù)學(xué)語言主要有文字語言，符號語言，圖象語言三種形式。在解決問題時(shí)，可以選擇最理想的形式表現(xiàn)內(nèi)容，也可以把三者結(jié)合起來互相對照，互相印證。二次函數(shù)圖象與性質(zhì)中，主要要教會(huì)學(xué)生會(huì)理解文字語言，符號語言，圖象語言，能將這三者統(tǒng)一聯(lián)系起來，能夠根據(jù)關(guān)系式畫出圖象，能夠根據(jù)圖象求解出關(guān)系式，能夠根據(jù)問題中所給的條件畫出符合條件的圖象，求出對應(yīng)的關(guān)系式，或者是系數(shù)之間的關(guān)系等等。在教學(xué)中讓學(xué)生多感受體驗(yàn)不同形態(tài)的數(shù)學(xué)語言，將這些數(shù)學(xué)語言理解轉(zhuǎn)化到自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，更能靈活的運(yùn)用性質(zhì)，有意識(shí)的訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。如例子：實(shí)數(shù)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0的一個(gè)根大于-2，一個(gè)根小于3？分析：如果單純的從一元二次方程的角度去考慮問題，解題復(fù)雜，并且不容易求解出答案。將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=3x2-5x+a=與x軸相交于兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)滿足的關(guān)系是一個(gè)大于-2，—個(gè)小于3，求a的取值范圍。用數(shù)形結(jié)合的思想，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象列出滿足的關(guān)系式，從這方面考慮問題就簡單化了。根據(jù)函數(shù)系數(shù)的特征得到圖象的基本性質(zhì)開口方向向上，對稱軸在正半軸，畫出草圖如圖所示，根據(jù)圖象的性質(zhì)得到滿足的條件為：當(dāng)x=-2時(shí)，y>0；當(dāng)x=3時(shí)，y>0。列出不等式組：3x（-2）2-5x（-2）+a>0，3x32-5x5+a>0，不等式組的解集即是a的取值范圍。

三、總結(jié)

數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用價(jià)值及其運(yùn)用方法，也就是只要充分挖掘題中所蘊(yùn)含的信息，借助坐標(biāo)系及相應(yīng)的幾何知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的方式，就可以尋找到解題的有效途徑，不再讓二次函數(shù)成為難題和困擾，使解題成為一種快樂的體驗(yàn)。數(shù)形結(jié)合思想方法可以比較容易地把抽象難懂的知識(shí)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為形象易學(xué)的知識(shí)，教師應(yīng)通過認(rèn)真研讀教材，挖掘滲透數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)內(nèi)容，靈活應(yīng)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，借助有效的教學(xué)手段，有的放矢地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想教育，促使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的方法，鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

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