淺談Banach不動點原理與應(yīng)用

王濤 廖雷

摘要：Banach不動點定理是度量空間理論的一個重要工具。本文介紹了泛函分析中的Banach不動點原理在解決線性方程組解的存在問題時的應(yīng)用，在證明數(shù)值分析中迭代法原理的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：Banach；不動點；迭代法

一、預(yù)備知識

定義1：設(shè)X是度量空間，T是X到X中的映射，如果存在一個數(shù)a，0

定理1：（Banach不動點原理）：設(shè)X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，那么T有且只有一個不動點，即方程Tx=x，有且只有一個解。

定理2：設(shè)X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，對所有x，y∈X，成立d（Tx，Ty）≤ad（x，y），對任意x0∈X，定義xn=Txn-1，則存在唯一不動點x*，使得xn→x*，且

d（xn，x*）≤ d（xn，xn-1）≤d（x1，x0） [1]。

二、Banach不動點原理的在數(shù)學(xué)其他學(xué)科中的應(yīng)用

（一）不動點原理在解決線

對方程組AX+b=X，其中X=（x1，x2，…，xn）T∈in，A=（aij）n×n，b（b1，b2，…，bn）.對in取范數(shù)‖x‖2=|x1|.下面使用Banach不動點原理討論此方程組在系數(shù)滿足什么條件時，存在唯一解。

（二）Banach不動點原理在證明數(shù)值分析中的迭代法的應(yīng)用

定理3：迭代法不動點原理 設(shè)映射g（x）在[a，b]上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且滿足：（1）封閉性：對x∈[a，b]，有g(shù)（x）[a，b]。（2）壓縮性：L∈（0，1），使得對x∈[a，b]，|g（x）|≤L則g（x）在[a，b]上存在唯一的不動點X*，且對x0∈[a，b]，xk=g（xk-1）收斂于X*，且|x*-xk|≤|xk-xk-1|≤|x1-x0|有使用Banach不動點原理對推論證明：

由原理內(nèi)容知，g（x）是[a，b]到[a，b]的線性映射；R和[a，b]均完備；條件（2）等價于g（x）為壓縮映射。

以上可知，必存在X*∈[a，b]，對x0∈[a，b]，xk=g（xk-1），有xk→X*

（三）Banach不動點原理在數(shù)列極限中的應(yīng)用

定理4 對數(shù)列{xn}，若存在常數(shù)r：0

例，設(shè)x1>0，xk+1=（c>1）為常數(shù)，求xn.

解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=，顯然f（x）在（0，+∞）連續(xù)可導(dǎo)。因xn>0，當(dāng)x>0時f（x）=（）=>0.且由c>1知f（x）=（）≤=1-<1.

故xn+1=f（xn）為壓縮映射。由定理1知{xn}收斂.

設(shè)xn=X*，又f連續(xù)，即有x*=f（x*）從而x*=，得x*=，即xn=

（四）Banach不動點定理在方程解的存在性與唯一性方面的應(yīng)用

定理5 設(shè)函數(shù)f（x，y）在條形區(qū)域a≤x≤b，-∞

證明 在完備空間C[a，b]中作映射A：Aφ=φ-（1/M） f（x，φ），這是C[a，b]到自身的壓縮映射。事實上，對于φ1，φ2∈C（a，b），由微分中值定理有0<θ<1使得

|（Aφ1）（x）-（Aφ2）（x）|

=|φ2（x）-f（x，φ2）-φ1（x）+（1/M） f（x，φ1）|

=|φ2（x）-φ1（x）-（1/M）fy[x，φ1（x）+θ（φ2（x）-φ1（x））]（φ2（x）-φ1（x））|≤|φ2（x）-φ1（x）|（1-m/M），x∈（a，b）

令a=1-m/M，則 0

|（Aφ1）（x）-（Aφ2）（x）|≤a|φ2（x）-φ1（x）|，

即有|Aφ1-Aφ2|≤a|φ2-φ1|

這說明A是C（a，b）中的壓縮映射，故有唯一的φ∈C（a，b），使得Aφ=φ，這就說f（x，φ（x））=0，a≤x≤b。

作者簡介：

王濤（1992年—），男，漢族，四川巴中人，碩士，成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，研究方向：雙差定位。