高中數(shù)學(xué)推理與證明中的“偽證”思想

鄧正南

摘要：本文以“偽證”思想為切入點，就其概念含義做分析探討，并就其在高中數(shù)學(xué)推理與證明教育中的作用方式與教學(xué)實例做細致的闡述研究，期望為高中學(xué)生數(shù)學(xué)推理意識與證明能力的培養(yǎng)提舟提供有益的參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 推理 證明 “偽證”思想

證明與推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最為基礎(chǔ)與重要的思維步驟，也是高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的思考方式，作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中至關(guān)重要的內(nèi)容之一，對學(xué)生推理與證明意識的培養(yǎng)一直是教師的重點教育研究對象?；诖斯P者認為將“偽證”思想應(yīng)用進高中數(shù)學(xué)推理與證明教學(xué)進程中，將有助于提升課堂教育質(zhì)量，并推動學(xué)生推理意識與證明能力的發(fā)展。因此筆者以“偽證”思想為研究出發(fā)點，就其理論相關(guān)含義知識做闡述分析，并對其在高中數(shù)學(xué)推理與證明中具體教學(xué)應(yīng)用方式做詳細的探討研究。

一、“偽證”思想概述

“偽證”思想即偽證主義科學(xué)觀，其理論來源于英國學(xué)者波普爾的著作《猜想與反駁》，該觀點是基于對邏輯實證主義的反駁，由波普爾提出的對偶然真理界定的偽證主義。其理論思想的證明方式采用試錯法，即不斷對科學(xué)問題提出各類假說與猜測，之后思考與找尋符合其假說猜測的事例，然后依照已有事例對原本的假說猜測予以修正，并不斷循環(huán)重復(fù)這一證明過程，最終將原本提出的猜想假說予以否決，以驗證與完善科學(xué)理論觀點。

二、高中數(shù)學(xué)推理與證明中利用“偽證”思想進行教學(xué)的研究

為具體研究“偽證”思想在高中數(shù)學(xué)推理與證明中的教學(xué)應(yīng)用，筆者以概率這一高中數(shù)學(xué)中的重要知識概念為切人點，就“偽證”思想在概率知識教學(xué)中的策略與方法做研究分析。

學(xué)生在初中階段已對概率知識有了初步的了解與認知，但因其本身知識概念的抽象性，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中依然是學(xué)生較難以領(lǐng)會與掌握的難點內(nèi)容之一。同時學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的各個階段環(huán)節(jié)都容易出現(xiàn)各類理解偏差與錯誤，進而生成錯誤的知識概念。而相應(yīng)的概念認識一旦形成，要進行消除與糾正就會十分困難。正因為概率這一知識內(nèi)容的特性，將“偽證”思想應(yīng)用進其教學(xué)活動中，有利于促進學(xué)生對概率知識的理解認知深度，并提升其數(shù)學(xué)推理與證明能力。因此筆者以概率知識的課堂教學(xué)相關(guān)實例，探究具體的“偽證”思想應(yīng)用方法。

例如在教授概率內(nèi)容時，教師可先為學(xué)生提供相應(yīng)的隨機事件數(shù)據(jù)表格，來讓學(xué)生思考并分組探討如何基于隨機事件的頻率，推定其具體的概率數(shù)值。隨機事件頻率表如表1、2所示。

在學(xué)生合作討論之后選取各組代表做意見表達，學(xué)生能得出表1中所有向上頻率的平均值為0.5046，其與生活中的實踐經(jīng)驗是相同的，表2的數(shù)據(jù)學(xué)生雖然缺乏相應(yīng)的檢驗經(jīng)驗，依然能取其平均值作為概率。此時教師可為學(xué)生提出新的思考方向：雖然表1所得的結(jié)果的確如此，但其是否真的能作為一個普遍性結(jié)論，應(yīng)用到各類隨機事件的推理過程嗎？以引導(dǎo)學(xué)生向?qū)Ω怕势骄涤嬎愕摹皞巫C”方向予以思考。在學(xué)生相互探討后再次請各組代表發(fā)言，有做積極思考的小組就能發(fā)現(xiàn)表2所有概率的平均值是0.9392，但其頻率數(shù)值明顯帶有向0.95變動的趨勢，因為伴隨實驗次數(shù)的增大，頻率的平均值應(yīng)該更接近于概率才對。因此對表2的概率值計算應(yīng)取其最大次數(shù)下的頻率數(shù)值做平均計算，將大實驗次數(shù)下的平均值作為隨機事件的概率值。

對這種觀點教師可再引導(dǎo)學(xué)生向完全證明其猜想的科學(xué)性出發(fā)，對取較大試驗次數(shù)下平均值的推測做偽證推理，以啟發(fā)學(xué)生向“足夠大”這一概念定義產(chǎn)生疑問與思考，并進一步推論所示所選取的試驗次數(shù)不同，那所得出的頻率平均值也會不同，因此對概率值的測算不能僅適用“較大”的試驗次數(shù)這一模糊概念，因為近似值往往不是唯一的，模糊范圍下產(chǎn)生的概率數(shù)值也會不精確。之后可總結(jié)出在海量試驗下，隨機事件A的產(chǎn)生會呈現(xiàn)相應(yīng)的規(guī)律性。在試驗次數(shù)次數(shù)n→+∞時，發(fā)生概率m/n總是趨于接近的常數(shù)就是其概率，相應(yīng)表達式可概括為對數(shù)列（m/n）來說，P （A） =lim m/n。

n→∞

但此觀點依然不夠深入與全面，在此基礎(chǔ)上教師可為學(xué)生溫習(xí)極限的概念，引導(dǎo)學(xué)生對該表達式做進一步的思考，最終由部分學(xué)優(yōu)生發(fā)現(xiàn)其問題所在：在數(shù)列極限概念中，對任意的ε >0，則總是存在一個正整數(shù)N，且當(dāng)n>N時，|a_n-A|<ε，此時常數(shù)A是數(shù)列{a_n）的極限，因此對于數(shù)列（m/n），其概率值雖然總是在某一個常數(shù)周圍變動，但并不總能確保其概率值總是趨近于這個常數(shù)，還是會有反復(fù)現(xiàn)象的出現(xiàn)，因而不能將發(fā)生頻率接近的常數(shù)作為表2的概率值。

三、結(jié)束語

從以上概率知識的教學(xué)實例可發(fā)現(xiàn)，基于偽證思想應(yīng)用進高中數(shù)學(xué)教育中，能有效促進學(xué)生對知識概念的反復(fù)理解與探究，在不斷的“偽證”進程中充分理解與把握所學(xué)知識的內(nèi)涵與深意，使其有效掌握到高中數(shù)學(xué)中較為復(fù)雜與抽象的理論知識。

參考文獻

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