例析應用數(shù)學知識解決物理力學問題

佘西敏 孫宏濤

(陜西省旬陽中學 725700)

孫宏濤(1981-)，男，本科，中學一級教師，從事中學物理教學研究.

《普通高等學習招生全國統(tǒng)一考試大綱(物理)》考核目標與要求中關于應用數(shù)學處理物理問題的能力表述為“能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據(jù)結果得出物理結論；能運用幾何圖形、函數(shù)圖像進行表達、分析可見，中學階段學到的數(shù)學知識，如幾何、三角、代數(shù)、解析幾何，都可能成為解高考物理試題中的數(shù)學工具”因此在物理教學中，一定要注重數(shù)學知識、思想和方法的有效滲透，總結典型例題，剖析內在規(guī)律，提煉解題方法，發(fā)展科學思維，培養(yǎng)科學態(tài)度，促進有效學習.

一、兩物直線赴前程，一繩牽連等時動.均勻伸長潛含義，平面解析問題明

例1 (2013年新課標Ⅰ卷)水平桌面上有兩個玩具車A和B，兩者用一輕質細橡皮筋相連，在橡皮筋上有一紅色標記R.在初始時橡皮筋處于拉直狀態(tài)，A、B和R分別位于直角坐標系中的(0,2l)、(0,-l)和(0,0)點.已知A從靜止開始沿y軸正向做加速度大小為a的勻加速運動：B平行于x軸朝x軸正向勻速運動.在兩車此后運動的過程中，標記R在某時刻通過點(l,l).假定橡皮筋的伸長是均勻的，求B運動速度的大小.

圖1

②xB=vt.

在開始運動時，R到A和B的距離之比為2∶1，即0E∶OF=2∶1

由于橡皮筋的伸長是均勻的，在以后任一時刻R到A和B的距離之比都為2∶1.因此，在時刻t有

③HK∶KG=2∶1

由于△FGH∽△IGK，有

④HG∶KG=xB∶(xB-l)

⑤HG∶KG=(yA+l)∶2l

由③④⑤式得

評析本題主要應用到數(shù)學初等平面解析幾何知識，解決問題的關鍵在于找到相似三角形，利用對應邊成比例的性質，建立起兩物體位移關系.

二、粗糙平面斜向力，方向大小皆可變.勻速直線力最小，數(shù)學方法勇上前

例2 重量為G的木塊與水平地面的動摩擦因數(shù)為μ，一人欲用最小的作用力F使木塊沿水平地面勻速運動，則此最小作用力F的大小、方向如何？

解法1 (三角函數(shù)法)設力與水平方向的夾角為α，由于物體在水平面上做勻速直線運動，隨著α角的不同，物體與水平面的彈力不同，因而滑動摩擦力也不一樣，而拉力在水平方向的分力與摩擦力相等，因α角不同，拉力F也不一樣．以物體為研究對象，受力分析如圖2所示，因為物體處于平衡狀態(tài)，由平衡條件知

Fcosα-μFN=0

①

Fsinα+FN-G=0

②

由cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

③

圖2

評析此題在高一物理力學中屬于共點力動態(tài)平衡問題，主要難度在于數(shù)學知識的相對滯后，方法一主要通過配方使三角函數(shù)兩角差的余弦公式能夠用于解決最值問題，要求學生熟練掌握三角函數(shù)知識；方法二的難點在于通過三角函數(shù)知識理解Fμ與FN的合力F1的方向都不會改變，之后應用圖解法處理動態(tài)平衡問題相對容易.

三、輕繩關連兩滑塊，合分速度分明白.三角函數(shù)圖像助，牽連關系自解開.

例3 如圖3所示，沿豎直桿以速度v勻速下滑的物體A通過輕質細繩拉光滑水平面上的物體B，細繩與豎直桿間的夾角為θ，則以下說法正確的是( )

A．物體B向右做勻速運動

B．物體B向右做變加速運動

C．物體B向右做勻加速運動

D．物體B受到的繩子拉力變大

圖3 圖4

解析將A物體的速度按圖示兩個方向分解，如圖4所示， 由繩子速率v繩=vcosθ，而繩子速率等于物體B的速率，則有物體B的速率

vB=v繩=vcosθ．

圖5

因余弦函數(shù)cosθ自變量θ∈(0，π/2)，隨著θ減小，圖線對應的斜率減小，如圖5，若令縱軸y代表速度v，橫軸θ∝t，可知斜率代表加速度a,即加速度a變小，物體B做變加速運動.

故B正確，AC錯誤.

再對B進行受力分析結合牛頓第二定律，知B受到重力、支持力(彈力)、繩子拉力(彈力)，因B做變加速運動，由F合=FT=ma，a變小所以拉力FT變小，故D錯誤.

評析學生通過物理中速度的合成與分解知識推知vB=v繩=vcosθ之后，討論vB變化時，往往只知道隨θ減小，cosθ增大，vB增大，但并不清楚vB具體如何增，此時應用數(shù)學知識、物理知識、數(shù)形結合的方法就更加形象直觀.

參考文獻：

[1]教育部考試中心.2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明[M].北京：高等教育出版社，2016.