例談圓錐曲線中的一題多解

孫瑞澤

摘要：在新課程改革背景下，課程強(qiáng)調(diào)對學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，要求教師改變教學(xué)方式、充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。在教學(xué)過程中，一題多解可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，培養(yǎng)我們的思維能力，提高學(xué)習(xí)的效率。在高中數(shù)學(xué)中，圓錐曲線是重要的知識點(diǎn)，它不僅在高考試卷中占有很大的比例，而且在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用。在做圓錐曲線類的題目時(shí)，往往有很多種解答方法，例如：點(diǎn)差法、設(shè)而不求法、消元法等等。本文將闡述一題多解在圓錐曲線中的應(yīng)用，以及一題多解方法對我們高中學(xué)習(xí)的啟示。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;一題多解

中圖分類號：G634 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? 文章編號：1672-9129（2018）15-0270-01

Abstract：in the context of the new curriculum reform， the curriculum emphasizes the cultivation of students' innovative spirit and practical ability， and requires teachers to change the teaching mode and give full play to the main role of students. In the process of teaching， multiple solutions to a problem can mobilize the enthusiasm of students， cultivate our thinking ability， and improve the efficiency of learning. In high school mathematics， conic curve is an important knowledge point， it not only occupies a large proportion in the college entrance examination paper， but also has a wide range of applications in college higher mathematics. There are many ways to solve the problems of conic curve， such as point difference method， set-and-don't solve method， elimination method and so on. This paper will expound the application of one multi-solution in conic curve and the enlightenment of one multi-solution method to our high school study.

Keywords： conic curve;More than a problem solution

1 圓錐曲線曲線的定義及性質(zhì)

1.1圓錐曲線的定義。圓錐曲線包括三類曲線，分別是橢圓、雙曲線、拋物線。圓錐曲線一共有兩種定義形式，第一定義是指三類曲線的主要特性，第二種定義是指各類曲線之間的的聯(lián)系。

圓錐曲線第一定義：

橢圓：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離的和等于定值的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距。

雙曲線：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離的差的絕對值是定值的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距。

拋物線：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。

圓錐曲線的第二定義：到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離與到定直線（準(zhǔn)線）的距離的商是常數(shù)e（離心率）的點(diǎn)的軌跡。當(dāng)e>1時(shí)，為雙曲線的一支，當(dāng)e=1時(shí)，為拋物線，當(dāng)0

1.2圓錐曲線的性質(zhì)。高中數(shù)學(xué)主要研究圓錐曲線的基本性質(zhì)和光學(xué)性質(zhì)。圓錐曲線的基本性質(zhì)主要研究橢圓、雙曲線、拋物線的基本方程、圖形、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線、漸近線、焦點(diǎn)、以及過曲線上點(diǎn)P的切線方程。圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)主要源于它的切線和法線的性質(zhì)。橢圓的光學(xué)性質(zhì)是指從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，引一條光線，經(jīng)過橢圓面的放射，必然經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)。雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是指從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)引一條光線，其放射光線的反向延長線必過焦點(diǎn)。拋物線的光學(xué)性質(zhì)是指從焦點(diǎn)引一條光線，其反射光線平行于對稱軸。

2 一題多解在圓錐曲線中的應(yīng)用

圓錐曲線涉及的概念多、性質(zhì)多，在解答圓錐曲線類題目時(shí)經(jīng)常會有多種解答方法。因此在我們學(xué)習(xí)圓錐曲線的過程中，要注重一題多解，這樣不僅可以將知識點(diǎn)整合到一塊，而且可以培養(yǎng)自主創(chuàng)新和發(fā)散思維的能力。在解析幾何中的圓錐曲線問題，往往可以轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)、向量、不等式、等代數(shù)問題問題來求解。

例如：已知雙曲線[x2a2-y2b2=1，a>0，b>0]的兩個(gè)焦點(diǎn)為[F1，F(xiàn)2]，若[P]為其上一點(diǎn)，且[PF1=2PF2]，則雙曲線離心率的取值范圍為（）。在解決這道題時(shí)不僅可以運(yùn)用三角形的正弦、余弦定理求解，而且還可以應(yīng)用焦半徑公式求解。

例如：求拋物線y=x2上一點(diǎn)與直線x-y-2=0的最短距離。在解決這道題是可以用定義法求解，表示出拋物線上一點(diǎn)到直線的距離即d，然后用x表示y即可解出，也可以設(shè)出一條與x-y-2=0平行的直線且與拋物線相切的直線，然后利用拋物線的性質(zhì)即可解出。

3 一題多解對高中學(xué)習(xí)的反思和啟示

在解決問題采用多種解法時(shí)，可以幫助同學(xué)們挖掘問題的本質(zhì)和知識點(diǎn)的整理，也可以培養(yǎng)思維的靈活性和變通性。一題多解不僅可以可以幫助自己更加牢固的掌握知識點(diǎn)和解題過程，而且也可以幫助自己檢查其他知識點(diǎn)的掌握情況。一題多解可以激發(fā)我們把問題想的廣、想的深、想的透的能力，使自己更愿意去專研、去思索，讓我們明白解決某一類題時(shí)，哪種方法更簡便，哪種方法更合理。一題多解不僅符合了新課程改革下的學(xué)生觀，而且也對自己本身有很大的積極作用。高中時(shí)期是思維能力和記憶能力的黃金時(shí)期，因此在我們高中學(xué)習(xí)過程中，主動(dòng)應(yīng)用一題多解的學(xué)習(xí)方法對我們的思維能力有很大的幫助。

同時(shí)在一題多解的教學(xué)過程中，老師要充分發(fā)揮好主導(dǎo)作用，這樣有助于同學(xué)們樹立自信心，使得我們終身受益。一題多解正好可以滿足我們自己不同的需求，讓我們選擇自己喜歡的或者適合自己的解題方法，從而使得不同層次的學(xué)生都有所收獲。

結(jié)語： 在日常的教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中，不僅要在解決圓錐曲線問題采用一題多解，還在在解決其他問題時(shí)去應(yīng)用一題多解。一題多解可以培養(yǎng)我們的思維能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，幫助我們建立完備的知識體系，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。一題多解可以充分挖掘我們的潛能，引導(dǎo)我們多角度思考問題，從而養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)。在貫徹一題多解的教學(xué)方法時(shí)，我們也不能一味的追求多解，要根據(jù)實(shí)際題目去應(yīng)用，否則就不能達(dá)到一題多解的目的。

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