從“飯來(lái)張口”到“自己動(dòng)手”

徐騰云

摘 要：數(shù)學(xué)題目，不管是課本上，還是作業(yè)本上或試卷上，如果題目有圖，一般的題目都會(huì)給出圖形，這樣學(xué)生節(jié)省了畫(huà)圖的時(shí)間，但學(xué)生的畫(huà)圖能力、動(dòng)手能力、分類(lèi)討論的意識(shí)卻缺失了，近幾年杭州中考數(shù)學(xué)試卷在這方面動(dòng)了腦筋，有意識(shí)地增加了學(xué)生自己畫(huà)圖題的數(shù)量，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力起到了良好的導(dǎo)向作用.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；動(dòng)手能力；分類(lèi)討論

數(shù)學(xué)題，有圖的題大多給我們畫(huà)好，一般總是有“如圖”兩個(gè)字出現(xiàn)在題目當(dāng)中，這種題有助于學(xué)生理解題意，不會(huì)走彎路，使學(xué)生把主要精力放在數(shù)學(xué)思維上.但是，數(shù)學(xué)題把圖畫(huà)好也有它的局限性，如一題多解的題它可能有多種圖示，如果把它都畫(huà)出來(lái)，就禁錮了學(xué)生的分類(lèi)討論，傷害了題目的“靈魂”.同時(shí)，自己畫(huà)圖，也可以培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，迫使學(xué)生仔細(xì)讀題，認(rèn)真畫(huà)圖.有的學(xué)生做有圖題時(shí)，看題目“走馬觀花”，看圖形卻“一心一意”.導(dǎo)致疏忽了題目當(dāng)中的重要條件，如“直線”看成“線段”，“延長(zhǎng)BA”看成“延長(zhǎng)AB”，“直線上”當(dāng)作“線段上”等等.當(dāng)然培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，也是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所要求的，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“動(dòng)手實(shí)踐，自主探究，合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方式.有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式不能單純地依靠模仿與記憶.”“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，應(yīng)當(dāng)給予學(xué)生以最多的思考、動(dòng)手和交流的機(jī)會(huì)，經(jīng)歷知識(shí)的生成，發(fā)展，變化的全過(guò)程.”“使學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出過(guò)程、解決方案的探究過(guò)程.”課標(biāo)從“雙基”到“四基”新增的“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”也強(qiáng)調(diào)學(xué)生自己的動(dòng)手操作尤為重要，它是學(xué)生認(rèn)知的首要環(huán)節(jié).新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)學(xué)生獲得知識(shí)應(yīng)該是一個(gè)主動(dòng)的過(guò)程，學(xué)生不是信息被動(dòng)接受

者，而是知識(shí)獲得的主動(dòng)者.這就要求我們讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)，使課堂活起來(lái).有些學(xué)生，特別是幾何證明題，你叫他思考沒(méi)有問(wèn)題，如果叫他寫(xiě)出來(lái)則漏洞百出，缺乏條理.叫他根據(jù)題意畫(huà)圖，則無(wú)從下手，舉步維艱.就是叫他對(duì)著圖畫(huà)他也會(huì)把線段畫(huà)成弧.這方面，杭州中考的命題者做了有益的嘗試，近幾年杭州中考數(shù)學(xué)試卷增加了自己畫(huà)圖題的分量，淡化了繁雜的運(yùn)算和解題的技巧性，著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，顯現(xiàn)了“反對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)，提倡輕負(fù)高質(zhì)”的導(dǎo)向.下面我們來(lái)看一下近幾年杭州中考數(shù)學(xué)的自己畫(huà)

圖題.

一、只需畫(huà)出圖形

只要根據(jù)題意畫(huà)出圖形，題目就迎刃而解.

例1.（2016杭州中考）已知直角三角形紙片的兩條直角邊長(zhǎng)分別為m和n（m

A.m2+2mn+n2=0 B.m2-2mn+n2=0 C.m2+2mn-n2=0 D.m2-2mn-n2=0

簡(jiǎn)析：畫(huà)出圖形，如圖1，由題意得到等腰直角△ABC的三邊長(zhǎng)，利用勾股定理就可以做出選擇.

例2.（2016杭州中考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，3），

B（0，1），C（3，1），若線段AC與BD互相平分，則點(diǎn)D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________________.

簡(jiǎn)析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖2，利用平行四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用中心對(duì)稱的性質(zhì)求出點(diǎn)D對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

二、畫(huà)圖時(shí)注意分類(lèi)討論

分類(lèi)討論是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，畫(huà)圖題學(xué)生也經(jīng)常不能考慮

周全.

例3.（2016杭州中考）在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面內(nèi)，以對(duì)角線BD為底邊作頂角為120°的等腰三角形BDE，則∠EBC的度數(shù)為 .

簡(jiǎn)析：如圖3，這道題學(xué)生在畫(huà)圖的過(guò)程中一定要注意E點(diǎn)的位置有兩個(gè)，這樣∠EBC的度數(shù)也有兩個(gè).

例4.（2015杭州中考）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（1，t）在反比例函數(shù)y=2/x的圖象上，過(guò)點(diǎn)P作直線l與x軸平行，點(diǎn)Q在直線l上，滿足QP=OP，若反比例函數(shù)y=k/x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，則k= .

簡(jiǎn)析：如圖4，這道題先利用關(guān)系式求出t的值，然后再根據(jù)題意畫(huà)出圖形，注意Q點(diǎn)的位置有兩個(gè)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)就有兩個(gè)，k的值就有兩個(gè).

例5.（2014杭州中考）點(diǎn)A，B，C都在半徑為r的圓上，直線AD⊥直線BC，垂足為D，直線BE⊥直線AC，垂足為E，直線AD與BE相交于點(diǎn)H，若BH=AC，則∠ABC所對(duì)的弧長(zhǎng)等于

（長(zhǎng)度單位）.

簡(jiǎn)析：這道題與上面兩道分類(lèi)討論畫(huà)圖題不同的是要畫(huà)兩個(gè)圖，∠ABC分銳角和鈍角兩種情況.兩種情況都考慮到的學(xué)生應(yīng)該是非常優(yōu)秀了.

三、題目雖有圖，但還需自己畫(huà)

（1）寫(xiě)出其余滿足條件的⊙P的圓心坐標(biāo)；

（2）在圖中標(biāo)出所有圓心，并用線段依次連結(jié)各圓心，求所得幾何圖形的周長(zhǎng).

簡(jiǎn)析：第（1）畫(huà)圖時(shí)要注意利用對(duì)稱分兩類(lèi)求解①相鄰直線是對(duì)稱軸②不相鄰直線是對(duì)稱軸.

例7.（2016杭州中考）23.在線段AB的同側(cè)作射線AM和BN，若∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN，AM于點(diǎn)E，F(xiàn)，AE和BF交于點(diǎn)P.如圖9，點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)射線AM，BN交于點(diǎn)C；且∠ACB=60°時(shí)，有以下兩個(gè)結(jié)論：

①∠APB=120°；②AF+BE=AB.

那么，當(dāng)AM∥BN時(shí)：

（1）點(diǎn)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)求出∠APB的度數(shù)，寫(xiě)出AF，BE，AB長(zhǎng)度之間的等量關(guān)

系，并給予證明；

（2）設(shè)點(diǎn)Q為線段AE上一點(diǎn)，QB=5，若AF+BE=16，四邊形ABEF的面積為32，求AQ的長(zhǎng).

簡(jiǎn)析：這道題雖然有圖，但（1）（2）兩題還需自己畫(huà)圖，第（2）題還需分類(lèi)討論，注意∠MAB是銳角和∠MAB是鈍角兩種情況，如圖10.

例8.（2013杭州中考）射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，經(jīng)過(guò)t秒，以點(diǎn)P為圓心，cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點(diǎn)在邊上），請(qǐng)寫(xiě)出t可取的一切值.（單位：秒）

簡(jiǎn)析：題目雖有圖，但還需自己畫(huà)，根據(jù)切點(diǎn)的位置分三種情況，如圖.

四、數(shù)形結(jié)合有助理解題意

例9.（2017杭州中考）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y1=（x+a）（x-a-1），其中a≠0.

（1）若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-2），求函數(shù)y1的表達(dá)式；

（2）若一次函數(shù)y2=ax+b的圖象與y1的圖象經(jīng)過(guò)x軸上同一點(diǎn)，探究實(shí)數(shù)a，b滿足的關(guān)系式；

（3）已知點(diǎn)P（x0，m）和Q（1，n）在函數(shù)y1的圖象上，若m

簡(jiǎn)析：這道題的第（3）小題，不用畫(huà)圖用解析法也可解，但通過(guò)畫(huà)圖，數(shù)形結(jié)合能夠更直觀、形象.

因?yàn)槎魏瘮?shù)y1=（x+a）（x-a-1）的對(duì)稱軸x=0.5是個(gè)定值，當(dāng)x=0與x=1時(shí)，函數(shù)值相等.通過(guò)畫(huà)圖很容易就可求出x0的取值范圍，如圖16.

有人會(huì)說(shuō)，數(shù)學(xué)不是有尺規(guī)作圖題嗎？何必要多此一舉呢？這不一樣，尺規(guī)作圖題更加規(guī)范，要求更高.而自己畫(huà)圖題，則更自由，只要畫(huà)出題目的意思就行.對(duì)自己畫(huà)圖題，平時(shí)要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生讀題能力的培養(yǎng)，老師少讀題，讓學(xué)生自己去理解、感知，通過(guò)設(shè)置“陷阱”“隱含條件”提高讀題能力，防止學(xué)生讀題“一滑而過(guò)”，找不到問(wèn)題的切入點(diǎn)和有效信息.對(duì)有些例題也可考慮不給出圖形，讓學(xué)生根據(jù)題意自己來(lái)畫(huà)圖，以鍛煉學(xué)生對(duì)點(diǎn)、線、面的感知能力，提高作圖的速度和準(zhǔn)確性，避免因作圖不準(zhǔn)確等問(wèn)題而束手無(wú)策.近幾年，杭州中考試卷幾乎都有自己畫(huà)圖題出現(xiàn)，自己畫(huà)圖題對(duì)題目命制要求更高，需要題目敘述清晰，不能模棱兩可，自己畫(huà)圖題讓學(xué)生既掌握了知識(shí)，又獲得了能力.自己畫(huà)圖題，有利于增加學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，有助于激發(fā)學(xué)生興趣，發(fā)展學(xué)生思維.鄉(xiāng)村教育家陶行知說(shuō)：“人有兩個(gè)寶，雙手和大腦.用手不用腦，飯也吃不飽.用腦不用手，就要被打倒.用手又用腦，才是開(kāi)天辟地的大好老.”有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，使學(xué)生手腦得到更好的發(fā)展，使他們體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)，同時(shí)在掌握知識(shí)的過(guò)程中，使學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力得到有效發(fā)展.我想，從給出圖形“飯來(lái)張口”到自己畫(huà)圖“自己動(dòng)手”，以后自己畫(huà)圖題會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)在中考試題中，直到動(dòng)手能力弱這一缺陷得到彌補(bǔ)為止.

編輯 李建軍