靜定結構支座反力的求解

苗生龍，謝 偉，趙園園，鄭玉瑩，王秋分

(中國礦業(yè)大學 徐海學院，江蘇 徐州 221008)

靜定結構的內(nèi)力分析是《結構力學》的主要任務之一，而支座反力的求解則是靜定結構進行內(nèi)力分析的前提。多數(shù)現(xiàn)行教材中對支座反力的求解采用列靜力平衡方程的方法，常表述為：根據(jù)解題需要對結構整體或?qū)Y構任一局部甚至某一結點建立平衡方程求解[1-4]。但有些情況下（如支座反力多于3個），如果盲目選擇研究對象羅列平衡方程，可能出現(xiàn)聯(lián)立方程組數(shù)量多而不便求解全部未知力的情況。而且靜定結構種類多樣，分梁、剛架、拱、桁架等，因此，對該知識點的歸納梳理顯得十分重要。

本文結合靜定結構的受力分析，詳細闡明了支座反力求解的一般思路，歸納整理了相關類型，形成了一種通用的解決所有靜定結構支座反力求解的方法。

1 常見約束的類型及受力分析

要進行支座反力求解，第一步就要對結構進行受力分析，要想正確的進行受力分析，必須對約束的類型及約束反力標注有深刻的理解并熟練掌握[5]。先對約束所產(chǎn)生的約束個數(shù)進行討論，常見的約束類型可分為以下幾種：第一柔性體約束，一個約束；第二光滑接觸面約束，一個約束；第三固定鉸、中間鉸約束，兩個約束；第四可動鉸約束，一個約束；第五固定端、剛節(jié)點約束，3個約束；第六定向支座約束，兩個約束；第七鏈桿約束，一個約束。

熟練掌握以上幾種約束的性質(zhì)后，還需要對結構進行正確的受力分析。受力分析的一般步驟為：第一解除約束，取隔離體；第二畫主動力；第三在解除約束的地方代之以相應的約束力。受力分析對后續(xù)求解支座反力時快速正確的選擇研究對象至關重要。

2 支座反力求解的一般思路

靜定結構支座反力的求解一般采用列平衡方程的方法，而平衡方程有三種表達方式，分別為：

以上三種平衡方程在應用時需根據(jù)題目具體條件來進行選擇（求解時不解或少解聯(lián)立方程組，盡量一個方程求解一個未知力）。對于平面任意力系的每個研究對象，均只能列出3個獨立的平衡方程，求出3個未知力，任何第4個方程都是前3個方程的線性組合，是不獨立的。因此當某研究對象（常見于物體系統(tǒng)）上未知力的數(shù)量多于3個時，必須增加獨立方程的數(shù)量才能求出相應的未知力。

如何增加獨立方程數(shù)量呢？唯一的辦法即是增加研究對象的數(shù)量，因為每增加一個研究對象，即可增加3個獨立的平衡方程。如何才能增加研究對象數(shù)量呢？答案是斷開約束，但若隨意斷開約束，可能對于分析問題并無益處。如圖1所示，取整體為研究對象時，研究對象數(shù)目為1個，即整體，未知力有4個（A處為固定鉸，有2個約束力，B、D處均為可動鉸約束，分別有1個約束力），獨立平衡方程數(shù)量有3個，平衡方程數(shù)量不足，未知力無法全部求出，需要增加平衡方程數(shù)量，即需要增加研究對象數(shù)量。若從B處斷開，研究對象分別為AB、BD兩個，獨立平衡方程數(shù)量變?yōu)?個，但由于斷開處約束為剛節(jié)點，其未知力有3個，總的未知力增加為7個，依然無法全部求出所有未知力，因此，需要正確地選擇研究對象，即合理地選擇斷開約束的位置。

圖1 多跨連續(xù)梁一

一般來說，為了有效增加獨立平衡方程的數(shù)量，斷開位置處的約束力不能超過2個，這樣，斷開一次，研究對象增加1個，獨立的平衡方程增加3個，而未知力的增加不超過2個。若從C處斷開，研究對象為AC和CD，獨立的平衡方程總數(shù)為6，未知力為4+2=6個（式中數(shù)字2為C處中間鉸的約束力數(shù)量），未知力即可由方程全部求解。由此可知，在選取研究對象的時候，一定要從約束力不超過3的約束處斷開（常見中間鉸約束處、定向支座約束處）。

3 支座反力求解的三種類型

對于一般結構來說，通?？梢苑譃樯?、中、下三部分，即結構本身部分（上部）、大地或基礎部分（下部）及連接這兩部分的支座部分（中部），如圖2所示。結構形式千變?nèi)f化，但基本都是由這三部分組成的?？紤]到支座（即中部）的不同，從求支座反力的角度看，大致可以分為三種類型。

圖2 平面體系組成

3.1 類型一

如圖3（a）所示結構，該結構體系的支座反力為3個，取上部結構本身AC為研究對象（如圖3（b）所示），列三個平衡方程即可求出所有的支座反力，考慮到盡量一個方程解一個未知力的原則，平衡方程可按如下順序羅列：

圖3 類型一

此種類型為求支座反力類型中最簡單的一類，即結構全部的支座反力只有3個。

3.2 類型二

如圖1所示結構，該結構體系的支座反力有4個，若取上部結構ABCD為研究對象，方程數(shù)量不足，無法求出全部支座反力，必須增加研究對象數(shù)量，從而增加平衡方程數(shù)量。為此需要切斷約束。前述已經(jīng)討論過，需要從約束力少于3的地方斷開，即只能從C處（中間鉸，2個約束力）斷開，研究對象分別為AC、CD，受力如圖4所示。

圖4 類型二

先對CD部分進行受力分析（如圖4（a）），有3個未知力，列如下平衡方程即可求出：

然后再對AC進行受力分析（如圖4（b）），只有3個未知力（FCx=F′Cx,FCy=F′Cy），列如下平衡方程即可求出：

此種類型中，必有一個研究對象上的未知力個數(shù)不超過3個，因此從該研究對象入手，依次研究其余部分，即可求出全部支座反力。

3.3 類型三

如圖5所示結構，該結構體系的中部約束即支座反力有5個，可從C、D處斷開，將結構分為AC、CD和DF三部分，但每一個研究對象上的未知力均超過3個，無法用平衡方程一次性求出。經(jīng)受力分析發(fā)現(xiàn)，CD部分的4個未知力中有三個交于C點或D點（如圖5（c）所示），可采用力矩法求出FDy（MC=0）；然后再對DF段進行受力分析（如圖5（d）所示），則只存在3個未知力（FDy=F′Dy），可列三個平衡方程求出DF段的3個未知力，然后再研究CD段，求出其全部未知力，最后研究AC段，進而求出全部支座反力。

圖5 類型三

此種類型中，所有研究對象上的未知力數(shù)量均超過3個，但至少有一個研究對象（假定其未知力個數(shù)為n）存在如下情況：至少有n-1個未知力平行或者交于一點，求解時即可從該研究對象入手，采用投影法或力矩法先求出一個或兩個未知力，然后再選取其它研究對象，聯(lián)立即可求出全部未知力。

4 結語

通過對各種約束性質(zhì)的整理，及結構桿件的受力分析，本文闡述了靜定結構求解支座反力的基本思路、方法，并將之歸納整理為三種類型，應用該分析方法可對所有類型靜定結構（梁、剛架、桁架、組合結構等）進行支座反力求解。