基于化歸思想的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

李德福

摘 要：數(shù)學(xué)是高中階段一門(mén)非常重要的學(xué)科。為了有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和解題能力，化歸思想在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，起到了非常大的作用。文章介紹了化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中的運(yùn)用，和它在培養(yǎng)學(xué)生思維能力和解題能力中的作用。

一、問(wèn)題簡(jiǎn)單化

高中數(shù)學(xué)當(dāng)中，很多問(wèn)題的邏輯都非常強(qiáng)，所以學(xué)生理解起來(lái)有一定的難度，但是運(yùn)用了化歸思想的教學(xué)設(shè)計(jì)，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為簡(jiǎn)單、容易解決的問(wèn)題，然后再將分出來(lái)的小問(wèn)題逐個(gè)解決，從而可得出解題思路。

比如：已知y=logα（2-ax）在[0，1]上是x的減函數(shù)，則α的取值范圍是（ ）。

A. （0，1） B.（1，2）

C. （0，2） D.（2，+∞）

解：可以將函數(shù)y=logα（2-ax）轉(zhuǎn)化成為兩個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)① y=logαt與②t=2-ax，x∈[0，1]來(lái)考慮。因?yàn)閍>0，所以t=2-ax，x∈[0，1]為減函數(shù)，由符合函數(shù)的單調(diào)性得到y(tǒng)=logαt一定是增函數(shù)，所以a>1；又因?yàn)閠=2-ax，x∈[0，1]為減函數(shù)，且2-ax>0，所以在x=1的時(shí)候，2-a>0，所以a<2。綜上所述，1

二、未知問(wèn)題已知化

在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，在解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，因?yàn)轭}目十分復(fù)雜，有很多未知的問(wèn)題，所以可以將這些未知的問(wèn)題進(jìn)行分解轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題，對(duì)已知問(wèn)題的解決方法進(jìn)行運(yùn)用，可以解決問(wèn)題。

比如：甲乙兩地相距5千米，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過(guò)c千米/每小時(shí)，已知汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v的平方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a元。

（1）把全程運(yùn)輸成本y元表示為速度v的函數(shù)，并且指出這個(gè)函數(shù)的定義域。

（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車(chē)應(yīng)該以多大的速度行駛？

解：（1）根據(jù)題意得知汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地所用的時(shí)間為s/v，全程運(yùn)輸成本為y=a*s/v+bv2*s/v=s（a/v+bv），所以所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥=s（a/v+bv），v∈（0，c]；

（2）讀題所得，s、a、b、v都為正數(shù)，所以s（a/v+bv）≥2s√ab。

當(dāng)且僅當(dāng)a/v=bv，即v=√a/b的時(shí)候上述等號(hào)成立。

如果√a/b≤c，則當(dāng)v=√a/b的時(shí)候，全程運(yùn)輸成本y最小。

如果√a/b>c，則當(dāng)v∈（0，c]的時(shí)候，有

s（a/v+bv）-s（a/c+bc）=s[（a/v-a/c）+（bv-bc）]= svc（c-v）（a-bcv）

因?yàn)閏-v≥0，并且a>bc2，所以a-bcv≥a- bc2>0，所以s（a/v+bv）≥s（a/c+bc），并且只有在v=c的時(shí)候等號(hào)成立，也即當(dāng)v=c的時(shí)候，全程運(yùn)輸成本y最小。綜上所述，為了使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)√ab/b≤c時(shí)行駛速度為v=√ab/b；當(dāng)√ab/b>c的時(shí)候，行駛速度為v=c。

三、經(jīng)典數(shù)學(xué)方法中化歸思想的體現(xiàn)

在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，化歸思想的應(yīng)用非常廣泛，化歸思想不只是一種解題的方法，也是解決問(wèn)題的突破口。通常學(xué)生在解決問(wèn)題的時(shí)候選擇運(yùn)用化歸思想。但是在實(shí)際的情況當(dāng)中將化歸思想僅僅用來(lái)解決問(wèn)題是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，很多傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)方式都能夠明顯地看到這種思想的體現(xiàn)與應(yīng)用。

在數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中有很多非常精髓的方法，比如，數(shù)學(xué)歸納法，在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中通過(guò)這種方法對(duì)問(wèn)題展開(kāi)相應(yīng)的介紹，這種方法本身就是化歸法的直觀(guān)體現(xiàn)，并且通過(guò)對(duì)現(xiàn)象的分析與歸納，從而得出相關(guān)的結(jié)論，這種方法就是經(jīng)典的復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，未知問(wèn)題已知化，這也是化歸思想的精髓。在教學(xué)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，可以先提出問(wèn)題，不用急于讓學(xué)生去解決問(wèn)題，可以先讓學(xué)生通過(guò)思考，找到問(wèn)題的突破口，思考能夠用什么樣的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。學(xué)生在這個(gè)問(wèn)題上探討如果發(fā)生分歧，學(xué)生通過(guò)不同的方式來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探討分析，這樣的教學(xué)方式才是最有意義的，學(xué)生提出自己方法的過(guò)程就是一個(gè)積極思考的過(guò)程。所以，在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中，教師不能夠否認(rèn)任何一個(gè)答案，而需要通過(guò)證明過(guò)程讓學(xué)生自己判斷運(yùn)用什么樣的解題思路和解題方式，這才是最科學(xué)合理的，通過(guò)這樣的教學(xué)方式，讓學(xué)生對(duì)歸納法的應(yīng)用有更深的理解和體會(huì)。

四、知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中化歸思想的應(yīng)用

高中階段，數(shù)學(xué)是非常復(fù)雜的，并且很多的知識(shí)點(diǎn)都是連貫在一起的，如果有一個(gè)知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有理解透徹，也許在解題的過(guò)程中就會(huì)遇到很多的問(wèn)題。學(xué)生要想掌握并且加以運(yùn)用這些問(wèn)題是非常困難的，化歸思想就是非常有代表的一種，以“等比數(shù)列”的教學(xué)過(guò)程為例，等比數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并且這個(gè)知識(shí)點(diǎn)涉及的問(wèn)題也是多種多樣的。從教學(xué)的過(guò)程中可以看出學(xué)生都認(rèn)為在解決等比數(shù)列問(wèn)題的時(shí)候，計(jì)算能力不能被忽視，并且大多數(shù)的學(xué)生都將計(jì)算作為了解等比數(shù)列的重要因素，這樣的思想是偏頗的。等比數(shù)列的問(wèn)題可以很好地鍛煉學(xué)生的思維能力，從某種程度上來(lái)說(shuō)，學(xué)生所具備的思維將直接決定學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)候的效率。但是化歸思想的掌握往往能夠讓學(xué)生的思維能力得到有效的提升。

比如：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足關(guān)系式：3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（n≥2），其中t>0為已知常數(shù)。

求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列。

設(shè){an}的公比為f（t），作為{bn}，使b1=1，bn=f（1/bn-1）（n≥2），求bn的通項(xiàng)bn。

這是非常典型的等比數(shù)列問(wèn)題，在與學(xué)生進(jìn)行探討的時(shí)候，需要通過(guò)邏輯思維對(duì)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)解題思路的引導(dǎo)，并且?guī)椭鷮W(xué)生理清解題的方法，以看到復(fù)雜的數(shù)列之后的本質(zhì)，這就是典型的化歸思想的應(yīng)用，可以幫助學(xué)生對(duì)問(wèn)題作出準(zhǔn)確判斷，以及在解決問(wèn)題的時(shí)候能夠理清楚問(wèn)題，這樣就能夠解決問(wèn)題了。

五、 應(yīng)用化歸思想

在現(xiàn)階段的教學(xué)體制當(dāng)中，教師在數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)當(dāng)中，需要把學(xué)生作為課堂的主體，教師作為引導(dǎo)，從學(xué)生的角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)用化歸思想的解題方法。并且讓學(xué)生逐漸轉(zhuǎn)向用化歸法進(jìn)行解題。比如，在學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的過(guò)程中，對(duì)復(fù)雜的空間立體圖形進(jìn)行解析，學(xué)生需要學(xué)會(huì)將空間立體圖形的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的平面圖形，然后再對(duì)圖形進(jìn)行分析解決。在解題的過(guò)程當(dāng)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)利用化歸思想，找到轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，也就是將空間轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的平面基本圖形，然后通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單的平面圖形進(jìn)行分析，從而解決問(wèn)題得到最終的答案。在數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)方案的時(shí)候，需要有意識(shí)地將化歸思想進(jìn)行教學(xué)，徹底、詳細(xì)地分析整個(gè)化歸思想的概念，以及應(yīng)用范圍等。不管是在什么時(shí)候，都需要將化歸思想進(jìn)行滲透，從而提升學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的效率，解決學(xué)生對(duì)難題無(wú)從下手的問(wèn)題。

六、結(jié)語(yǔ)

化歸思想在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中的應(yīng)用能夠有效提升教師的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效率。與此同時(shí)，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及在遇到難題的時(shí)候的解題能力。通過(guò)對(duì)化歸思想的運(yùn)用，將化歸思想的特點(diǎn)在數(shù)學(xué)中展示得淋漓盡致，并且靈活地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)變能力和解題技巧。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊 威，張同語(yǔ).《兩角和與差的余弦函數(shù)》的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].教育文匯，2015（2）：34-35.

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