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    挖掘教材知識(shí),巧用四點(diǎn)共圓解難題

    2018-10-18 07:42:46
    關(guān)鍵詞:共圓證法對(duì)角

    一、根據(jù)教材中圓的定義,判定四點(diǎn)共圓

    到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上。

    例 1.如圖(1),在等腰 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于點(diǎn) D,∠ABC 的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn),M為EF的中點(diǎn),延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)N,連接DM,求∠BMD的度數(shù)。

    圖(1)

    如圖(2),取AB的中點(diǎn)O,

    圖(2)

    連接 DO、MO,

    ∴AO=BO=DO=MO,

    ∴A、B、D、M 四點(diǎn)共圓,

    ∴∠BMD=∠BAD=45°。

    我們發(fā)現(xiàn),∠BMD所在的多邊形中,很難尋找出與它有關(guān)的角度關(guān)系。通過(guò)觀察圖形,容易證得線段AB的同側(cè)有兩個(gè)直角∠AMF和∠ADB,通過(guò)取斜邊AB的中點(diǎn)O,根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”,得到A、B、D、M到斜邊中點(diǎn)O的距離相等,根據(jù)“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上”,巧妙地在多邊形中構(gòu)建出了圓的模型,結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì),使得思路立刻開(kāi)闊明朗起來(lái)。

    圖(3)

    例2.(2017年廣東省中考卷第25題改編)如圖(3),在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),四邊形ABCO是矩形,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(0,2)和,點(diǎn) D 是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、C重合),連結(jié)BD,作 DE⊥DB,交 x軸于點(diǎn)E,以線段DE、DB為鄰邊作矩形BDEF。求證

    常規(guī)方法:

    如圖(4)所示,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥OC于點(diǎn)G,DH⊥BC于點(diǎn)H,

    圖(4)

    該方法采用了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí),綜合性較強(qiáng),有一定的難度,解題的關(guān)鍵是作輔助線,構(gòu)造相似三角形。

    下面賞析四點(diǎn)共圓的證法:

    證明:如圖(5),連接BE,取BE的中點(diǎn)K,連接DK、KC.

    圖(5)

    ∵四邊形ABCO與四邊形BDEF是矩形,

    在2017年廣東省中考數(shù)學(xué)卷的最后一題中,兩個(gè)矩形交疊在平面直角坐標(biāo)系中出現(xiàn)了多個(gè)直角,本文對(duì)這道壓軸題進(jìn)行了適當(dāng)改編,采用常規(guī)方法和四點(diǎn)共圓法進(jìn)行對(duì)比證明,可以看出四點(diǎn)共圓證法所具有的明顯優(yōu)勢(shì)。此題實(shí)際上是兩個(gè)直角在公共斜邊異側(cè)的情況,通過(guò)對(duì)比例1、例2可以發(fā)現(xiàn),共斜邊的兩個(gè)直角三角形頂點(diǎn)共圓是常見(jiàn)的四點(diǎn)共圓模型。

    二、探究四點(diǎn)共圓

    在人教版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第二十四章《圓》章末的“數(shù)學(xué)活動(dòng)2”中,教材頗有用意地安排了“探究四點(diǎn)共圓的條件”這一探究活動(dòng),其探究結(jié)論即為四點(diǎn)共圓常用的另一判定方法:如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ),那么這個(gè)四邊形是圓內(nèi)接四邊形,也就是四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。下面對(duì)該判定方法進(jìn)行證明:

    已知:四邊形ABCD中,∠A+∠C=180°

    求證:A,B,C,D 四點(diǎn)共圓。

    證明:過(guò) A,B,D 作圓 O,

    假設(shè)C不在圓O上,點(diǎn)C在圓外或圓內(nèi),如圖(6),

    圖(6)

    若點(diǎn)C在圓外,

    設(shè)BC交圓O于C′,連結(jié)DC′,

    根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A+∠DC′B=180°,

    這與三角形外角定理矛盾,

    故C不可能在圓外。

    類(lèi)似地,如圖(7),可證C不可能在圓內(nèi)

    ∴C在圓O上,也即A,B,C,D四點(diǎn)共圓

    圖(7)

    例3.如圖,矩形ABCD中,連接AC、BD相交于點(diǎn)O,延長(zhǎng)CB到E,使CE=AC,連接 AE,F(xiàn) 是 AE 中點(diǎn),連接 DF,與AB相交于點(diǎn)G,連接BF。

    求證:BF⊥DF。

    常規(guī)方法:

    證明:如圖(8),延長(zhǎng) BF,交 DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

    圖(8)

    ∵四邊形ABCD是矩形,

    本題考查了矩形對(duì)邊平行且相等、對(duì)角線相等的性質(zhì)、全等三角形的判定和對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì),等腰三角形三線合一的性質(zhì),其中求證DB=DM是解題的關(guān)鍵。

    下面賞析四點(diǎn)共圓的證法:

    第1步:如圖(9),連接 CF,在等腰△ACE中,用三線合一性質(zhì)得CF⊥AE,即∠CFA=90°;

    圖(9)

    第2步:可證∠CFA+∠ADC=180°,得點(diǎn)A,F(xiàn),C,D共圓,即F在△ACD的外接圓上;

    第3步:可證∠ABC+∠ADC=180°,得點(diǎn) A,B,C,D 共圓,即B在△ACD的外接圓上;

    第4步:可得F,B,C,D共圓,由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)可證∠BFD+∠BCD=180°,可得∠BFD=90°,即 BF⊥DF。

    此證法在已知條件和結(jié)論中都沒(méi)有出現(xiàn)圓弧的情況下,根據(jù)“如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ),那么這個(gè)四邊形就是圓的內(nèi)接四邊形,也就是四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓”這一判定方法得出四點(diǎn)共圓,起了關(guān)鍵作用。

    雖然四點(diǎn)共圓問(wèn)題在中考中直接考查的意圖不明顯,在一些頗有難度的試題中,用我們常規(guī)使用的基本圖形、基本技能和基本思想也能解決,但較為繁瑣。而構(gòu)造四點(diǎn)共圓,通過(guò)引入圓的模型,仿佛幫我們打開(kāi)了另一扇窗戶(hù),使人豁然開(kāi)朗??梢哉J(rèn)為,四點(diǎn)共圓問(wèn)題是圓弧線形式的輔助線,其作為研究方法的多樣性和靈活性,對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的思維水平與提高推理能力有著非常重要的作用。

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