具有輸入飽和的欠驅(qū)動(dòng)船舶編隊(duì)控制

林安輝 蔣德松 曾建平

近年來,編隊(duì)控制成為控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)問題,引起了很多學(xué)者的關(guān)注[1?3],在航空航天、航海、工業(yè)等領(lǐng)域均有廣闊的應(yīng)用前景.在航海領(lǐng)域,編隊(duì)控制可應(yīng)用于艦隊(duì)的協(xié)同作戰(zhàn)、航行補(bǔ)給、環(huán)境監(jiān)測(cè)、石油和天然氣探測(cè)等[4].船舶在平面上運(yùn)動(dòng)的編隊(duì)控制目前已經(jīng)取得了較多的研究成果[5?17].文獻(xiàn)[5?10]使用Backstepping、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制和基于無源性理論等方法研究了全驅(qū)動(dòng)船舶的編隊(duì)控制問題.文獻(xiàn)[11]考慮船舶在固定航速下,給出了一種基于龐德里亞金極大值原理的編隊(duì)控制算法.

欠驅(qū)動(dòng)船舶在縱向、橫蕩和艏搖三個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)時(shí),未能獲得直接橫向推進(jìn)力,其控制輸入向量維數(shù)小于自由度維數(shù).相比全驅(qū)動(dòng)船舶的編隊(duì)控制而言,欠驅(qū)動(dòng)船舶的編隊(duì)控制更為困難.文獻(xiàn)[12]將欠驅(qū)動(dòng)水下自主航行器在平面上曲線跟蹤的編隊(duì)控制轉(zhuǎn)化成領(lǐng)航者、跟隨者的n個(gè)路徑跟隨以及跟隨船縱向距離的控制,但期望隊(duì)形在縱向距離上必須為零,未考慮系統(tǒng)的不確定性和外擾.文獻(xiàn)[13]使用Backstepping方法研究了欠驅(qū)動(dòng)水下自主航行器平面運(yùn)動(dòng)的編隊(duì)控制.文獻(xiàn)[14]使用Backstepping方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法研究了橫蕩速度無源有界假設(shè)下,欠驅(qū)動(dòng)水面自主航行器的編隊(duì)控制.文獻(xiàn)[15]在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上,應(yīng)用動(dòng)態(tài)面控制技術(shù)對(duì)虛擬控制輸入的微分進(jìn)行估計(jì),減少了在線計(jì)算量.文獻(xiàn)[16]給出了控制輸入受限情況下,欠驅(qū)動(dòng)水下自主航行器在平面上運(yùn)動(dòng)的編隊(duì)控制器設(shè)計(jì),沒有分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性,僅給出仿真結(jié)果.

現(xiàn)有船舶編隊(duì)控制較多采用Backstepping方法,較少考慮控制輸入飽和問題.Backstepping方法需要遞推構(gòu)造Lyapunov函數(shù),其過程較為復(fù)雜.在欠驅(qū)動(dòng)的船舶編隊(duì)控制中,使用Backstepping等方法時(shí),若在艏搖角速度虛擬控制輸入中引入距離或角度狀態(tài)的相乘項(xiàng)或相除項(xiàng),易導(dǎo)致艏搖角速度過大,造成船舶回轉(zhuǎn)直徑過小、橫搖角度較大的現(xiàn)象.此外,在系統(tǒng)存在不確定性和外擾的情況下,已有干擾觀測(cè)器的研究表明,其能夠較好估計(jì)低頻變化的參數(shù)不確定性和外擾[18].相比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法而言,干擾觀測(cè)器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單;相比魯棒控制而言,多數(shù)的魯棒控制方法對(duì)系統(tǒng)不確定參數(shù)需符合有界約束條件,但干擾觀測(cè)器無需此約束條件.

本文使用Leader-follower方法將船舶分成虛擬領(lǐng)航船和跟隨船,其中跟隨船存在橫蕩運(yùn)動(dòng).將欠驅(qū)動(dòng)船舶的編隊(duì)控制器設(shè)計(jì)分成三步:1)設(shè)計(jì)跟隨船艏搖角速度虛擬控制器;2)設(shè)計(jì)跟隨船縱向速度虛擬控制器;3)設(shè)計(jì)跟隨船動(dòng)力學(xué)控制器.在控制器設(shè)計(jì)中,引入雙曲正切函數(shù)用于克服控制輸入飽和的影響.進(jìn)一步,考慮跟隨船無法獲知虛擬領(lǐng)航船的加速度、跟隨船動(dòng)力學(xué)模型的不確定性和外擾的影響,以及避免計(jì)算控制輸入中的微分,文中將其統(tǒng)一視為干擾,應(yīng)用干擾觀測(cè)器進(jìn)行估計(jì),并在控制器當(dāng)中給予補(bǔ)償.本文的一個(gè)主要貢獻(xiàn)是,對(duì)于具有領(lǐng)航船的欠驅(qū)動(dòng)船舶編隊(duì)控制,轉(zhuǎn)化為三個(gè)子系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì),從而有效地降低了編隊(duì)控制器設(shè)計(jì)的復(fù)雜性.

1 系統(tǒng)模型與問題描述

記{O}、{BL}和{Bi}分別表示慣性坐標(biāo)系、虛擬領(lǐng)航船的船體坐標(biāo)系和跟隨船i的船體坐標(biāo)系(i=1,2···,n),uL、vL和rL分別表示虛擬領(lǐng)航船的縱向速度、橫蕩速度和艏搖角速度,ui、vi和ri分別表示跟隨船i的縱向速度、橫蕩速度和艏搖角速度,ψL和ψi分別表示虛擬領(lǐng)航船的航向和跟隨船i的航向,βi表示跟隨船i的漂角.虛擬領(lǐng)航船和跟隨船i在水面上的運(yùn)動(dòng)如圖1所示.

圖1 跟隨船i和虛擬領(lǐng)航船的運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 Motion sketch map of the followeriand the virtual leader

通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn),由圖1可得:

其中,(xL/O,yL/O)、(xi/L,yi/L)和(xi/O,yi/O)分別表示虛擬領(lǐng)航船在{O}坐標(biāo)系的坐標(biāo)、跟隨船i在{BL}坐標(biāo)系的坐標(biāo)和跟隨船i在{O}坐標(biāo)系的坐標(biāo).

虛擬領(lǐng)航船和跟隨船i在{O}坐標(biāo)系中縱向、橫蕩和艏搖三個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

對(duì)式(1)進(jìn)行求導(dǎo),并將式(2)代入,可得跟隨船i與虛擬領(lǐng)航船位置偏差(xi/L,yi/L)和跟隨船i航跡角與虛擬領(lǐng)航船航向偏差θi的方程為

記跟隨船i黏性水動(dòng)力和力矩為XHi=XHi(ui,vi,ri),YHi=YHi(ui,vi,ri),NHi=NHi(ui,vi,ri);跟隨船i縱向控制力和艏搖控制力矩分別為Xτi和Nτi;跟隨船i船體重心在{Bi}坐標(biāo)系中的位置為(xgi,0).跟隨船i在水面上三個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為[19?20]

其中,Xi=miviri+mixgiri2+XHi,Yi=YHi?miuiri,Ni=?mixgiuiri+NHi.

在{BL}坐標(biāo)系中,設(shè)跟隨船i和虛擬領(lǐng)航船期望保持的隊(duì)形距離xdi和ydi為已知常數(shù).編隊(duì)隊(duì)形類似于虛擬的剛性結(jié)構(gòu).記跟隨船i和虛擬領(lǐng)航船隊(duì)形期望值與實(shí)際值的誤差xei=xi/L?xdi,yei=yi/L?ydi,跟隨船i縱向速度虛擬控制輸入與實(shí)際值的誤差uei=ui?uτi,跟隨船i艏搖角速度虛擬控制輸入與實(shí)際值的誤差rei=ri?rτi.

令

其中,0＜αi＜0.5π,kyei＞0.

記跟隨船i航跡角與虛擬領(lǐng)航船航向偏差的期望值與實(shí)際值誤差θei=θi?θdi.

令

則誤差xei,yei,θei,uei,rei滿足方程:

引入如下假設(shè):

假設(shè)1.虛擬領(lǐng)航船縱向速度,橫蕩速度vL=0,艏搖角速度且

假設(shè)2.所有跟隨船均可獲知虛擬領(lǐng)航船位置、航向和速度.

注1.對(duì)于船舶編隊(duì)中存在實(shí)際領(lǐng)航船的情形,可轉(zhuǎn)化為本文使用虛擬領(lǐng)航船的情形.記實(shí)際領(lǐng)航船的縱向速度、橫蕩速度和艏搖角速度分別為,航向和漂角分別為,則令虛擬領(lǐng)航船縱向速度,橫蕩速度vL=0,艏搖角速度,航向ψL=ψ′L+β′L.若實(shí)際領(lǐng)航船的速度不可獲知,可采用跟蹤–微分器等方法通過實(shí)際領(lǐng)航船的位置來估計(jì)其速度.

注2.假設(shè)1中跟隨船i的橫蕩速度|vi|＜uL,當(dāng)跟隨船i的橫向出現(xiàn)外擾時(shí),由于船舶橫向的附加質(zhì)量較大,則其橫蕩速度較小.橫向出現(xiàn)外擾的情形未能滿足橫蕩速度無源性,這樣就降低了文獻(xiàn)[14?15]橫蕩速度無源有界假設(shè)的保守性.

若系統(tǒng)(4)是指數(shù)穩(wěn)定的,則limt→∞xi/L=xdi,limt→∞yi/L=ydi,limt→∞θei=0 即每艘跟隨船與虛擬領(lǐng)航船的位置偏差均收斂到期望值,從而實(shí)現(xiàn)了隊(duì)形穩(wěn)定的目的.這樣,本文考慮的具有輸入飽和的欠驅(qū)動(dòng)船舶編隊(duì)控制問題,就可轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(4)的鎮(zhèn)定控制問題.

2具有輸入飽和的船舶編隊(duì)控制

假設(shè)虛擬領(lǐng)航船縱向加速度˙uL和艏搖角加速度為已知.

若uei=0,θei=0,則式(4a)表示為

若rei=0,則式(4b)表示為

那么,可將系統(tǒng)(4)的鎮(zhèn)定控制問題轉(zhuǎn)化為三個(gè)子系統(tǒng)(5)、(6)和(4c)的鎮(zhèn)定控制問題.

定理1.若系統(tǒng)(4)滿足假設(shè)1和2,且控制器uτi,rτi,Xτi,Nτi滿足以下條件

1)控制器uτi=uτi(xei,yei)使得子系統(tǒng) (5)在零平衡點(diǎn)處是指數(shù)穩(wěn)定的;

2)控制器rτi=rτi(θei) 使得子系統(tǒng) (6) 在零平衡點(diǎn)處是指數(shù)穩(wěn)定的;

3)控制器Xτi=Xτi(uei)和Nτi=Nτi(rei)使得子系統(tǒng)(4c)在零平衡點(diǎn)處是指數(shù)穩(wěn)定的;

則系統(tǒng)(4)在零平衡點(diǎn)處是指數(shù)穩(wěn)定的.

證明.對(duì)于系統(tǒng) (4c)～(6),由條件 1)～4),根據(jù)Lyapunov逆定理,則存在Lyapunov函數(shù)滿足

其中,常數(shù)c11i＞0,c12i＞0,c13i＞0,c14i＞0,c21i＞0,c22i＞0,c23i＞0,c24i＞0,c31i＞0,c32i＞0,c33i＞0,c34i＞0.

對(duì)于系統(tǒng)(4),取Lyapunov函數(shù)為

其中,常數(shù)λ1i＞0,λ2i＞0,λ3i＞0.

則

根據(jù)Lipschitz連續(xù)性條件,則存在常數(shù)ε1i＞0,ε2i＞0,ε3i＞0,滿足

由上式可得

綜上所述,根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論,系統(tǒng)(4)在零平衡點(diǎn)處是指數(shù)穩(wěn)定的. □

由定理1,船舶編隊(duì)控制器設(shè)計(jì)可分成以下三步:

1)跟隨船艏搖角速度虛擬控制器設(shè)計(jì)

令跟隨船i艏搖角速度虛擬控制輸入為

其中,kri＜0和kθei＞0為可調(diào)參數(shù).

引理1.若跟隨船i艏搖角速度虛擬控制輸入取式(7),則子系統(tǒng)(6)在零平衡點(diǎn)處是指數(shù)穩(wěn)定的.

證明.取Lyapunov函數(shù)為.

若θei有界,則存在常數(shù)使得

由于kri＜0,則

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論,子系統(tǒng)(6)在零平衡點(diǎn)處是指數(shù)穩(wěn)定的. □

注3.式(7)中并未含有距離或角度狀態(tài)量的相乘項(xiàng)或相除項(xiàng).當(dāng)狀態(tài)量過小時(shí),相除項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致rτi過大;當(dāng)狀態(tài)量過大時(shí),相乘項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致rτi過大.

2)跟隨船縱向速度虛擬控制器設(shè)計(jì)

令跟隨船i縱向速度虛擬控制輸入為

其中,kxei＞0和|vi|?(uL?rLydi)＜kui＜0為可調(diào)參數(shù).

引理2.若跟隨船i縱向速度虛擬控制輸入取式(8),則子系統(tǒng)(5)在零平衡點(diǎn)處是指數(shù)穩(wěn)定的.

證明.取Lyapunov函數(shù)為

由式(8)可得

若xei和yei有界,則存在常數(shù)和使得

由于kui＜0和Ui＞0,則

3)跟隨船動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)

令跟隨船i縱向控制力為

其中,kXi＜0和kuei＞0為可調(diào)參數(shù).

令跟隨船i艏搖控制力矩為

其中,kNi＜0和krei＞0為可調(diào)參數(shù).

引理3.若跟隨船i縱向控制力和艏搖控制力矩分別取式(9)和(10),則子系統(tǒng)(4c)在零平衡點(diǎn)處是指數(shù)穩(wěn)定的.

證明.取Lyapunov函數(shù)為.

由式(9)和(10)可得

由于uei和rei有界,則存在常數(shù)和使得

由于kXi＜0和kNi＜0,則

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論,子系統(tǒng)(4c)在零平衡點(diǎn)處是指數(shù)穩(wěn)定的. □

由于跟隨船速度ui、vi和ri有界,則和有界.又根據(jù)雙曲正切函數(shù)tanh的特性可知,控制輸入Xτi和Nτi有界.可由控制器的飽和值,的邊界值來計(jì)算參數(shù)kXi和kNi的值.

顯然,若跟隨船i的艏搖角速度虛擬控制輸入、縱向速度虛擬控制輸入、縱向控制力和艏搖控制力矩分別取式(7)～(10)時(shí),系統(tǒng)(4)～(6)滿足局部Lipschitz連續(xù)性條件.由定理1和引理1～3,即得以下結(jié)果:

定理2.若系統(tǒng)(4)滿足假設(shè)1和2,跟隨船i艏搖角速度虛擬控制輸入、縱向速度虛擬控制輸入、縱向控制力和艏搖控制力矩分別取式(7)～(10),則系統(tǒng)(4)在零平衡點(diǎn)處是指數(shù)穩(wěn)定的.

3 基于干擾觀測(cè)器的補(bǔ)償控制

考慮跟隨船i動(dòng)力學(xué)建模導(dǎo)致的不確定性和風(fēng)、浪、流引起的環(huán)境外擾,其在三個(gè)自由度的分量分別為.

跟隨船i艏搖角速度虛擬控制輸入式(7)中含有微分,縱向控制力式(9)中含有微分,艏搖控制力矩式(10)中含有微分.而且,微分中含有虛擬領(lǐng)航船的加速度.為了避免微分的計(jì)算以及跟隨船i無法獲取虛擬領(lǐng)航船的加速度,在式(4b)中,將視為未知干擾,在式(4c)中,增加擾動(dòng)和,并將和視為未知干擾.則系統(tǒng)(4)改寫為

取干擾觀測(cè)器為

跟隨船i補(bǔ)償后的艏搖角速度虛擬控制輸入、縱向控制力和艏搖控制力矩分別取為

對(duì)系統(tǒng)(11)和干擾估計(jì)誤差系統(tǒng)(16)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析,可得以下結(jié)果:

定理3.若系統(tǒng)(11)滿足假設(shè)1和2,跟隨船i的艏搖角速度虛擬控制輸入、縱向速度虛擬控制輸入、縱向控制力和艏搖控制力矩分別取式(13)、(8)、(14)和 (15),則存在可調(diào)參數(shù)ηri＞0、ηXi＞0和ηNi＞0使得系統(tǒng)(11)和干擾估計(jì)誤差系統(tǒng)(16)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是最終一致有界的.

證明.對(duì)于干擾估計(jì)誤差系統(tǒng)(16),取Lyapunov函數(shù)分別為,則

由上式可得,存在時(shí)間T1i,當(dāng)時(shí),有邊界值,滿足.可調(diào)參數(shù)ηri、ηXi和ηNi越大,干擾估計(jì)誤差系統(tǒng)(16)收斂越快,最終邊界值越小.

對(duì)于系統(tǒng)(11),取Lyapunov函數(shù)為

當(dāng)t＞T1i時(shí),沿用定理1的證明思路,則存在常數(shù)使得

由上式可得,在系統(tǒng)狀態(tài)的定義域內(nèi),存在邊界值b1i、b2i、b3i、b4i、b5i、b6i和b7i,當(dāng)|xei|＞b4i,時(shí),.即存在可調(diào)參數(shù)ηri、ηXi和ηNi,使得系統(tǒng)(11)和干擾估計(jì)誤差系統(tǒng)(16)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是最終一致有界的.并且,控制器(7)～(10)的增益越高,閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)的最終邊界值越小. □

4 仿真

對(duì)4艘船長(zhǎng)為52.5m的跟隨船組成的編隊(duì)進(jìn)行仿真.跟隨船動(dòng)力學(xué)模型(3b)中的各項(xiàng)參數(shù)見文獻(xiàn)[20].

設(shè)虛擬領(lǐng)航船位置 (xL/O,yL/O,ψL)初值為(200,200,π/6),縱向速度uL、橫蕩速度vL和艏搖角速度rL分別為5m/s、0和0.01sin(0.01t)+0.008sin(0.015t)rad/s.

跟隨船1～4中,期望隊(duì)形參數(shù)(xdi,ydi)分別為(?50,50)、(?50,?50)、(50,50)和(50,?50),速度(ui,vi,ri)初值均為(4,0,0),位置和航向 (xi/O,yi/O,ψi) 初值分別為 (0,150,0.05π)、(300,100,0.05π)、(0,350,0.1π)和(400,300,0.1π).

設(shè)跟隨船 1～4的縱向控制力和艏搖控制力矩的飽和值分別為1×105N和4×105N·m.艏搖角速度虛擬控制輸入式(7)中的參數(shù)(αi,kyei,kri,kθei)均取為 (π/7,0.01,?0.01,10).縱向速度虛擬控制輸入式(8)中的參數(shù)(kui,kxei)均取為(?0.6,0.1).縱向控制力式(9)中的參數(shù)(kXi,kuei)均取為(?0.13,1).艏搖控制力矩式(10)中的參數(shù)(kNi,krei)均取為(?0.0025,200).

圖2 跟隨船與虛擬領(lǐng)航船的隊(duì)形誤差Fig.2 Formation errors of the followers and the virtual leader

設(shè)跟隨船1～4在縱向、橫向和艏搖方向遭受的外擾均為

圖3 無干擾觀測(cè)器時(shí)船舶編隊(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.3 Motion trajectory of the ship formation no using the disturbance observers

圖4 采用干擾觀測(cè)器時(shí)船舶編隊(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.4 Motion trajectory of the ship formation using the disturbance observers

若采用干擾觀測(cè)器的補(bǔ)償控制,干擾觀測(cè)器(12)中的參數(shù)(ηri,ηXi,ηNi) 均 取 為(0.02,0.03,0.2).分別對(duì)不采用和采用干擾觀測(cè)器的控制進(jìn)行仿真.

圖5 采用干擾觀測(cè)器時(shí)跟隨船的速度Fig.5 Velocities of the followers using the disturbance observers

圖6 采用干擾觀測(cè)器時(shí)跟隨船1和2的控制輸入Fig.6 Control inputs of the follower 1 and 2 using the disturbance observers

由圖2～圖4可見,在外擾影響下,采用干擾觀測(cè)器時(shí)船舶編隊(duì)控制效果較好,跟隨船的位置偏差實(shí)際值與期望值的誤差能夠收斂到零的較小鄰域內(nèi),而無干擾觀測(cè)器時(shí),船舶編隊(duì)隊(duì)形誤差相對(duì)較大.因此基于干擾觀測(cè)器的補(bǔ)償控制能夠有效抑制外擾.

由圖5～圖7可見,跟隨船的速度曲線比較平滑,速度值和控制輸入較合理.由于船舶的艏搖運(yùn)動(dòng)和橫蕩運(yùn)動(dòng)之間存在耦合關(guān)系,外擾也會(huì)引起船舶的橫蕩運(yùn)動(dòng).圖中跟隨船的橫蕩速度不為零,主要由跟隨船橫向的外擾和艏搖運(yùn)動(dòng)引起.在圖6～圖7中,Nτ1和Nτ2在控制器作用不久后達(dá)到飽和值,這是因?yàn)楦S船1和2的狀態(tài)θei初值較大,可通過減小艏搖角速度虛擬控制輸入的增益kri或采用時(shí)變?cè)鲆鎭肀苊膺_(dá)到飽和值,但隊(duì)形誤差的收斂速度將變慢.而Nτ2和Nτ3在t∈(100,200)中有一段時(shí)間達(dá)到飽和值,主要由于虛擬領(lǐng)航船的艏搖角速度在該時(shí)段處于較大值.

圖7 采用干擾觀測(cè)器時(shí)跟隨船3和4的控制輸入Fig.7 Control inputs of the follower 3 and 4 using the disturbance observers

5 結(jié)論

本文使用Leader-follower方法,研究了縱向、橫蕩和艏搖三個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)的欠驅(qū)動(dòng)船舶編隊(duì)控制問題.將控制器設(shè)計(jì)分成三步驟,每步驟可單獨(dú)設(shè)計(jì),簡(jiǎn)化了控制器設(shè)計(jì).進(jìn)一步,采用干擾觀測(cè)器估計(jì)外擾等未知?jiǎng)討B(tài)和虛擬控制輸入的微分.由于欠驅(qū)動(dòng)船舶未能獲得直接橫向推進(jìn)力,本文對(duì)跟隨船的橫蕩速度并不加以直接控制,而是通過控制跟隨船的縱向速度和航向,使得跟隨船與虛擬領(lǐng)航船保持相應(yīng)的距離.仿真結(jié)果表明,跟隨船在輸入飽和以及外擾存在的情況下船舶編隊(duì)隊(duì)形誤差小,速度值合理.