FIR數(shù)字濾波器零極點(diǎn)靈敏度分析及優(yōu)化實(shí)現(xiàn)

莊陵，馬靖怡，王光宇，關(guān)鵑

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FIR數(shù)字濾波器零極點(diǎn)靈敏度分析及優(yōu)化實(shí)現(xiàn)

莊陵，馬靖怡，王光宇，關(guān)鵑

（重慶郵電大學(xué)移動(dòng)通信技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065）

針對(duì)有限字長效應(yīng)導(dǎo)致濾波器零極點(diǎn)的位置偏移問題，基于狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)研究FIR數(shù)字濾波器零極點(diǎn)對(duì)系數(shù)誤差的靈敏性。不同于IIR濾波器，F(xiàn)IR濾波器狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣具有虧損性。引入虧損矩陣廣義特征向量分析極點(diǎn)的靈敏性，導(dǎo)出靈敏度表達(dá)式，并依據(jù)相似變換理論找尋最佳變換矩陣，提出FIR濾波器零極點(diǎn)靈敏度的優(yōu)化實(shí)現(xiàn)。理論推導(dǎo)及仿真實(shí)驗(yàn)表明，F(xiàn)IR濾波器極點(diǎn)對(duì)系數(shù)誤差敏感度較高，且所提優(yōu)化實(shí)現(xiàn)方案能夠降低靈敏度。

FIR數(shù)字濾波器；狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)；零極點(diǎn)靈敏度；虧損矩陣；廣義特征向量

1 引言

有限字長（FWL, finite word length）效應(yīng)導(dǎo)致的系數(shù)量化會(huì)影響實(shí)際應(yīng)用中濾波器的性能，使零極點(diǎn)位置發(fā)生偏移，從而改變頻率響應(yīng)特性。研究系數(shù)變化的靈敏度有多種方式，一類基于衡量傳遞函數(shù)關(guān)于參數(shù)的擾動(dòng)[1-3]，另一類基于測(cè)度系統(tǒng)零極點(diǎn)位置的偏差[4-5]。某些情況下相比于量化引起傳遞函數(shù)中的誤差，零極點(diǎn)位置偏移對(duì)濾波器性能產(chǎn)生的影響更為重要，例如，在設(shè)計(jì)陷波濾波器時(shí)需要保證零點(diǎn)位置的精確性，或?qū)τ陂]環(huán)系統(tǒng)，其穩(wěn)定性決定于極點(diǎn)（特別是主導(dǎo)極點(diǎn)）位置[6]。

值得注意的是，以上對(duì)零極點(diǎn)靈敏度的分析均基于IIR濾波器，而FIR濾波器相較于IIR濾波器有容易實(shí)現(xiàn)線性相位特性、適合多采樣率轉(zhuǎn)換等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于4G移動(dòng)通信系統(tǒng)、視頻與圖像處理等領(lǐng)域。然而，F(xiàn)IR濾波器與極點(diǎn)靈敏度有關(guān)的系統(tǒng)矩陣為虧損矩陣，其特征向量系是線性相關(guān)的，不具有完備的特征子空間，因此，利用非虧損矩陣特征向量的獨(dú)立性分析極點(diǎn)靈敏度的方法已不再適用[14]。本文引入廣義模態(tài)理論，利用系統(tǒng)矩陣的一組滿足酉正交條件的廣義特征向量系及其伴隨向量系，對(duì)FIR濾波器的極點(diǎn)靈敏度進(jìn)行理論推導(dǎo)及分析，同時(shí)給出FIR濾波器零極點(diǎn)靈敏度的優(yōu)化方法。

2 FIR濾波器狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)背景理論

3 零點(diǎn)靈敏度及其最小化

則式(7)亦可表示成

濾波器總的零點(diǎn)靈敏度為

4 極點(diǎn)靈敏度及其優(yōu)化

4.1 系統(tǒng)矩陣A的特征值擾動(dòng)分析

系統(tǒng)矩陣是一個(gè)重虧損矩陣，由其結(jié)構(gòu)可知存在如下形式的可逆矩陣

使

其中，是的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。下面對(duì)矩陣的列向量進(jìn)行歸一化

則矩陣受擾動(dòng)后其特征值的表現(xiàn)形式如定理1所示。

定理1 若系統(tǒng)矩陣的元素產(chǎn)生擾動(dòng)

則有

根據(jù)文獻(xiàn)[15]可推導(dǎo)出

由特征值與矩陣跡和行列式關(guān)系的定義可得

對(duì)比式(22)，可得

引入廣義特征向量矩陣

則有

將式(29)和式(31)分別代入式(23)和式(24)，即可證得式(20)。

4.2 極點(diǎn)靈敏度優(yōu)化

5 零極點(diǎn)靈敏度加權(quán)優(yōu)化

在優(yōu)化系統(tǒng)零極點(diǎn)靈敏度時(shí)，通常不能得到同時(shí)使兩者達(dá)到最優(yōu)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。最小化零點(diǎn)靈敏度可能優(yōu)化不了極點(diǎn)靈敏度，甚至?xí)夯瘶O點(diǎn)靈敏度。然而存在極點(diǎn)與零點(diǎn)擾動(dòng)都會(huì)影響到系統(tǒng)性能的情況，或系統(tǒng)對(duì)某些極點(diǎn)（零點(diǎn)）上的擾動(dòng)更為敏感。對(duì)零極點(diǎn)加上特定權(quán)重，可以權(quán)衡極點(diǎn)與零點(diǎn)靈敏度之間的優(yōu)化。記系統(tǒng)的加權(quán)零極點(diǎn)靈敏度為

其中

因式(38)等價(jià)于

可令

整理式(39)得

迭代終止條件

6 仿真實(shí)例

下面以23階線性相位FIR低通數(shù)字濾波器為例，利用matlab仿真平臺(tái)分析零極點(diǎn)的靈敏度以及零極點(diǎn)位置偏移對(duì)濾波器頻響特性的影響，并比較3種優(yōu)化方案的優(yōu)化性能。

表1 23階線性相位下IR低通濾波器系數(shù)h(n)

表2 不同實(shí)現(xiàn)的零極點(diǎn)靈敏度

6.1 系數(shù)擾動(dòng)下的靈敏度分析

序號(hào)精確解近似解 1，2?0.693 10.097 4i?0.683 70.094 0i 3，4?0.640 60.276 3i?0.633 00.274 9i 5，6?0.546 30.443 2i?0.535 30.435 5i 7，8?0.408 10.586 7i?0.398 00.563 8i 9，10?0.211 50.674 3i?0.231 10.650 2i 11，12?0.023 00.694 5i?0.046 50.679 9i 13，140.171 60.661 7i0.140 40.675 7i 15，160.321 00.577 3i0.317 50.612 7i 17，180.449 80.488 7i0.471 00.504 3i 19，200.574 10.356 6i0.589 60.358 6i 21，220.654 70.201 6i0.664 50.186 2i 230.702 40.000 0i0.690 10.000 0i

圖1 狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)下濾波器的零極點(diǎn)擾動(dòng)分布

圖2 狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)下濾波器的零極點(diǎn)擾動(dòng)分布

圖3 狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)下濾波器的零極點(diǎn)擾動(dòng)分布

圖4 狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)下濾波器的零極點(diǎn)擾動(dòng)分布

由于系統(tǒng)特性直接與系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)的分布有關(guān)，零極點(diǎn)位置偏移會(huì)改變系統(tǒng)原有的頻響特性。圖5~圖12分別對(duì)應(yīng)圖1~圖4中擾動(dòng)實(shí)現(xiàn)的幅頻響應(yīng)與相頻響應(yīng)變化。

圖5 狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)下濾波器的幅頻響應(yīng)變化

圖6 狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)下濾波器的相頻響應(yīng)變化

圖7 狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)下濾波器的幅頻響應(yīng)變化

圖8 狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)下濾波器的相頻響應(yīng)變化

圖9 狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)下濾波器的幅頻響應(yīng)變化

圖10 狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)下濾波器的相頻響應(yīng)變化

圖11 狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)下濾波器的幅頻響應(yīng)變化

圖12 狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)下濾波器的相頻響應(yīng)變化

6.2 系數(shù)量化下的靈敏度分析

圖13 狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)R下濾波器的零極點(diǎn)分布比較（Bc=10 bit）

圖14 幅頻響應(yīng)比較（Bc=10 bit）實(shí)線-理想；虛線-R；

圖15 相頻響應(yīng)比較（Bc=10 bit）實(shí)線-理想；虛線-R；

7 結(jié)束語

本文基于狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)討論FIR濾波器的零極點(diǎn)靈敏度，引用廣義特征向量對(duì)虧損系統(tǒng)矩陣的特征值進(jìn)行擾動(dòng)分析，推導(dǎo)出極點(diǎn)靈敏度表達(dá)式，并提出FIR濾波器極點(diǎn)、零點(diǎn)及加權(quán)零極點(diǎn)靈敏度的優(yōu)化方案。數(shù)值實(shí)例表明，由于系統(tǒng)矩陣的虧損性使FIR濾波器極點(diǎn)敏感于系數(shù)變化，零極點(diǎn)位置偏移會(huì)影響濾波器的頻響特性，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方案的有效性，即優(yōu)化實(shí)現(xiàn)能夠降低濾波器零極點(diǎn)的靈敏度。

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Analysis and optimal realization of pole-zero sensitivity for FIR digital filters

ZHUANG Ling, MA Jingyi, WANG Guangyu, GUAN Juan

Chongqing Key Lab of Mobile Communications Technology, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China

Aiming at the deviation of pole and zero in filters which caused by the finite word length (FWL) effects, the sensitivity of pole and zero for FIR digital filters to coefficient errors was studied based on the state-space model. Unlike the IIR filter, the system matrix in state-space model of the FIR filter was defective. A set of generalized eigenvectors of defective matrix was introduced to analyze the pole sensitivity and derive the measure expression, and optimal realizations with respect to pole-zero sensitivity for FIR filters were proposed by finding optimal transformation matrices according to the similarity transformation theory. Theoretical analysis and simulation experiments show that the poles of a FIR filter are more sensitive to coefficient errors, and the proposed optimal realizations can reduce the sensitivity.

FIR digital filter, state-space realization, pole and zero sensitivity, defective matrix, generalized eigenvector

TN713.7

A

莊陵（1978-），女，重慶人，博士，重慶郵電大學(xué)副教授，主要研究方向?yàn)橥ㄐ排c信息處理多載波技術(shù)、濾波器組理論。

馬靖怡（1993-），女，陜西漢中人，重慶郵電大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)闉V波器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、多載波濾波器組技術(shù)。

王光宇（1964-），男，貴州興義人，博士，重慶郵電大學(xué)教授，主要研究方向?yàn)楦咚俣噍d波通信理論。

關(guān)鵑（1991-），女，山西運(yùn)城人，重慶郵電大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)橐苿?dòng)通信多載波調(diào)制技術(shù)、濾波器組理論。

2018?01?09；

2018?05?20

中興5G高速連續(xù)接入技術(shù)方案與試驗(yàn)系統(tǒng)研發(fā)基金資助項(xiàng)目（No.2016ZX03001010-004）

10.11959/j.issn.1000?436x.2018167

The Research and Development Project of ZTE 5G High-Speed Continuous Access Technology and Testing System (No. 2016ZX03001010-004)