基于蘭徹斯特方程離散化的現(xiàn)代海戰(zhàn)效能研究

高 鑫

(解放軍91404部隊(duì),河北 秦皇島 066001)

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,導(dǎo)彈對(duì)于水面艦艇的殺傷力越來(lái)越大,一枚導(dǎo)彈就可能使艦艇失去戰(zhàn)斗力,因此在當(dāng)代海戰(zhàn)中,攔截來(lái)自敵方的導(dǎo)彈已成為水面艦艇的首要任務(wù)。目前人們通常使用蘭徹斯特方程來(lái)描述作戰(zhàn)過(guò)程,該方程通過(guò)微分方程的形式,涵蓋了交戰(zhàn)雙方部分參數(shù),來(lái)描述敵我兵力損耗情況[1]。但該方程反映敵我雙方兵力的損耗為連續(xù)性,且無(wú)增援條件下的情況,已經(jīng)逐漸不適應(yīng)現(xiàn)代海戰(zhàn)時(shí)間短、導(dǎo)彈少、威力大,兵力損耗呈現(xiàn)“跳躍”性且增援快的特點(diǎn)[2],需要研究離散條件下有兵力增援的情況,而目前國(guó)內(nèi)在該方面的考慮少之又少。本文推導(dǎo)了離散化蘭徹斯特模型,對(duì)“可見(jiàn)”型海戰(zhàn)與“不可見(jiàn)”型海戰(zhàn)進(jìn)行了研究,分析了這兩種海戰(zhàn)的制勝要素,對(duì)于海戰(zhàn)的指揮決策具有一定的價(jià)值。

1 傳統(tǒng)蘭徹斯特方程

蘭徹斯特方程是由英國(guó)科學(xué)家蘭徹斯特于1914年首次提出的,通過(guò)研究冷兵器時(shí)代交戰(zhàn)過(guò)程,建立了微分方程模型,該模型表征了交戰(zhàn)雙方兵力損耗與戰(zhàn)術(shù)應(yīng)用等因素關(guān)系[2-3]。傳統(tǒng)的蘭徹斯特方程由三個(gè)規(guī)律性描述,即蘭徹斯特第一線性率、第二線性率和平方率[4]。

假設(shè)a為藍(lán)軍在單位時(shí)間內(nèi)對(duì)紅軍的平均毀傷數(shù)、b為紅軍在單位時(shí)間內(nèi)對(duì)藍(lán)軍的平均毀傷數(shù),x、y為t時(shí)刻敵我雙方兵力數(shù)量的平均數(shù),x0、y0為敵我雙方初始兵力數(shù)。

蘭徹斯特第一線性率適用于冷兵器時(shí)代中單兵進(jìn)行一對(duì)一格斗的情形,如式(1)為可見(jiàn)交戰(zhàn)雙方兵力損耗隨時(shí)間線性變化[5]。

(1)

蘭徹斯特第二線性率適用于敵我艦艇較難發(fā)現(xiàn),只是向某個(gè)海域射擊,而我方兵力損失,與敵我雙方兵力有關(guān),通常此情況稱為“間瞄射擊”,如式(2)。

(2)

求解式(2)可得

a(y0-y)=b(x0-x)

(3)

由式(3)可知交戰(zhàn)一方的有效戰(zhàn)斗力正比于其戰(zhàn)斗單位數(shù)與平均毀傷數(shù)的乘積。

蘭徹斯特平方率適用于敵我兩方均采用區(qū)域射擊,且視線良好的戰(zhàn)斗[4-6]。假定敵我兩軍雙方均有大規(guī)模兵力參戰(zhàn),火炮和導(dǎo)彈對(duì)敵目標(biāo)實(shí)施火力打擊,一旦擊毀敵方目標(biāo),立即轉(zhuǎn)火,打擊敵其他目標(biāo)。雙方的射擊通常符合泊松分布,如式(4)所示。

(4)

求解式(4)可得,

a(y02-y2)=b(x02-x2)

(5)

由式(5)可知交戰(zhàn)一方的有效戰(zhàn)斗力正比于其兵力數(shù)量的平均數(shù)的平方與平均毀傷數(shù)平方的乘積,雙方損失兵力的速率跟各自兵力數(shù)量的平均數(shù)沒(méi)有任何關(guān)系。

2 有增援的離散蘭徹斯特模型

現(xiàn)代海戰(zhàn)可分為2種模式：一是未精確探測(cè)到目標(biāo)位置,只能確定到某個(gè)海域的海戰(zhàn),即“不可見(jiàn)”海戰(zhàn);二是敵我雙方可精確探測(cè)的海戰(zhàn),即“可見(jiàn)”海戰(zhàn)[7-10]。同時(shí)由于交戰(zhàn)雙方武器殺傷,交戰(zhàn)結(jié)果可能受一枚導(dǎo)彈影響,所以兵力損耗通常為離散的,并不適合用傳統(tǒng)蘭徹斯特進(jìn)行研究。

2.1 “可見(jiàn)”型海戰(zhàn)模型

“可見(jiàn)”型海戰(zhàn)模型類似于蘭徹斯特平方律模型[10-11],此時(shí)假設(shè)a為藍(lán)軍在單位時(shí)間內(nèi)單枚導(dǎo)彈對(duì)紅軍的平均毀傷數(shù)、b為紅軍在單位時(shí)間內(nèi)單枚導(dǎo)彈對(duì)藍(lán)軍的平均毀傷,x(n)、y(n)為n時(shí)刻紅藍(lán)雙方兵力數(shù)量,x0、y0為紅藍(lán)雙方初始兵力數(shù),c(n)、d(n)分別為紅藍(lán)雙方在n時(shí)刻的支援兵力。

那么此時(shí)紅藍(lán)雙方交戰(zhàn)模型為

(6)

通過(guò)迭代可求得

(7)

(8)

直接求解上式是困難的,由于在實(shí)際海戰(zhàn)中,敵我雙方兵力支援一般都不是連續(xù)的,體現(xiàn)在雙方兵力數(shù)量在某些時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行變化,而在這些時(shí)間點(diǎn)內(nèi)并無(wú)支援。因此,可以先求得紅藍(lán)雙方在這些時(shí)間點(diǎn)內(nèi)的兵力數(shù)量,再在時(shí)間點(diǎn)上考慮支援的影響。

在某一小段時(shí)間內(nèi),假設(shè)只有在n+1點(diǎn),雙方有兵力增援,此時(shí)有

(9)

當(dāng)i≤n時(shí);求解式(6)可得

(10)

(11)

當(dāng)i≥n+1時(shí),求解式(6)可得

(12)

(13)

其中，

(14)

(15)

結(jié)合以上公式可得

1) 紅藍(lán)雙方兵力數(shù)量的變化與我方初始兵力有關(guān),我方初始兵力越多,越容易獲得戰(zhàn)爭(zhēng)的勝利;

2.2 “不可見(jiàn)”型海戰(zhàn)模型

同理“不可見(jiàn)”型海戰(zhàn)模型類似于蘭徹斯特蘭徹斯特第二線性率模型[10],假設(shè)條件類似于“可見(jiàn)”型海戰(zhàn)。此時(shí)紅藍(lán)雙方交戰(zhàn)模型為

(16)

通過(guò)迭代可求得

(17)

(18)

由式(17)、(18)可得

(19)

該公式類似蘭徹斯特第二線性率模型,即雙方兵力損耗呈線性。該式變形為

(20)

由式(20)可得

1) 紅藍(lán)雙方兵力損耗與敵我雙方的單枚導(dǎo)彈的平均毀傷數(shù)有關(guān),我方對(duì)敵殺傷性越大,越容易獲得戰(zhàn)爭(zhēng)的勝利;

2) 我方兵力支援越大,敵方支援越少,我方損耗越少,越易得到戰(zhàn)爭(zhēng)勝利;

3) 在“不可見(jiàn)”型海戰(zhàn)中,戰(zhàn)斗中兵力的損耗與初始兵力無(wú)關(guān),該海戰(zhàn)適合于以小博大,以弱勝?gòu)?qiáng)。

3 仿真實(shí)例

本文已經(jīng)推導(dǎo)出了“可見(jiàn)”型和“不可見(jiàn)”型海戰(zhàn)模型的解析解,得到的兵力損耗和單枚導(dǎo)彈的平均毀傷數(shù)和兵力數(shù)量的關(guān)系并不直觀可見(jiàn),同時(shí)兵力支援的數(shù)量和時(shí)機(jī)的關(guān)系不易得到,所以需要仿真驗(yàn)證。

3.1 “可見(jiàn)”型海戰(zhàn)模型

模型1:在無(wú)兵力支援條件下

1) 紅藍(lán)雙方初始兵力相同,單彈毀傷數(shù)不同,如圖1所示，即x0=y0=20,a=0.6,b=0.3;

圖1 初始兵力相同、單彈毀傷數(shù)不同交戰(zhàn)

2) 紅藍(lán)雙方初始兵力不同,單彈毀傷數(shù)相同,即x0=20,y0=10,a=b=0.5;

圖2 初始兵力不同、單彈毀傷數(shù)相同交戰(zhàn)

圖3 平局條件下的交戰(zhàn)

仿真分析:

從該模型可以得到:敵方單枚導(dǎo)彈的平均毀傷數(shù)越大和敵兵力數(shù)量越多,我方兵力損耗越大,同時(shí)啟示我們與敵軍交戰(zhàn)時(shí),導(dǎo)彈毀傷能力的不足可以依靠數(shù)量來(lái)取勝。

模型2:有兵力支援條件下

1) 紅藍(lán)雙方初始兵力相同,單彈毀傷數(shù)不同,即x0=y0=20,a=0.1,b=0.2;藍(lán)方兵力在i=3時(shí)刻支援5，如圖4、5所示。

圖4 無(wú)兵力支援條件下的作戰(zhàn)(i=3,d=0)

圖5 藍(lán)方有兵力支援條件下的作戰(zhàn)(i=3,d=5)

圖6 藍(lán)方有兵力支援條件下的作戰(zhàn)(i=3,d=10.7931)

圖7 藍(lán)方有兵力支援條件下的作戰(zhàn)(i=5,d=14.0617)

仿真分析:

3.2 “不可見(jiàn)”型海戰(zhàn)模型

該模型的兵力損耗與初始兵力無(wú)關(guān),取單彈毀傷數(shù)不同,即a=0.1、b=0.2;比較支援情形1、2與無(wú)支援條件下的紅藍(lán)雙方兵力損耗，如圖8所示。

其中支援情形1:db/a·c,即藍(lán)方等效支援兵力較多,交戰(zhàn)損耗較少,處于優(yōu)勢(shì)地位。

仿真分析:

從該模型可以得到:紅藍(lán)雙方在“不可見(jiàn)”情況下的戰(zhàn)損與初始兵力無(wú)關(guān),即在看不見(jiàn)條件下,集中優(yōu)勢(shì)兵力殲敵的思想并不可取。雙方戰(zhàn)損受單彈平均毀傷數(shù)影響較大,同時(shí)如果我方支援兵力屬于支援情形1,我方消耗較多,屬于支援情形2,我方消耗較少。

圖8 “不可見(jiàn)”型海戰(zhàn)

4 結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)現(xiàn)代的特點(diǎn),本文提出了有增援的離散蘭徹斯特模型,推導(dǎo)了“可見(jiàn)”型海戰(zhàn)與“不可見(jiàn)”型海戰(zhàn)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式,并進(jìn)行了仿真分析,研究結(jié)果對(duì)我海軍作戰(zhàn)有一定借鑒價(jià)值。但也存在不足：一是未考慮我軍艦內(nèi)部作戰(zhàn)能力的異同,二是未考慮排兵布陣對(duì)于海戰(zhàn)的影響,需要下一步研究。