目標(biāo)位置未知的多自主體系統(tǒng)多目標(biāo)一致巡航控制

邵敬平 田玉平

(東南大學(xué)自動化學(xué)院, 南京 210096)(東南大學(xué)復(fù)雜工程系統(tǒng)測量與控制教育部重點實驗室, 南京 210096)

近年來，多自主體系統(tǒng)的巡航控制在軍事和民用領(lǐng)域(如安全監(jiān)督[1-2]、衛(wèi)星編隊飛行[3]、軌道保持[4]等)得到廣泛的應(yīng)用， 因而吸引了越來越多的關(guān)注.巡航控制可以作為一種控制策略，這類控制策略保證所有的移動自主體以規(guī)定的半徑巡航一個或多個目標(biāo).

針對目標(biāo)巡航控制問題，最簡單的情形是在目標(biāo)位置已知的前提下，單個移動自主體巡航單個靜態(tài)目標(biāo). 對于這種情形，只需要設(shè)計巡航控制器保證自主體向目標(biāo)移動且最終繞著目標(biāo)以規(guī)定的半徑作圓周運動. 最近，基于一致性理論，有一些文獻討論了多個自主體的巡航控制問題. 如，基于循環(huán)圍捕策略，文獻[5]提出了一種多自主體系統(tǒng)協(xié)同控制方法保證所有的自主體執(zhí)行目標(biāo)圍捕任務(wù). 為了保證多個移動自主體環(huán)繞多個目標(biāo)，文獻[6]提出了2類分布式巡航控制算法. 文獻[7]研究了多自主體系統(tǒng)的目標(biāo)勘測問題，該問題包含自主體間的避碰和自主體抵達(dá)規(guī)定目標(biāo)區(qū)域，然后以正多邊形隊形環(huán)繞目標(biāo)2個子任務(wù). 文獻[8-9]考查了具有二階積分器動態(tài)的多自主體系統(tǒng)包圍多個目標(biāo)的問題. 而以上文獻在算法中直接采用目標(biāo)的位置信息，目標(biāo)的位置信息通?？捎?GPS 直接獲得. 但在現(xiàn)實環(huán)境中，自主體并不能直接獲取目標(biāo)的準(zhǔn)確位置信息. 為此文獻[10-11]提出了定位-控制策略用于求解單個自主體定位與巡航控制單個目標(biāo)的問題. 文獻[12]進一步考察了單個自主體的多目標(biāo)定位與巡航控制問題. 文獻[1]考慮了基于距離測量的一個移動節(jié)點巡航一個目標(biāo)的問題，由于目標(biāo)的位置未知，提出了一類自適應(yīng)巡航控制器. 基于距離和距離的變化率，文獻[13]基于目標(biāo)的位置未知，研究了無人駕駛飛行器系統(tǒng)的目標(biāo)巡航控制問題. 文獻[14]基于方位角測量，研究了無人駕駛飛行器系統(tǒng)的目標(biāo)巡航控制問題. 文獻[15]提出了一類不連續(xù)一致巡航控制算法，用于求解多自主體系統(tǒng)的多目標(biāo)一致巡航控制問題，與前面的文獻相比，文獻[15]中目標(biāo)的位置是已知的，但對于每個自主體來說，目標(biāo)的中心是未知的，該文中設(shè)計分布式估計算法估計多目標(biāo)中心，要求每個自主體最終執(zhí)行一致巡航任務(wù)，即要求每個自主體最終均勻地分布在同一個圓周上以相同的角速度執(zhí)行巡航任務(wù). 這類巡航控制器統(tǒng)一稱為一致巡航控制器.文獻[16]考慮了目標(biāo)位置未知情況下的多自主體系統(tǒng)巡航多目標(biāo)巡航問題.

為了進一步考察目標(biāo)位置未知的多自主體系統(tǒng)一致巡航多目標(biāo)的問題，本文在文獻[16]的基礎(chǔ)上，進一步提出了新的一致巡航控制算法，并要求所有的自主體在同一圓形軌道上巡航多個目標(biāo)，即要求所有自主體的巡航半徑相同. 結(jié)合估計算法和一致巡航控制算法，證明了在目標(biāo)位置未知的情況下，所有自主體最終都能執(zhí)行一致巡航任務(wù). 最后，給出了6個自主體一致巡航4個目標(biāo)的數(shù)值仿真，仿真結(jié)果驗證了算法的有效性.

1 問題描述

(1)

下面考慮平面上有n個移動的自主體，每個自主體滿足如下一階積分器動態(tài):

(2)

圖1 方位角示意圖

(3)

(4)

式中，‖·‖表示向量或矩陣的范數(shù).

(5)

① 隨著時間t→∞，‖xi(t)-ξ(t)‖-d漸進趨于0的領(lǐng)域內(nèi)，其中,d表示期望的巡航半徑;

因此，目標(biāo)位置未知的多自主體系統(tǒng)多目標(biāo)一致巡航控制問題可描述如下:

考慮多自主體系統(tǒng)(2)和多目標(biāo)ξk,k∈O，設(shè)計目標(biāo)位置估計器，目標(biāo)中心估計器和一致巡航控制器滿足控制目標(biāo)1～控制目標(biāo)3.

為了使問題具有可解性和有意義，給出如下假設(shè):

1) 圖G是連通的，且每個目標(biāo)至少能被一個自主體檢測.

2 基于估計器的一致巡航控制算法設(shè)計

下面設(shè)計一致巡航控制算法求解目標(biāo)位置未知的多自主體系統(tǒng)多目標(biāo)一致巡航控制問題. 一致巡航控制算法主要有目標(biāo)位置估計器、目標(biāo)中心估計器和一致巡航控制器3部分組成. 在本文中，分別采用文獻[16]中的目標(biāo)位置估計器和目標(biāo)中心估計器. 若目標(biāo)ξk為自主體i的鄰居節(jié)點，則目標(biāo)位置估計器[16]為

(6)

(7)

對于自主體i，設(shè)計如下分布式目標(biāo)中心估計器[16]：

(8)

式中，i∈V,k∈O；ωi(t)∈R2為內(nèi)部狀態(tài)；ri(t)∈R2表示自主體i對多目標(biāo)中心ξ在t時刻的估計；sgn(·)表示符號函數(shù)，內(nèi)部狀態(tài)初始化為

(9)

為使所有的自主體執(zhí)行一致巡航任務(wù)，設(shè)計一類新的一致巡航控制器，即

(10)

(11)

(12)

(13)

結(jié)合上述算法，有如下主要結(jié)論:

定理1考慮估計器(6)和(8)，以及一致巡航控制器(10). 如果假設(shè)1和假設(shè)2成立，且每個移動目標(biāo)的速度足夠小，即存在一個充分小的正常數(shù)ε>0,使得

(14)

成立，則存在一個正常數(shù)κ(見式(8))使得所有的自主體執(zhí)行一致巡航任務(wù)，即每個自主體滿足控制目標(biāo)1～控制目標(biāo)3.

證明基于上述算法，驗證每個自主體能夠滿足控制目標(biāo)1～控制目標(biāo)3.

(15)

(16)

由于假設(shè)1、假設(shè)2和條件(14)成立，結(jié)合文獻[16]中定理3.2的證明可得，對于任意的i，ri(t)-ξ(t)漸進收斂到0的領(lǐng)域內(nèi).進一步可得

‖xi(t)-ξ(t)‖-d≤ (‖xi(t)-ri(t)‖-d)+

‖ri(t)-ξ(t)‖

(17)

由i的任意性可知，所有的自主體都滿足控制目標(biāo)1.

然后，證明所有的自主體滿足控制目標(biāo)2. 由式(12)可得

(18)

(19)

在圖G是連通的條件下(見假設(shè)1)，根據(jù)平均一致性理論[18]，可得

(20)

(21)

定義ν={ν2,ν3,…,νn}T，結(jié)合降階拉普拉斯的定義，式(21)進一步寫為

(22)

由假設(shè)1可知，圖G是連通的，結(jié)合引理1可知，ν(t)指數(shù)收斂到0，即對于任意的i∈{2,3,…,n}，有

(23)

3 數(shù)值仿真

給出一個例子說明一致巡航控制算法的有效性. 在目標(biāo)位置未知的前提下，考慮6個自主體構(gòu)成的多自主體系統(tǒng)一致巡航4個動態(tài)的目標(biāo). 自主體間的通信拓?fù)淙鐖D2所示，自主體系統(tǒng)與目標(biāo)間的檢測矩陣為B=[bij]∈R6×4,其中，b21=b22=b32=b42=b43=b53=b54=b64=1，矩陣其他元素為0.

圖2 通信拓?fù)?/p>

任意選取微分方程(6)的初始值和自主體的初始位置. 同時選取滿足條件(9)內(nèi)部狀態(tài)ωi(t)的初值. 給出目標(biāo)的動態(tài)方程為

圖3 關(guān)于4個移動目標(biāo)的6個自主體的巡航軌跡.

圖4估計誤差軌跡

4 結(jié)論

1) 提出了一類新的協(xié)同控制方法，用以求解目標(biāo)位置未知情形的多自主體系統(tǒng)多目標(biāo)一致巡航控制問題. 并從理論上證明了算法的收斂性. 本文中的一致巡航控制算法是連續(xù)的，穩(wěn)定性分析更簡潔.

2) 針對6個自主體一致巡航4個目標(biāo)的例子進行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果驗證了算法的正確性和有效性.

3) 該算法無需假設(shè)目標(biāo)的位置已知，只需要部分自主體能檢測到目標(biāo)，這是使得本文設(shè)計的一致巡航控制算法應(yīng)用范圍更廣泛.

4) 本文中的算法只需要拓?fù)涫沁B通的，一致巡航控制器是連續(xù)的，因而穩(wěn)定性分析更簡潔. 對于動態(tài)拓?fù)浜拖到y(tǒng)模型帶外部擾動的情形是今后需要重點研究的一個方向.