基于修正翹曲位移函數(shù)的薄壁箱梁剪力滯效應(yīng)分析

李夏元 萬 水 陳建兵 Mo Yilung

(1東南大學交通學院， 南京210096)(2蘇州科技大學土木工程學院， 蘇州 215011)(3Department of Civil and Environmental Engineering, University of Houston, Houston 77004, USA)

薄壁箱形截面抗彎、抗扭性能良好，廣泛應(yīng)用于橋梁結(jié)構(gòu).近年來，隨著公路交通需求的不斷增加，箱型截面趨于采用腹板間距大、橫向懸挑長的斷面形式，箱形截面剪力滯后效應(yīng)影響越來越顯著[1].文獻[2]指出，薄壁箱梁橋翼板橫向裂縫的產(chǎn)生與未考慮剪力滯效應(yīng)有關(guān).歐洲也多次發(fā)生過因忽視剪力滯效應(yīng)而引起的橋梁失穩(wěn)或破壞事故.為此，國內(nèi)外學者[3-9]對薄壁箱梁剪力滯效應(yīng)進行了大量的試驗研究和理論分析.Reissner[3]引入了縱向翹曲位移二次拋物線分布的假設(shè)，應(yīng)用能量變分法給出了無伸臂軸對稱矩形梁剪力滯效應(yīng)的近似解.張元海等[6-7]通過彎曲剪力流分布規(guī)律論證二次拋物線是較為合理的剪力滯翹曲位移函數(shù)表達形式.錢寅泉等[8-9]使用余弦函數(shù)作為縱向翹曲位移的分布形態(tài)，應(yīng)用能量變分原理構(gòu)造了計入翼緣板寬度、翼緣板中面與形心距離變化影響及軸力平衡的翹曲位移函數(shù).甘亞南等[10]研究了不同縱向翹曲位移函數(shù)表達式對剪力滯效應(yīng)的影響，所選取的翹曲位移函數(shù)表達式?jīng)]有充分考慮頂板懸臂板、頂板內(nèi)側(cè)翼緣板、底板縱向翹曲位移差函數(shù)的關(guān)系及內(nèi)力平衡條件的影響，結(jié)論有待商榷.藺鵬臻等[11]根據(jù)剪力流的分布規(guī)律，在頂板懸臂板和底板翹曲位移函數(shù)中引入修正系數(shù)，并考慮了翹曲正應(yīng)力的平衡條件.Luo等[12-13]針對不同翼緣板建立互不影響的翹曲位移函數(shù).然而，相關(guān)文獻[8-9,11-13]中頂板懸臂板的翹曲位移修正系數(shù)均由頂板懸臂板寬度與腹板之間1/2頂板寬度的比值確定，未考慮腹板對頂板懸臂板的縱向約束作用.當箱梁懸臂板的懸臂長度等于腹板之間1/2頂板寬度時，頂板懸臂板的實際縱向應(yīng)力明顯小于頂板的縱向應(yīng)力[11-12].為反映剪力滯效應(yīng)下懸臂板縱向翹曲位移真實狀態(tài)，張元海等[14]通過試算對頂板懸臂板引入了邊界約束修正系數(shù)，但該修正系數(shù)僅針對特定模型得出，不具備普遍性.

綜上所述，剪力滯翹曲位移函數(shù)不僅與剪力流的分布有關(guān)，而且受邊界條件影響.本文以余弦函數(shù)作為剪力滯翹曲位移分布形態(tài)的描述，考慮剪力流分布對薄壁箱梁彎曲曲率和頂?shù)装蹇v向翹曲位移差函數(shù)的影響，引入頂板懸臂板縱向翹曲位移差修正系數(shù)及內(nèi)力平衡因子，利用能量變分法，建立薄壁箱梁剪力滯效應(yīng)的微分方程，選取簡支箱梁[15]和連續(xù)箱梁[13,16]進行算例驗證分析.

1 縱向翹曲位移模式

單箱單室薄壁箱梁橫截面幾何參數(shù)及坐標軸的位置見圖1.圖中，b為箱型截面寬度；b1,b2分別為底板、頂板寬度的1/2；b3為頂板懸臂板寬度；h為頂板中面至底板中面的距離；h1，h2分別為底板中面、頂板中面至形心軸的距離.

圖1 單箱單室薄壁箱梁橫截面示意圖

薄壁箱梁橫截面頂、底板任意一點的縱向翹曲位移u(x,y,z)可表示為[3-5]

u(x,y,z)=u(x,y)+u(x,z)

(1)

u(x,z)=-φ(x)z

(2)

u(x,y)=Ui(x)f0(y)

(3)

1.1 縱向翹曲位移差函數(shù)與剪力流分布的關(guān)系

根據(jù)剪力滯的相關(guān)概念，翼緣板縱向翹曲位移差函數(shù)Ui(x)是由彎曲剪力流不均勻分布造成的，即縱向翹曲位移差函數(shù)與剪力流的分布有關(guān).

薄壁箱形閉合截面任意位置的剪力流為[17]

(4)

式中，qn為開口箱形截面任意位置的剪力流；q(x)為虛設(shè)開口處的剪力流(見圖2).

圖2 彎曲剪力流分布

箱梁形心軸處腹板平均剪力流修正系數(shù)為

(5)

薄壁箱形截面任意兩點的相對縱向翹曲位移差[17]為

(6)

式中，s1,s2分別為積分路徑的起點與終點；tm為剪力流計算區(qū)間的翼緣板或腹板厚度.

由于薄壁箱形截面頂板內(nèi)側(cè)翼緣板和底板的縱向約束情況相似，底板縱向翹曲位移差函數(shù)與頂板縱向翹曲位移差函數(shù)的關(guān)系可表示成

(7)

式中，t1,t2分別為底板和頂板內(nèi)側(cè)翼緣板的厚度.

令U2(x)=U(x)，則

U1(x)=α1U(x)

(8)

式中，U(x)為基準剪切變形位移差函數(shù)；α1為底板縱向翹曲位移差函數(shù)的修正系數(shù).

由內(nèi)力平衡條件可知，薄壁箱形截面剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的附加應(yīng)力應(yīng)滿足軸力平衡條件，即

(9)

式中，σi(i=1,2,3)分別為底板、頂板內(nèi)側(cè)翼緣板和頂板懸臂板的縱向應(yīng)力；Ai(i=1,2,3)分別為底板、頂板內(nèi)側(cè)翼緣板和頂板懸臂板的面積.

由式(9)可知，頂板懸臂板縱向翹曲位移差函數(shù)U3(x)與U(x)相關(guān)，令

U3(x)=α3U(x)

(10)

則

(11)

式中，α3為頂板懸臂板縱向翹曲位移差函數(shù)的修正系數(shù).

1.2 內(nèi)力平衡因子

由于圖2所示的頂板懸臂板端部是自由的，剪力滯后效應(yīng)產(chǎn)生的縱向翹曲位移差明顯大于通過剪力流不均勻分布得到的剪切變形位移差.故有

(12)

當b3=b2=b1時，由式(11)可知，α3<1，而根據(jù)式(12)，α3>1，相互矛盾，故需要引入內(nèi)力平衡因子D.式(3)可寫成

u(x,y)=Ui(x)f0(y)+DU(x)

(13)

翹曲位移函數(shù)的修正項DU(x)會在腹板產(chǎn)生附加應(yīng)力，則內(nèi)力平衡方程(9)改寫成

(14)

式中，E為彈性模量.

由式(14)可知，內(nèi)力平衡因子D可表示成

(15)

當b3=b2=b1時，α3=α1能較好地反應(yīng)頂板懸臂板在剪力滯效應(yīng)下的縱向翹曲變形規(guī)律.

2 控制微分方程

薄壁箱形梁體系總勢能Π表達式為

(16)

式中

式中，p為均布荷載;Iw為膜板慣性矩；Iy為截面慣性矩.

由能量變分原理[3-5]可知，當體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，體系總勢能Π取極值，總勢能的一階變分為零，即

δΠ=0

(17)

由式(17)可知，剪力滯效應(yīng)的控制微分方程可表示成

(18)

a2U-a3U″-a4w″′=0

(19)

式(18)和(19)成立的必要條件為

(20)

通過對微分方程組(18)和(19)解耦，并令

可得基準剪切變形位移差值函數(shù)U(x)和撓曲變形w(x)的微分方程表達式

(21)

(22)

3 算例分析

為驗證本文方法的正確性，分別選取單箱單室簡支箱梁[15]與連續(xù)箱梁[13]算例進行分析.

3.1 簡支箱梁

簡支箱梁有機玻璃模型[15]如圖3所示.集中荷載P=272.2 N，對稱作用于跨中截面兩側(cè)腹板處，以消除箱形截面扭轉(zhuǎn)、畸變及橫向彎曲效應(yīng)的影響[18].材料的彈性模量E=3 GPa，泊松比μ=0.385.根據(jù)圣維南原理，跨中截面頂板測點受局部效應(yīng)影響明顯，不宜作為分析對象；跨中截面底板測點遠離集中荷載加載區(qū)域，可以作為分析對象.

按本文方法得到的跨中截面底板測點應(yīng)力計算值、ABAQUS有限元計算值、文獻[14]的計算值和文獻[15]的實測值分別列于表1.

表1 簡支箱梁底板測點應(yīng)力分析 MPa

由表1可見，按本文方法得到的跨中截面底板測點應(yīng)力值與文獻[15]的實測值吻合較好，從而驗證了本文分析方法的正確性.

圖4給出了跨中集中荷載作用下按本文方法得到的單箱單室薄壁箱梁撓度沿梁跨方向分布的計算結(jié)果、ABQAQUS有限元計算結(jié)果以及初等梁理論得到的計算結(jié)果.由圖可見，按照本文方法得到的撓度值與ABAQUS有限元值沿梁跨方向分布吻合較好，而采用初等梁理論得到的撓度與有限元結(jié)果偏差較大.取跨中位置的撓度分析，本文方法計算值與有限元計算值誤差僅為1.31%，而初等梁理論計算值與有限元計算值誤差達到26.65%，說明剪力滯效應(yīng)使集中荷載作用下簡支箱梁跨中撓度增加了25.34%.

圖4 簡支箱梁集中荷載下的撓度曲線

為進一步驗證本文方法的適用性，基于文獻[15]中的簡支箱梁有機玻璃模型，沿梁長滿跨布置均布荷載p=6 kN/m，對稱作用于截面兩側(cè)腹板處.選取L/2，3L/8，L/4斷面頂板中面和底板中面為分析對象，將本文分析方法和ABAQUS有限元法得到的縱向應(yīng)力橫向分布曲線繪制于圖5和圖6.由圖可見，通過本文方法得到的均布荷載作用下單箱單室薄壁箱梁頂、底板中面縱向應(yīng)力值與ABAQUS有限元計算值吻合較好.本文分析方法較好地解決了相關(guān)文獻中頂板懸臂板應(yīng)力偏大的情況，真實反映了頂板懸臂板的應(yīng)力分布狀態(tài)。

圖7給出了均布荷載作用下基于本文方法得到的單箱單室薄壁箱梁撓度沿軸向分布的計算結(jié)果以及ABQAQUS有限元計算結(jié)果和初等梁理論計算結(jié)果. 由圖可見，本文方法得到的撓度值與ABAQUS有限元值沿梁跨方向分布吻合較好，而采用初等梁理論得到的撓度分布與有限元結(jié)果偏差較大.對于跨中位置的撓度，本文方法計算值與有限元計算值誤差僅為1.83%，而初等梁理論計算值與有限元計算值誤差達到21.05%，說明剪力滯效應(yīng)使均布荷載作用下簡支箱梁跨中撓度增加了19.22%.

3.2 連續(xù)箱梁

兩跨等截面連續(xù)箱梁模型[13,16]如圖8所示.材料彈性模量E=2.8 GPa，泊松比μ=0.37.分2種工況進行加載：① 分別在跨中截面作用集中荷載P=20 N；② 滿跨布置均布荷載p=0.2 kN/m.

(a) L/2斷面

(b) 3L/8斷面

(c) L/4 斷面

(a) L/2斷面

(b) 3L/8斷面

(c) L/4斷面

圖7 簡支箱梁均布荷載下?lián)隙惹€

圖8 橫截面尺寸及計算點布置(單位：mm)

表2 兩跨連續(xù)箱梁頂板與腹板交界處應(yīng)力MPa

表2列出了2種荷載工況下文獻[13]中連續(xù)箱梁跨中截面和中間支座截面頂板與腹板交界處的應(yīng)力計算值、ANSYS計算值、文獻[13,16]的實測值以及本文方法計算值.由表可知，采用本文方法計算得到的頂板和腹板處應(yīng)力值與文獻[13,16]提供的實測值、ANSYS計算值[13]吻合較好.

為進一步驗證本文方法的正確性，以均布荷載作用下中跨截面測點應(yīng)力作為分析對象(見圖8)，將本文方法計算得到的應(yīng)力值與文獻[13-14,16]提供的應(yīng)力值進行比較，結(jié)果見表3. 由表可見，本文方法較好地反映了均布荷載作用下跨中截面縱向應(yīng)力的橫向分布情況，與文獻[13]提供的ANSYS有限元計算值吻合較好.

表3 兩跨連續(xù)箱梁均布荷載作用下跨中截面應(yīng)力 MPa

4 結(jié)論

1) 以單箱單室薄壁箱梁的彎曲理論為基礎(chǔ)，基于彎曲剪力流的分布規(guī)律，確定頂、底板內(nèi)側(cè)翼緣板之間縱向翹曲位移差值函數(shù)Ui(x)的關(guān)系.根據(jù)內(nèi)力平衡條件得出頂板懸臂板的縱向翹曲位移差函數(shù)與基準剪切變形位移差函數(shù)有關(guān).

2) 通過剪力流分布規(guī)律確定的縱向翹曲位移函數(shù)不滿足內(nèi)力平衡條件，需要引入內(nèi)力平衡因子D對縱向翹曲位移函數(shù)進行修正.當頂板懸臂板的寬度等于腹板之間頂板寬度1/2時，取α3=α1，能較好反應(yīng)頂板懸臂板縱向翹曲變形狀態(tài).

3) 單箱單室簡支箱梁和連續(xù)箱梁算例分析結(jié)果表明，通過本文方法得到的應(yīng)力計算值與有限元值、實測值吻合較好，從而驗證了本文方法的正確性及適用性，尤其改善了目前相關(guān)研究對頂板懸臂板應(yīng)力分布預(yù)測偏大的情況.

4) 跨中集中荷載、滿跨均布荷載作用下單箱單室簡支箱梁撓度分析表明，考慮剪力滯效應(yīng)的撓度計算值與有限元計算值吻合較好，跨中撓度最大誤差分別為1.31%和1.83%，而未考慮剪力滯效應(yīng)的初等梁理論計算值與有限元計算值偏差較大，跨中撓度最大誤差分別為26.65%和21.05%.由此表明，剪力滯效應(yīng)顯著增加了箱梁撓度，工程中不容忽視.