考慮非線性振型的順風(fēng)向廣義氣動(dòng)力譜

李陽(yáng)陽(yáng)，李建成，馮松寶*，孫 磊，麻洪蕊，張萍花

(1.宿州學(xué)院 資源與土木工程學(xué)院, 安徽 宿州 234000；2.湖南大學(xué) 建筑安全與節(jié)能教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖南 長(zhǎng)沙 410082)

0 引言

20世紀(jì)50年代初期，建筑物一般不高，外形簡(jiǎn)單規(guī)則且樓層的質(zhì)量和剛度沿高度方向分布均勻，結(jié)構(gòu)的基本振型可以認(rèn)為是理想的線性振型.相應(yīng)地,為了計(jì)算方便，在順風(fēng)向陣風(fēng)荷載因子法以及高頻底座天平技術(shù)等傳統(tǒng)計(jì)算結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)的方法也均是以此為假設(shè)，這些方法在應(yīng)用于具有理想線性振型的結(jié)構(gòu)時(shí)，簡(jiǎn)單實(shí)用且準(zhǔn)確度較高[1].

然而，近年來隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，部分建筑的質(zhì)量和剛度由于沿高度方向呈現(xiàn)不均勻的分布或其他原因已不再滿足理想的線性振型，即在順風(fēng)向的模態(tài)振型沿高度方向不再滿足線性變化而呈現(xiàn)出非線性.以結(jié)構(gòu)第一階振型為線性振型的假設(shè)，當(dāng)出現(xiàn)非線性振型情況時(shí)，陣風(fēng)荷載因子法以及高頻底座天平技術(shù)難免會(huì)出現(xiàn)較大誤差.

在順風(fēng)向，許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究了非線性振型對(duì)高層建筑廣義氣動(dòng)力譜的影響.VICKERY等[2]以某一實(shí)際建筑物為例發(fā)現(xiàn)，根據(jù)理想線性振型計(jì)算得出的廣義氣動(dòng)力譜出現(xiàn)了1%～2%的誤差，同時(shí)對(duì)陣風(fēng)荷載因子法給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的修正公式.周印等[3]指出了非線性模態(tài)振型對(duì)高層建筑風(fēng)振背景響應(yīng)和共振響應(yīng)的敏感性不同且不可忽略.XU等[4]基于風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，提出了順風(fēng)向的廣義氣動(dòng)力譜修正公式.BOGGS等[5]假設(shè)在高度方向風(fēng)荷載呈現(xiàn)完全的相關(guān)性，系統(tǒng)地分析了非線性振型對(duì)基礎(chǔ)底部的彎矩、結(jié)構(gòu)頂部的位移和加速度的影響.HOLMES等[6]將風(fēng)力譜密度沿高度變化的相關(guān)性細(xì)分為低相關(guān)和高相關(guān)，分別計(jì)算出了非線性振型對(duì)于風(fēng)荷載的修正公式.考慮到非線性振型對(duì)高頻底座天平技術(shù)的影響，澳大利亞標(biāo)準(zhǔn)AS1170.4給出了對(duì)應(yīng)于基礎(chǔ)底部彎矩的修正公式0.76+0.24β，β是第一階模態(tài)振型指數(shù)[7].

本文則以此為出發(fā)點(diǎn)，在順風(fēng)向，結(jié)合不同的平均風(fēng)速剖面指數(shù)α，研究非線性振型對(duì)廣義氣動(dòng)力譜的影響，并給出關(guān)于振型指數(shù)β的修正公式，以提升陣風(fēng)荷載因子法以及高頻底座天平技術(shù)等傳統(tǒng)方法計(jì)算結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)的準(zhǔn)確性.

1 廣義氣動(dòng)力譜修正公式

1.1 基本公式推導(dǎo)

由文獻(xiàn)[8]可知，在順風(fēng)向根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)的理論，并基于如下假設(shè)：

(1)準(zhǔn)定常假設(shè).

(1)

式中：w(z,t)、(z,t)分別為建筑某一點(diǎn)z高度處t時(shí)刻的風(fēng)壓和風(fēng)速，ρ為空氣密度，CD為阻力系數(shù).

(2)

式中：H為建筑總高度，α為平均風(fēng)速剖面指數(shù).

(3)阻力系數(shù)沿建筑高度不變

Cd(z)=CD.

(3)

由此可得，作用在建筑物上的第一階廣義氣動(dòng)力譜密度SF1(n)，假設(shè)不計(jì)振型之間的耦合作用時(shí)，其為：

Rxz(M1,M2,n)dxdx′dzdz′,

(4)

第一階振型φ1(z)采用冪函數(shù)表示，振型指數(shù)為β，表達(dá)式如下：

(5)

(6)

脈動(dòng)風(fēng)速相干函數(shù)Rxz(M1,M2,n)采用Shiotani相關(guān)函數(shù)，如下所示：

Rxz(M1,M2,n)=Rx(x,x′)Rz(z,z′),

(7)

將式(5)、(6)和(7)代入式(4)，可得：

FJZ(α,β)2Jx(B)2,

(8)

式中：JZ(α,β)2、Jx(B)2分別定義為豎向和水平向的結(jié)合函數(shù).

由式(8)可知，對(duì)于理想的線性振型，即振型指數(shù)β=1，其廣義氣動(dòng)力譜密度為：

(9)

根據(jù)式(8)和式(9)，可得廣義氣動(dòng)力譜的振型修正Φ為：

(10)

式中，JZ(α,1)2的表達(dá)式為：

(11)

式(10)中ΦM是廣義質(zhì)量的修正，一般而言，實(shí)際振型的廣義質(zhì)量比較容易計(jì)算，這里不做研究，本文只對(duì)廣義氣動(dòng)力譜修正系數(shù)ΦD進(jìn)行討論計(jì)算：

(12)

1.2 參數(shù)分析

式(12)中各個(gè)參數(shù)的取值范圍考慮如下：α取0.12、0.30，β取0～2，H取100～400 m.采用數(shù)值積分的方法，得到了公式(12)的數(shù)值，下面通過圖形說明各個(gè)參數(shù)(α、β、H)對(duì)廣義氣動(dòng)力譜振型修正系數(shù)ΦD的敏感程度.圖1為修正系數(shù)隨高度的變化曲線；圖2為修正系數(shù)隨振型指數(shù)的變化曲線.

(a) α=0.12 (b) α=0.30

從圖1和圖2可得出：

(1)對(duì)于固定的α、β值，隨著高度H的增加，當(dāng)振型指數(shù)β小于1時(shí)，修正系數(shù)ΦD逐漸變小，而振型指數(shù)大于1時(shí)，修正系數(shù)ΦD基本不變；對(duì)于固定的α、H值，隨著振型指數(shù)β的增加，修正系數(shù)ΦD逐漸減小，且在β<1時(shí)，變化較大.

(2)修正系數(shù)ΦD關(guān)于振型指數(shù)β呈單調(diào)遞減的非線性變化規(guī)律.當(dāng)振型指數(shù)β小于1時(shí)，修正系數(shù)ΦD均大于1，此時(shí)實(shí)際振型的廣義氣動(dòng)力譜是大于理想線性振型的廣義氣動(dòng)力譜的，計(jì)算結(jié)果是偏于不安全的；反之，振型指數(shù)β大于1時(shí)，修正系數(shù)ΦD均小于1，這時(shí)高估了結(jié)構(gòu)的廣義氣動(dòng)力譜.β=1(理想線性模態(tài))時(shí)，修正系數(shù)ΦD恒等于1.

(3)在α=0.12、0.30，β=0～2，H=100～400 m的情況下，ΦD最大值為3.25，最小值為0.51，與線性振型假設(shè)下的“1”相比，誤差較大，因此建議對(duì)非線性振型的順風(fēng)向廣義氣動(dòng)力譜進(jìn)行修正，以免過分保守或夸大地估算結(jié)構(gòu)的風(fēng)致響應(yīng).

(a) H=100 m (b) H=400 m

1.3 修正系數(shù)擬合

由式(12)可知，修正系數(shù)ΦD與參數(shù)α、β和H的取值均有關(guān)，本文計(jì)算時(shí)考慮了高度H的影響，但為了方便公式運(yùn)用，在擬合公式時(shí)忽略了高度H的影響，其僅是α和β的函數(shù).根據(jù)積分結(jié)果，式(12)最終擬合為：

(13)

圖3給出了α=0.12和0.30時(shí)擬合公式的兩種結(jié)果，圖中散點(diǎn)代表計(jì)算數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)根據(jù)公式(12)所得，取自1.2節(jié)所得數(shù)值.作為比較也展示了XU[4]和HOLMES[6]的修正曲線.從圖3可看出，本文提出的擬合結(jié)果總體上與文獻(xiàn)[4，6]接近，由于在計(jì)算時(shí)考慮了高度，圖形上略有些不同.

2 基于規(guī)范振型的建議

由建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范[9]可知，順風(fēng)向高層建筑的基本振型為：

(14)

式中，ξ=z/H為相對(duì)高度.采用冪函數(shù)的形式對(duì)規(guī)范振型進(jìn)行擬合，得到其指數(shù)β=0.896，表達(dá)式如下：

φz=ξ0.896.

(15)

圖4分別給出了規(guī)范振型和擬合振型的基本振型曲線，從圖中可知，兩者總體上差別不大，從而較好地保證了兩者的統(tǒng)一性.

(a) α=0.12 (b) α=0.30

圖4 基本振型曲線Fig. 4 The basic mode shape curve

根據(jù)分析可知，順風(fēng)向高層建筑的基本振型并非理想的線性振型(β=0.896≠1)且小于1.根據(jù)1.2節(jié)所得到規(guī)律，此時(shí)若按傳統(tǒng)方法(陣風(fēng)荷載因子法以及高頻底座天平技術(shù))估算結(jié)構(gòu)的風(fēng)致響應(yīng)，就會(huì)出現(xiàn)計(jì)算值偏小的情況.

表1給出了當(dāng)采用規(guī)范振型時(shí)，平均風(fēng)速剖面指數(shù)α=0.12、0.15、0.22、0.30的具體廣義氣動(dòng)力譜修正系數(shù).由表1可知，修正系數(shù)的變化范圍為1.080～1.088，簡(jiǎn)化起見建議取常數(shù)1.1進(jìn)行修正.

表1 線性振型的修正系數(shù)Tab. 1 Correction coefficient of the linear mode

3 修正公式結(jié)果驗(yàn)證

(16)

(a) β=0.5 (b) β=1.5

由圖5可知，在順風(fēng)向，廣義氣動(dòng)力譜密度的誤差值ΔD隨著頻率的增加而變化.與XU和HOLMES的方法相比較：按本文方法修正的廣義氣動(dòng)力譜密度與實(shí)際值相差甚少，相比于實(shí)際值，誤差基本在-4%～8%之間，擬合情況良好.

4 結(jié)論

本文研究了非線性振型對(duì)于高層建筑順風(fēng)向廣義氣動(dòng)力譜的影響，得到的主要結(jié)論如下：

(1)在順風(fēng)向，根據(jù)平均風(fēng)速剖面指數(shù)α、建筑高度H以及迎風(fēng)面寬度B，運(yùn)用數(shù)值積分的方法，計(jì)算得到了振型指數(shù)為的β廣義氣動(dòng)力譜與理想線性振型的廣義氣動(dòng)力譜比值.同時(shí)，結(jié)合平均風(fēng)速剖面指數(shù)和振型指數(shù)，擬合出了非線性振型的廣義氣動(dòng)力譜修正公式，并通過風(fēng)洞試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)該公式擬合情況良好，修正如下：

(17)

(2)在順風(fēng)向，當(dāng)振型指數(shù)小于1時(shí)，修正系數(shù)大于1，也即此時(shí)實(shí)際振型的廣義氣動(dòng)力譜大于線性振型的廣義氣動(dòng)力譜，按傳統(tǒng)方法計(jì)算的廣義氣動(dòng)力譜偏小，計(jì)算結(jié)果是偏于不安全的；反之，當(dāng)振型指數(shù)大于1時(shí)，此時(shí)對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)而言，按傳統(tǒng)方法計(jì)算的廣義氣動(dòng)力譜是偏于保守的.由此，基于線性振型得到的廣義氣動(dòng)力譜，本文建議采用1.1的修正系數(shù)進(jìn)行修正，可應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范所采用的振型.

(3)對(duì)于固定的α和H，修正系數(shù)ΦD隨著振型指數(shù)β的增大而逐漸減小，且在β小于1時(shí)，變化較大.對(duì)于固定的α和β，當(dāng)振型指數(shù)β小于1時(shí)，修正系數(shù)ΦD隨著高度H的增大而逐漸變小，而振型指數(shù)大于1時(shí)，修正系數(shù)ΦD基本不變.