理論交織結(jié)碩果 解題能力巧提升
——以一道旋轉(zhuǎn)不變性問題為例

王 海，虞秀云

（江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院）

解題研究一直以來都是教育領(lǐng)域所關(guān)注的重點(diǎn)，波利亞的“怎樣解題表”作為經(jīng)典的解題理論之一，是開展解題研究的重要理論支撐.羅增儒教授的解題信息論則從不同方面提出了解題觀點(diǎn)，但兩者在解題思想和步驟上有許多神似的地方.

“怎樣解題表”是《怎樣解題》一書的精華，“怎樣解題表”的四個步驟中，通過一系列提問，引導(dǎo)我們從不同的方面進(jìn)行解題思考，給我們帶來很好的解題思路.波利亞在《怎樣解題》中提到“你能否想到一道更為普遍化的題目？能否想到一道更為特殊化的題目？”闡述了一般化與特殊化之間的聯(lián)系.解題信息論認(rèn)為，數(shù)學(xué)解題的過程就是數(shù)學(xué)問題信息的獲取、存儲、處理、輸出，從而實現(xiàn)解題目標(biāo)的運(yùn)動過程.在數(shù)學(xué)解題過程中，大腦需要處理一系列的信息（題目的條件，有關(guān)的定理、定義和公式等），同時通過信息間的有效組合得出解題方法，從而解決數(shù)學(xué)問題.

在解題過程中，兩種理論的交織使用，有利于數(shù)學(xué)解題能力的提高.“怎樣解題表”主要從宏觀層面上教會我們?nèi)绾螌ふ医忸}思路，而解題信息論主要從微觀層面上教會我們找到具體的解題方法.在實際解題中交織使用這兩種理論，有利于解題思路與解題方法的產(chǎn)生.筆者以一道旋轉(zhuǎn)不變性問題為例，談?wù)勅绾卫眠@兩種理論進(jìn)行數(shù)學(xué)解題活動.

例1如圖1，正方形ABCD和等腰直角三角形BEF中，連接DF,G為DF的中點(diǎn)，連接EG,CG,則EG和CG之間有什么數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并加以證明.

圖1

一、理解題目，大膽猜想

“怎樣解題表”的第一步提到，首先理解語言的陳述，并引入適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號.上述例題中的未知量是EG和CG之間有什么數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；已知量是正方形ABCD、等腰直角三角形BEF、G為DF的中點(diǎn).通過深入理解題目給出的條件，得到更多的結(jié)論，即AB=BC=CD=AD,∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,BE=EF,∠BEF=90°,∠EBF=∠EFB=45°, FG=DG.利用“怎樣解題表”的第一步“你必須理解題目”，對題目的已知量和未知量進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)例1所給的條件并不充分，無法直接證明出EG和CG之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.根據(jù)“怎樣解題表”的第一步和幾何直觀，猜想EG=CG,且EG⊥CG.

二、從一般到特殊，尋找解題思路

“怎樣解題表”的第二步：找出已知量和未知量之間的聯(lián)系；如果找不到直接的聯(lián)系，你也許不得不去考慮輔助問題；你應(yīng)該最終得到一個解決問題的方案.通過上面的分析，發(fā)現(xiàn)“不得不去考慮輔助問題”，即尋找一道更為特殊化的題目.我們知道，適用于普遍情況的，對其中的特殊情況也必能適用，這是邏輯方面的常識.從特殊到一般，是我們獲得知識的最基本的途徑.通過觀察圖1，發(fā)現(xiàn)正方形ABCD和等腰直角三角形BEF有一個公共點(diǎn)B，如果將等腰直角三角形BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，那么EG和CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否會發(fā)生變化？這道題是否可以轉(zhuǎn)化成一道旋轉(zhuǎn)不變性的問題呢？本文選取了等腰直角三角形BEF在旋轉(zhuǎn)的過程中的四種特殊位置的圖形加以討論，尋找解答例1的方法.

變式1：如圖2，在正方形ABCD及等腰直角三角形BEF中，連接DF,G為DF的中點(diǎn)，連接EG,CG,則EG和CG之間有什么數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并加以證明.

圖2

思路探究：通過解題信息論的三步曲，尋找解題方法.連接ED，發(fā)現(xiàn)B,E,D三點(diǎn)在同一條直線上.

（1）有用捕捉，即從理解題意中捕捉有用的信息.根據(jù)題意，找出3條信息：△DCF是直角三角形；G是DF的中點(diǎn)；∠BDC=45°.

（2）有關(guān)提取，即從記憶存儲中提取有關(guān)的知識信息.此題中的有關(guān)提取為：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；等式的性質(zhì).

（3）有效組合，將上述兩組信息加工配置成為一個和諧的邏輯結(jié)構(gòu)，詳細(xì)過程如流程圖3所示.

圖3

變式2：如圖4，在正方形ABCD及等腰直角三角形BEF中，G為DF的中點(diǎn)，連接EG,CG,則EG和CG之間有什么數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并加以證明.

思路探究：由于在解答變式1時，利用直角三角形斜邊中線定理，間接得到了EG=CG.那么以DF為斜邊構(gòu)造直角三角形，作出輔助線，能否尋找到解題方向呢？

圖4

（1）有用捕捉：△BEF是直角三角形；G是DF的中點(diǎn)；EF∥BC.

（2）有關(guān)提?。焊鶕?jù)變式2，思考如何以DF為斜邊構(gòu)造直角三角形，發(fā)現(xiàn)EF∥BC.如圖5，延長EF與CD交于點(diǎn)H，連接HG.由于EG和CG分別是△EGH和△CGD的兩條邊長，若能證明△EGH≌△CGD就能得到EG=CG.那么怎樣證明△EGH≌△CGD是第一個難點(diǎn).從圖5可以看出∠EGC=∠EGF+∠FGC,只要證明∠EGF+∠FGC=90°,那么就能說明EG⊥CG成立.如何證明∠EGF+∠FGC=90°是第二個難點(diǎn).

圖5

（3）有效組合：利用△DFH是等腰直角三角形，GH為中線，得知GH=DG,∠GDC=∠GHE=45°.顯然EH=DC.從而證明了△EGH≌△DGC(SAS),因此EG=CG,解決了第一個難點(diǎn).由△EGH≌△DGC,可以得到∠EGH=∠DGC,即∠DGH+∠HGC=∠EGC+∠HGC,因為∠DGH=90°,所以∠EGC=90°，解決了第二個難點(diǎn).

變式3：如圖6，在正方形ABCD及等腰直角三角形BEF中，連接DF,G為DF的中點(diǎn)，連接EG,CG,則EG和CG之間有什么數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并加以證明.

圖6

思路探究：變式2中利用兩個三角形全等，證明了EG=CG.而條件“G為DF中點(diǎn)，EF∥DC,DF與EF分別與DC交于點(diǎn)F和點(diǎn)D，那么是否可以通過作輔助線構(gòu)造兩個三角形全等來證明EG=CG呢？這使得我們想起一類輔助線作法的數(shù)學(xué)模型：如圖7，在一個平面內(nèi)，一條直線與一組平行線相交于A,B兩點(diǎn)，過AB的中點(diǎn)G，任意畫一條直線，與平行線相交于C,D兩點(diǎn)，那么就能構(gòu)造出兩個全等三角形，即△ACG≌△BDG.

圖7

圖8

根據(jù)該數(shù)學(xué)模型，在圖6中延長CD與EG的延長線交于 點(diǎn)H（如圖8）. 因為 ∠FGE=∠DGH,FG=DG,∠EFG=∠HDG,所以△EGF≌△HGD(ASA).從而得到BE=EF=HD. 又因為BC=CD,∠ECH=90°,所 以△ECH是等腰直角三角形.根據(jù)EG=HG和等腰三角性三線合一的性質(zhì)，可以得到EG=CG,EG⊥CG.

變式4：如圖9，在正方形ABCD及等腰直角三角形BEF中，G為DF的中點(diǎn)，連接EG,CG,則EG和CG之間有什么數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并加以證明.

圖9

圖10

解數(shù)學(xué)題時，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型去尋找解題思路，可以排除其他因素的干擾，提高思維的敏捷性.根據(jù)圖7提到的一類輔助線作法的數(shù)學(xué)模型，如圖10，延長EG,與AD交于點(diǎn)H,連接EC，HC， 因為△EFG≌△HDG,所以EF=HD,EG=HG.易證得△BCE≌△DCH.所以△ECH是等腰直角三角形，再根據(jù)EG=HG和等腰三角性三線合一的性質(zhì)，可以得到EG=CG,EG⊥CG.

三、從特殊到一般，揭示本質(zhì)

“怎樣解題表”的第三步：執(zhí)行你的方案，你能清楚地看出這個步驟是正確的嗎？一方面，要審視推理得到的每一步的合理性；另一方面，對執(zhí)行的方案的本質(zhì)要洞悉清楚.例1實質(zhì)上是建立了以點(diǎn)B為公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形BEF和正方形ABCD,將等腰直角三角形BEF繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的模型，探討等腰直角三角形BEF在旋轉(zhuǎn)的過程中，EG和CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否發(fā)生變化，然后選取了四種特殊位置的圖形，證明了EG和CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系不會發(fā)生變化.其實等腰直角三角形BEF旋轉(zhuǎn)到任何位置，該結(jié)論依然成立.同時，建立了一種特殊的數(shù)學(xué)模型，解決了符合這一特征的一類問題.

例1是這類旋轉(zhuǎn)圖形的一般情形，也符合這一模型的使用條件.如圖11，過點(diǎn)D作EF的平行線，交EG的延長線于點(diǎn)H,連接EC，HC，因為△EFG≌△HDG,得 到DH=EF,EG=HG.所以△BCE≌△DCH.所以△ECH是等腰直角三角形.從而得到EG=CG,EG⊥CG

圖11

在例1的解題過程中，可以從幾種特殊情況入手，尋找一般情形的解法，也能將一般情形的解法在其他特殊情形中應(yīng)用，從而體現(xiàn)了特殊化思想與一般化思想兩者的辯證統(tǒng)一.一方面，通過將一般性題目特殊化，去尋找一般化題目的求解方法；另一方面，通過將特殊性題目一般化，去解決這一類題目.

四、拓展應(yīng)用，解決一類問題

“怎樣解題表”的第四步提到：你還能在別的什么樣的題目中利用到這個結(jié)果或方法嗎？像例1類型的題目的解題思想和方法在其他許多題目上都能應(yīng)用到，例如，在如下題目中就有所體現(xiàn).

例2如圖12，在△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，求證：MD=ME,MD⊥ME.

圖12

由“怎樣解題表”的第一步“理解題目”，得到如下條件：（1）理解語言的陳述，未知量為MD=ME,MD⊥ME;已知量為△ABD和△ACE是等腰直角三角形，M是BC的中點(diǎn)；（2）深入理解題目的條件，即AD=BD;AE=EC;∠D=∠E=90°;∠DBA=∠BAD=∠EAC=∠ECA=45°;BM=MC.但是以上條件并不是在每個解題中都會應(yīng)用到，利用解題信息論的第一步“有用捕捉”，抓住關(guān)鍵條件BM=MC,BD=AD,AE=CE.

根據(jù)“怎樣解題表”的第二步“擬定方案”，擬定解題方案如下：根據(jù)題目條件和圖形，嘗試?yán)们懊娴臄?shù)學(xué)模型，構(gòu)建兩個全等的三角形，利用例1所展示的旋轉(zhuǎn)不變性問題，通過證明等腰直角三角性，得到MD=ME,MD⊥ME.針對以上解題方案，結(jié)合解題信息論第二步“有關(guān)提取”，需要提取判定三角形全等的條件、平行線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形三線合一有關(guān)定理和性質(zhì)，才能有效解決這道題目.

結(jié)合“怎樣解題表”的第三步“執(zhí)行方案”和解題信息論的第三步“信息間的有效組合”，得出解題方法如下：如圖13，過點(diǎn)B作EC的平行線，與EM的延長線交于點(diǎn)F，連接DF,DE，因為△EMC≌△FMB,得EC=BF和EM=FM.所以△BFD≌△AED.所以△DFE是等腰直角三角形，所以MD=ME,MD⊥ME.

圖13

最后，根據(jù)“怎樣解題表”的第四步，檢查已經(jīng)得到的解答，強(qiáng)調(diào)回顧，包括解題方案是否合理，解題思路是否正確等.解題信息論強(qiáng)調(diào)解答依然向我們輸入信息，表現(xiàn)為解后的探究.通過反思解題過程，提升自我監(jiān)控能力；反思解題結(jié)果，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)；反思解題方法，優(yōu)化思維品質(zhì)；反思解題實質(zhì)，促進(jìn)思維的發(fā)展.波利亞的“怎樣解題表”的第四步和解題信息論的解后探究正好詮釋了這樣一個道理：在解題教學(xué)中，教師更多的是要教會學(xué)生解題的方法和思想，而不是某道題的解法；每道題目的解決并不是學(xué)會解題的終點(diǎn)，而是學(xué)會解題的起點(diǎn).

解題教學(xué)要以學(xué)生的思維為起點(diǎn)，追求自然合理的解法.在數(shù)學(xué)解題活動中，教師與學(xué)生的認(rèn)識往往是不一樣的，不能把教師的解題方法直接灌輸給學(xué)生.文章利用波利亞解題四步驟和解題信息論三步曲從宏觀上與微觀上引導(dǎo)學(xué)生思考問題和尋找具體的解題方法，致力于拓展學(xué)生的思維空間，提升學(xué)生的思維能力，升華學(xué)生的思維境界，切實提高學(xué)生的解題能力.