概率分布假設檢驗中有效數(shù)據(jù)的重新分組

劉小寧 劉 岑 楊 帆 袁小會 陳 剛

(1.武漢軟件工程職業(yè)學院 湖北 武漢:430205；2.湖北輕工職業(yè)技術學院 湖北 武漢:430070)

探索鋼材機械性能參數(shù)的概率分布，是構建鋼結構可靠性設計方法的基礎工作[1]。

從概率論知識可知，鋼材機械性能參數(shù)的概率分布應是對鋼材機械性能參數(shù)無限有效試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計規(guī)律；從數(shù)理統(tǒng)計理論可知，工程界只能依據(jù)有限的有效試驗數(shù)據(jù)進行假設檢驗，研究鋼材機械性能參數(shù)概率分布[2-10]；因此，當有限的有效試驗數(shù)據(jù)數(shù)量并不充足時，對其進行合理分組是涉及到假設與檢驗是否吻合的重要問題，即合理分組是關系到鋼材機械性能參數(shù)的概率分布能否探索成功的關鍵[11-18]。

為此，文中基于概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識[19-20]，在有限的有效試驗數(shù)據(jù)數(shù)量并不充足時，對其進行合理分組進行研究，為探索鋼材機械性能參數(shù)的概率分布提供思路。基于奧氏體不銹鋼S30408超低溫屈服強度的60組有效試驗數(shù)據(jù)，對其概率分布進行了探索。

1 基本理論與方法

鋼材機械性能參數(shù)的概率分布研究包括三個方面，一是機械性能參數(shù)試驗數(shù)據(jù)的有效性，已在參考文獻[2-4]進行了研究。二是機械性能參數(shù)的分布規(guī)律，當有限的有效試驗數(shù)據(jù)數(shù)量充足時，其假設檢驗的基本方法見參考文獻[1，6-10]；當有限的有效試驗數(shù)據(jù)數(shù)量并不充足時，在假設檢驗時必須對其合理分組，如何合理分組是本文需要研究的重點。三是機械性能參數(shù)的分布參數(shù)，在已知機械性能參數(shù)分布規(guī)律的前提時，分布參數(shù)的計算方法已解決[1,19-20]。

當有限的有效試驗數(shù)據(jù)數(shù)量并不充足時，以鋼材機械性能參數(shù)R的正態(tài)分布假設檢驗為例，建立如下方法。

(1)當通過試驗測得鋼材機械性能參數(shù)R的n組有效試驗數(shù)據(jù)Ri(i=1，2，…，n)時，其平均值與精密度分別為：

(1)

(2)

(2)假設R的分布規(guī)律。假設機械性能參數(shù)R是符合正態(tài)分布的隨機變量。

(3)預分組并列表分組計算理論頻數(shù)。根據(jù)有效數(shù)據(jù)個數(shù)n，把有效試驗數(shù)據(jù)分為M個組[1]：

M=1+3.3lgn

(3)

并取整數(shù)。

正態(tài)分布隨機變量R的有效試驗數(shù)據(jù)Ri位于分組[a1，a2]，[a2，a3]，…，[aM，aM+1]內(nèi)的理論概率為：

式中，φ(·)為標準正態(tài)積分；a1=(Ri)min，aM+1=(Ri)max，(Ri)min、(Ri)max分別為Ri中的最小值與最大值。

(4)

對于n個有效試驗數(shù)據(jù)Ri，位于分組[aj，aj+1]內(nèi)的理論頻數(shù)為n×pj。

(4)列表試算分組的皮爾遜統(tǒng)計量并計算其之和。

第j個分組的實際頻數(shù)Nj與理論頻數(shù)n×pj差異的皮爾遜統(tǒng)計量為：

(5)

M個分組實際頻數(shù)與理論頻數(shù)差異的皮爾遜統(tǒng)計量之和為：

(6)

其檢驗條件為：若符合

(7)

則在顯著度為δ時，假設成立，否則存在分組不合理導致檢驗不符合假設的可能，需要重新進行合理分組，然后再次檢驗。

當重新分組后的組數(shù)為m，每組的實際頻數(shù)與理論頻數(shù)分別為Ni與n×pi，第i個分組的實際頻數(shù)Ni與理論頻數(shù)n×pi差異的皮爾遜統(tǒng)計量為：

(8)

m個分組實際頻數(shù)與理論頻數(shù)差異的皮爾遜統(tǒng)計量之和為：

(9)

其檢驗條件為：若符合

(10)

則在顯著度為δ時，假設成立，否則在現(xiàn)有條件下假設不成立。

本文取顯著度δ=0.05，所用的χ2系數(shù)見表1[1,19]。

表1 χ2系數(shù)

顯然，步驟(1)～(5)是現(xiàn)有的[1,14-15]，可稱為預分組檢驗，步驟(6)～(7)是在預分組檢驗基礎上補充完善，可稱為重新分組檢驗。

2 算例

2.1 有效試驗數(shù)據(jù)及其平均值與精密度

深冷容器常用奧氏體不銹鋼S30408制造，通過試驗，文獻[5]獲得了其屈服強度R在液氮溫度(-196℃)時的60組試驗數(shù)據(jù)，見表2，在雙側置信度為99%時這些試驗數(shù)據(jù)都是有效的[8]。將有效試驗數(shù)據(jù)代入式(1)與式(2)得到的其平均值與精密度一并列入表2。

表2 奧氏體不銹鋼超低溫屈服強度的60組試驗數(shù)據(jù)及統(tǒng)計

根據(jù)表2有效試驗數(shù)據(jù)，可探索奧氏體不銹鋼S30408屈服強度在液氮溫度時的分布規(guī)律。

2.2 分布規(guī)律的兩種假設檢驗方法

假設奧氏體不銹鋼S30408屈服強度R屈服強度在液氮溫度時符合正態(tài)分布。

2.2.1 預分組檢驗

對于60組有效試驗數(shù)據(jù)，由于1+3.3lg60=6.87，因此將其分為7個組，每個分組的實際頻數(shù)Nj、理論概率pj、理論頻數(shù)n×pj、反映每個分組實際頻數(shù)與理論頻數(shù)差異的皮爾遜統(tǒng)計量及其之和見表3；7個組的自由度為F=7-1-2=4，取顯著度δ=0.05，由表1可知，

2.2.2 重新分組檢驗

因此，可采用合并表3第1組與第2組的方法重新分組檢驗。重新分組后的組數(shù)m=6，第i個分組的實際頻數(shù)Ni、理論概率pi、理論頻數(shù)n×pi、以及反映每個分組實際頻數(shù)與理論頻數(shù)差異的皮爾遜統(tǒng)計量及其之和見表4。

表3 預分組檢驗的皮爾遜統(tǒng)計量

表4 重新分組檢驗的皮爾遜統(tǒng)計量

3 討論

3.1 預分組檢驗是重新分組檢驗的基礎

預分組檢驗要求有效試驗數(shù)據(jù)的數(shù)量必須充足，當數(shù)量不足時，某個分組的實際頻數(shù)與理論頻數(shù)可能會相差比較大，由式(5)與式(6)可知，該組的皮爾遜統(tǒng)計量與所有分組的皮爾遜統(tǒng)計量之和也大，會造成皮爾遜統(tǒng)計量之和不滿足檢驗條件式(7)，解決此問題的方法有3個：

其一是在不增加有效試驗數(shù)據(jù)的數(shù)量時改變假設再檢驗。

其二是在不改變假設，增加有效試驗數(shù)據(jù)的數(shù)量后再檢驗。

其三是在不增加有效試驗數(shù)據(jù)數(shù)量并且不改變假設時，基于預分組的計算結果，找出皮爾遜統(tǒng)計量大的分組，如果通過合并其相鄰兩組或者一組，達到減小實際頻數(shù)與理論頻數(shù)差異的效果，則重新分組，按式(8)計算每組的皮爾遜統(tǒng)計量，按式(9)計算所有分組的皮爾遜統(tǒng)計量之和，再按式(10)檢驗，若通過檢驗，表明假設成立。若不能通過，可按其一或者其二的方法處理。

比較上述三種方法可知，重新分組檢驗在技術上可行，在經(jīng)濟上較為合理。顯然，重新分組檢驗不但以預分組檢驗為基礎，而且是其補充完善。

3.2 重新分組檢驗對有效試驗數(shù)據(jù)數(shù)量的最低要求

較多的有效試驗數(shù)據(jù)對鋼材機械性能參數(shù)概率分布的假設檢驗有利。當然，在滿足要求的前提下，較少的有效試驗數(shù)據(jù)數(shù)量在經(jīng)濟上更為合理。

由于重新分組檢驗的自由度f=m-1-2≥1，因此，重新分組的組數(shù)m≥4；考慮預分組組數(shù)在重新分組后至少減少了1，則預分組組數(shù)M≥5，由式(3)可得到重新分組檢驗對有效試驗數(shù)據(jù)數(shù)量的最低要求：n≥17。

當然，對于預分組可通過假設檢驗的情況，要求分組組數(shù)M≥4，由式(3)可得到其對有效試驗數(shù)據(jù)數(shù)量的最低要求：n≥9。

4 結語

1)針對數(shù)量有限的鋼材機械性能參數(shù)有效試驗數(shù)據(jù)，應用數(shù)理統(tǒng)計知識，在預分組檢驗的基礎上，建立了重新分組的假設檢驗方法。

2)基于60組有效試驗數(shù)據(jù)，利用重新分組假設檢驗方法可知，在顯著度為0.05時，奧氏體不銹鋼S30408在液氮溫度時的屈服強度是基本符合正態(tài)分布的隨機變量。