21世紀(jì)新建混凝土壩的混凝土力學(xué)參數(shù)經(jīng)驗公式擬合優(yōu)化

王 志 周 勇 黃耀英 何金文

(三峽大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院， 湖北 宜昌 443002)

混凝土是一種抗壓強度高、抗拉強度較低的脆性材料．大壩混凝土是一種體積大、含筋率低、施工期水化熱大、運行期受外界環(huán)境影響大、易產(chǎn)生裂縫的材料．充分掌握混凝土材料力學(xué)性能是防止和控制大壩混凝土裂縫的必要條件之一．目前，獲取大壩混凝土力學(xué)性能參數(shù)主要有3種途徑：一是在室內(nèi)或現(xiàn)場開展一系列混凝土力學(xué)性能測試，獲取力學(xué)性能參數(shù)；二是基于大壩原型觀測資料反演推求混凝土力學(xué)參數(shù)；三是基于大量試驗資料，采用數(shù)理統(tǒng)計擬合大壩混凝土力學(xué)性能參數(shù)經(jīng)驗公式，估算混凝土力學(xué)參數(shù)．由于混凝土的力學(xué)試驗難度大、耗時長、成本高，因此通過有效擬合現(xiàn)有大壩混凝土力學(xué)參數(shù)經(jīng)驗公式，可為一些試驗條件受限、無法開展混凝土力學(xué)性能試驗的中小型水電工程提供混凝土力學(xué)參數(shù)估計值．大壩混凝土力學(xué)參數(shù)經(jīng)驗公式具有重要的工程參考價值．

20世紀(jì)90年代，朱伯芳院士[1-2]基于大量試驗資料，采用數(shù)理統(tǒng)計的方法對混凝土軸向抗拉強度與抗壓強度的關(guān)系、混凝土極限拉伸與抗拉強度、抗壓強度的關(guān)系以及彈性模量與抗壓強度的關(guān)系進(jìn)行了經(jīng)驗公式擬合．2000年之前，國內(nèi)外學(xué)者常用指數(shù)式混凝土彈性模量經(jīng)驗公式[1]，指數(shù)式的彈性模量經(jīng)驗公式與試驗資料誤差較大，朱伯芳院士[3]曾提出混凝土彈性模量的雙曲線、復(fù)合指數(shù)經(jīng)驗公式，并指出對于常規(guī)混凝土，復(fù)合指數(shù)經(jīng)驗公式與試驗資料吻合效果較好．近年來碾壓混凝土的應(yīng)用漸多，在分析實際工程資料后朱伯芳院士[3]提出，因碾壓混凝土早期彈性模量發(fā)展較慢，雙曲線經(jīng)驗公式與試驗資料吻合得更好一些．U.S.Bureau of Reclamation[4]針對常態(tài)混凝土給出了極限拉伸值的雙曲線經(jīng)驗公式．姜福田[5]針對觀音閣碾壓混凝土給出極限拉伸值的雙曲線經(jīng)驗公式．朱伯芳院士[1]給出極限拉伸值的修正對數(shù)經(jīng)驗公式與雙指數(shù)經(jīng)驗公式，經(jīng)驗公式計算值與試驗值符合較好．但是現(xiàn)有經(jīng)驗公式主要是基于2000年之前修建的混凝土壩的混凝土力學(xué)參數(shù)擬合得到的．隨著筑壩技術(shù)的不斷提高(如水膠比越來越低，外加劑和摻合料的廣泛使用等)，混凝土材料性能相應(yīng)大幅提升，上述經(jīng)驗公式對21世紀(jì)新建混凝土壩壩體混凝土力學(xué)參數(shù)的適應(yīng)性有待檢驗．

本文搜集了溪洛渡[6]、錦屏一級[7]、向家壩[8]、拉西瓦[9]、小灣[10]、構(gòu)皮灘[11]、桐子林[12]共7個2000年之后修建的典型混凝土壩壩體混凝土的力學(xué)性能參數(shù)，包括抗壓強度、軸向抗拉強度、極限拉伸變形、彈性模量的數(shù)據(jù)資料，對現(xiàn)有的典型混凝土軸向抗拉強度與抗壓強度、極限拉伸與抗拉強度、極限拉伸與抗壓強度、彈性模量與抗壓強度的經(jīng)驗公式的適用性進(jìn)行了檢驗，結(jié)合數(shù)理統(tǒng)計方法及原有經(jīng)驗公式框架，進(jìn)行了經(jīng)驗公式的擬合優(yōu)化，得到了更符合21世紀(jì)新建混凝土壩壩體混凝土的力學(xué)參數(shù)經(jīng)驗公式．

1 混凝土軸向抗拉強度經(jīng)驗公式擬合

中國鋼筋混凝土設(shè)計規(guī)范(TJ10-74)和歐洲混凝土委員會建議的混凝土軸向抗拉強度與抗壓強度的關(guān)系表達(dá)式為

Rt=0.232Rc2/3

(1)

式中，Rt為抗拉強度(MPa)；Rc為抗壓強度(MPa)．

20世紀(jì)90年代，朱伯芳院士根據(jù)中國水利水電科學(xué)院的試驗數(shù)據(jù)，將公式修正為：

Rt=0.332Rc0.60

(2)

根據(jù)前述7個典型工程混凝土力學(xué)性能資料，將收集到的77組混凝土抗壓強度與軸心抗拉強度的數(shù)據(jù)組成一個樣本，將樣本中的抗壓強度的數(shù)據(jù)逐一代入朱伯芳院士提出的經(jīng)驗公式中計算軸心抗拉強度，經(jīng)驗公式計算值與對應(yīng)的實測值或試驗值對比，計算相對誤差，繪制了相對誤差的直方圖正態(tài)分布圖如圖1所示，從圖中可看出誤差相對集中在5.97%～23.06%區(qū)間段，占據(jù)了樣本總量的72.72%，平均誤差為15.60%．

圖1 經(jīng)驗公式相對誤差直方圖正態(tài)分布圖

對前述7個典型工程的混凝土力學(xué)性能資料，借用式(1)和式(2)的基本框架，運用Matlab進(jìn)行擬合，擬合后的軸向抗拉強度與抗壓強度的關(guān)系曲線如圖2所示，軸向抗拉強度與抗壓強度新的表達(dá)式為：

Rt=0.119Rc0.883

(3)

圖2 混凝土軸向抗拉強度與抗壓強度的關(guān)系

由圖2可以看出：經(jīng)驗公式與擬合公式都能反映出軸向抗拉強度與抗壓強度的分布規(guī)律，但是大多數(shù)軸向抗拉強度實測或試驗值較均勻地分布在擬合公式曲線兩側(cè)，而經(jīng)驗公式曲線在數(shù)據(jù)點的兩端擬合較差．朱伯芳院士所提出的經(jīng)驗公式主要是基于20世紀(jì)修筑的大壩的數(shù)據(jù)，混凝土水灰比普遍偏高，原經(jīng)驗公式主要反映高水灰比混凝土的力學(xué)性能，而本文選取的21世紀(jì)新建的工程水膠比逐漸降低，擬合公式主要反映低水膠比混凝土的力學(xué)性能．結(jié)合式(2)、式(3)及圖2可看出，當(dāng)齡期較小時，高水膠比的混凝土抗拉強度隨抗壓強度的增長關(guān)系比低水膠比的混凝土更快，當(dāng)齡期較大時，混凝土抗壓強度較大，低水膠比的混凝土抗拉強度與抗壓強度的增長關(guān)系比高水膠比的混凝土快．

擬合公式的相對誤差與朱伯芳院士所給的經(jīng)驗公式的相對誤差對比如圖3所示．系數(shù)優(yōu)化前，樣本相對誤差的均值為15.60%，標(biāo)準(zhǔn)差為0.139，系數(shù)優(yōu)化后，樣本相對誤差的均值為11%，標(biāo)準(zhǔn)差為0.102 5，說明擬合后的公式一定程度上能降低誤差，計算結(jié)果更加接近實際值．

圖3 系數(shù)修改前后的相對誤差

2 混凝土極限拉伸變形經(jīng)驗公式擬合

混凝土的極限拉伸變形經(jīng)驗公式常與抗拉強度或抗壓強度有關(guān)，以下分別進(jìn)行擬合優(yōu)化．

2.1 混凝土極限拉伸變形與抗拉強度經(jīng)驗公式擬合

極限拉伸變形εt隨著抗拉強度Rt的增加而增加．因此，一些文獻(xiàn)建議采用線性公式來表示混凝土極限拉伸變形與抗拉強度的關(guān)系

εt=a+bRt

(4)

朱伯芳院士通過理論分析指出該公式與實際情況不符，并根據(jù)大量的試驗資料，提出混凝土極限拉伸變形與抗拉強度的關(guān)系式為[1]

εt=0.55Rt0.5·10-4

(5)

式中，εt為極限拉伸；Rt為抗拉強度(MPa)．

依據(jù)上述收集的7個典型工程混凝土力學(xué)性能的數(shù)據(jù)資料，對朱伯芳院士提出的經(jīng)驗公式進(jìn)行驗算，經(jīng)驗公式計算值與實際值相對誤差的直方圖正態(tài)分布圖如圖4所示，誤差主要集中分布在0.20%～17.42%，占總樣本的74.35%，樣本平均誤差為12.59%，誤差分布規(guī)律與正態(tài)分布符合程度較高．

圖4 相對誤差直方圖正態(tài)分布圖

通過Matlab數(shù)據(jù)擬合的方法，根據(jù)收集到的6個典型工程混凝土力學(xué)性能的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行回歸擬合，得到極限拉伸與抗拉強度的關(guān)系曲線如圖5所示，根據(jù)擬合結(jié)果得到極限拉伸變形與軸拉強度新的表達(dá)式

εt=0.657Rt0.422·10-4

(6)

圖5 極限拉伸與抗拉強度的關(guān)系

從圖5可看出：極限拉伸變形與抗壓強度之間具有較明顯的規(guī)律性；經(jīng)驗公式與擬合公式曲線都能反映出極限拉伸變形與抗拉強度的變化關(guān)系，但新擬合公式居于數(shù)據(jù)點中部，而原經(jīng)驗公式偏于數(shù)據(jù)的下限值．結(jié)合式(5)、式(6)以及圖5可得出，隨著水膠比逐漸降低，混凝土極限拉伸隨著抗拉強度的增大而增大；相同抗拉強度條件下，低水膠比的混凝土極限拉伸比高水膠比的大，說明降低水膠比在一定程度上能增強混凝土的抗裂性．

圖6反映了系數(shù)優(yōu)化前后，各工程的相對誤差：系數(shù)優(yōu)化前誤差均值為12.59%，優(yōu)化后均值降低為9.54%；標(biāo)準(zhǔn)差優(yōu)化前為0.0909，進(jìn)行系數(shù)優(yōu)化后降低為0.0766．系數(shù)優(yōu)化后相關(guān)性更高．

圖6 系數(shù)優(yōu)化前后相對誤差對比

2.2 混凝土極限拉伸變形與抗壓強度的關(guān)系

對于混凝土極限拉伸變形與抗壓強度的關(guān)系，朱伯芳院士將抗拉強度與抗壓強度的關(guān)系式(2)代入極限拉伸與抗拉強度的關(guān)系式(5)中，得到極限拉伸與抗壓強度的關(guān)系式為

εt=0.317Rc0.30·10-4

(7)

式中，εt為極限拉伸；Rc為抗壓強度(MPa)．

依據(jù)上述收集的7個典型工程混凝土力學(xué)性能的數(shù)據(jù)資料，對朱伯芳院士提出的經(jīng)驗公式進(jìn)行驗算，經(jīng)驗公式計算值與實際值對比，相對誤差的直方圖正態(tài)分布圖如圖7所示，誤差主要集中在3.41%～6.80%、10.18%～20.34%兩個期間段，平均誤差為10.61%．

圖7 相對誤差直方圖正態(tài)圖

采用與前面相同的擬合方法，對上述統(tǒng)計的7個典型工程混凝土的資料重新進(jìn)行回歸擬合，極限拉伸與抗拉強度的關(guān)系如圖8所示，根據(jù)擬合結(jié)果得到極限拉伸與抗壓強度新的關(guān)系式

εt=0.242Rc0.406·10-4

(8)

從圖8可以看出：極限拉伸變形與抗壓強度有較明顯的規(guī)律性，隨著抗壓強度的增大，極限拉伸也在增大．原經(jīng)驗公式和擬合公式都能反映出極限拉伸與抗壓強度的變化關(guān)系，但是離散點前者主要分布在經(jīng)驗公式的曲線上方，而后者較均勻的分布在擬合公式對應(yīng)的曲線兩側(cè)，經(jīng)驗公式大致代表了極限拉伸的下限值，而擬合公式大致代表極限拉伸的平均值．

圖8 混凝土極限拉伸與抗壓強度的關(guān)系

結(jié)合式(7)、式(8)以及圖8可得出，隨著水膠比逐漸降低，混凝土極限拉伸隨著抗壓強度的增大而增大；相同抗壓強度條件下，低水膠比的混凝土極限拉伸比高水膠比的大，說明降低水膠比在一定程度上能增強混凝土的抗裂性．

對樣本總體而言，系數(shù)優(yōu)化前誤差均值為10.61%，優(yōu)化后均值降低為8.32%，圖9反映了系數(shù)優(yōu)化前后，各工程的相對誤差，標(biāo)準(zhǔn)差優(yōu)化前為0.078 3，優(yōu)化后降低為0.053 7；極差由27.08%降為20.76%，顯然，參數(shù)優(yōu)化后新的經(jīng)驗公式更能代表離散點的變化規(guī)律．

圖9 系數(shù)優(yōu)化前后相對誤差對比

3 混凝土彈性模量經(jīng)驗公式擬合

中國建筑科學(xué)研究院指出[1]建議的混凝土彈性模量與抗壓強度的關(guān)系為

E=105/(2.2+33/Rc)

(9)

式中，E為彈性模量(MPa)；Rc為抗壓強度(MPa)．

基于上述收集的典型工程混凝土的數(shù)據(jù)資料，對中國建筑科學(xué)研究院給出的經(jīng)驗公式，計算值與實際值對比，繪制了經(jīng)驗公式誤差直方圖正態(tài)分布圖如圖10所示，經(jīng)驗公式計算出的結(jié)果與實際值偏差較大，主要集中在12.51%～20.85%，平均誤差為15.72%．

圖10 相對誤差直方圖正態(tài)圖

通過Matlab數(shù)據(jù)擬合，得到軸向抗拉強度與抗壓強度新的表達(dá)式(10)，彈性模量與抗壓強度的關(guān)系曲線如圖11所示．

E=105/(2.03+29.66/Rc)

(10)

從圖11中可看出，抗拉強度逐漸增加，彈性模量也逐漸增加，但彈性模量數(shù)據(jù)的離散程度較高，擬合公式比原經(jīng)驗公式略微接近平均值，但優(yōu)化效果并不顯著．離散程度較高的主要原因有：納入統(tǒng)計的彈性模量數(shù)據(jù)是室內(nèi)試驗所得，為了減小室內(nèi)試驗難度，通常把大骨料篩去，室內(nèi)試驗與實際配合比不一致，試驗結(jié)果偏大；Matlab數(shù)據(jù)擬合方法的原理是最小二乘法，只能保證誤差的平方和最小，不能具體描述離散程度，所以擬合公式計算值離散程度依然很高；公式中的參數(shù)為固定值，無法反映如齡期、級配這些可變因素．

圖11 彈性模量與抗壓強度的關(guān)系

結(jié)合式(9)、式(10)及圖11可得出，隨著水膠比逐漸降低，混凝土彈性模量隨著抗壓強度的增大而增大；相同抗壓強度條件下，低水膠比的混凝土彈性模量比高水膠比的大．圖12反映了系數(shù)優(yōu)化前后各工程的相對誤差對比情況．

圖12 系數(shù)優(yōu)化前后誤差對比

4 結(jié) 語

基于經(jīng)驗公式估算是快速獲取混凝土力學(xué)性能的重要途徑，本文基于21世紀(jì)新建的7個典型混凝土壩工程力學(xué)性能參數(shù)數(shù)據(jù)，對現(xiàn)有的混凝土力學(xué)參數(shù)經(jīng)驗公式的適用性進(jìn)行了檢驗，結(jié)合數(shù)理統(tǒng)計方法對經(jīng)驗公式參數(shù)進(jìn)行了擬合優(yōu)化，具體結(jié)論如下：

1)擬合優(yōu)化后的混凝土軸向抗拉強度與抗壓強度關(guān)系式為Rt=0.119Rc0.883，與常用經(jīng)驗公式Rt=0.332Rc0.60相比，樣本相對誤差均值由15.60%下降至11%．

2)混凝土極限拉伸與抗拉強度、抗壓強度的關(guān)系，朱伯芳院士提出分別用εt=0.55Rt0.5·10-4和εt=0.317Rc0.30·10-4表示，擬合后的公式為εt=0.657Rt0.422·10-4、εt=0.242Rc0.406·10-4，原經(jīng)驗公式大致代表極限拉伸的下限值，而擬合后的公式大致代表平均值．

3)混凝土彈性模量與抗壓強度的關(guān)系，中國建筑科學(xué)研究院給出E=105/(2.2+33/Rc)，擬合后的公式為E=105/(2.03+29.66/Rc)，彈性模量離散程度較大，擬合公式比原經(jīng)驗公式更接近平均值，但優(yōu)化效果并不顯著．

4)早齡期，低水膠比的混凝土抗拉強度隨抗壓強度增長的增長率比高水膠比的大；晚齡期，低水膠比的混凝土抗拉強度隨抗壓強度增長的增長率比高水膠比的大．隨著水膠比的降低，混凝土極限拉伸和彈性模量均變大，混凝土的塑性增強，說明降低水膠比在一定程度上能增強混凝土的抗裂性