基于點擴散函數估計長曝光大氣湍流圖像復原

徐丹青，安博文，趙明

（上海海事大學信息工程學院，上海 201306）

0 引言

大氣湍流退化圖像恢復技術是在遙感、天文觀測及遠程監(jiān)視領域中的重要步驟之一。由于大氣環(huán)境中的湍流無處無在，因此光學成像系統(tǒng)的成像效果受到極大的影響。

根據成像系統(tǒng)曝光的時間長短，大氣湍流退化圖像大致可分為兩類：長曝光大氣湍流圖像和短曝光大氣湍流圖像。長曝光大氣湍流圖像的退化特征為整體模糊，退化點擴散函數近似為高斯模型。短曝光大氣湍流圖像的退化特征為畸變和光照不均勻。

在自然條件下，我們一般很難獲取清晰圖像的先驗知識和退化點擴散函數。所以估計點擴散函數是一個復雜的問題。

本文中以大視角、遠距離條件下的長曝光大氣湍流退化圖像為研究對象，提出了一種點擴散函數的估計方法。首先，根據高斯函數模型建立長曝光大氣湍流退化圖像的點擴散函數框架，然后，通過對自然圖像的頻譜特征分析，建立了近似頻譜原點對稱的模型，在該模型的基礎上，結合退化圖像的頻譜構建清晰圖像的頻譜，再通過改進擬合方式獲得了點擴散函數的參數，最后利用維納濾波獲得了復原圖像。

1 點擴散函數估計方法

圖像退化模型可表示為如下：

式中：g（x,y）為退化圖像；f（x,y）為初始圖像；h（x,y）為大氣湍流的點擴散函數，將公式（1）轉換到頻域上，即可表示為：

式中：G、H、F、N 分別為 g、h、f、n 的傅里葉變換。

當光學成像系統(tǒng)的曝光時間較長比如達到幾秒至幾十秒，則記錄的是一個時間平均像，即為長曝光大氣湍流退化圖像，其傳遞函數H（u,v）可表示為：

波前相位空間結果函數可表示為：

r0為大氣相干長度，將波前相位空間結果函數（4）代入式（3）可得：

將公式（6）代入公式（5）中，可以得到基于r0的長曝光退化函數為：

進一步簡化可得到：

由上式可以看出，長曝光大氣湍流退化系統(tǒng)可以看成是一個高斯分布，α是由大氣介質中湍流強度等環(huán)境因素決定，β是長曝光大氣湍流退化系統(tǒng)的參數。

由公式（2）各個分量分別取模，再將公式兩邊分別除以max（ ||G(u,v)）以進行歸一化，可得到：

假設環(huán)境中的噪聲對成像系統(tǒng)的影響較小（忽略噪聲影響）且滿足下列條件：

則頻譜歸一化模型可以近似看成：

將推導的長曝光大氣湍流退化系統(tǒng)的傳遞函數（7）代入（13），然后再將兩邊取自然對數得：

因為原圖像和大氣湍流的點擴散函數的頻譜具有對稱性，所以可讓u=0，可得到如下結果：

只要得到α的值就可以計算出點擴散函數，因此，獲取點擴散函數的關鍵就在于構建ln ||F'(0,v)。APEX算法將ln ||F'(0,v)項看作常數，研究表明其取值在（2,6）范圍內效果最佳。本文針對于復雜背景的自然圖像采用了“近似頻譜原點對稱”的模型對ln ||F'(0,v)進行充構建，一次來估計點擴散函數。

2 復雜背景下遠距離自然圖像大氣湍流退化前后頻譜特征

研究人員在分析遠距離自然圖像頻譜特征的過程中得出一個統(tǒng)計規(guī)律，即在自然圖像的傅里葉變換空間坐標軸上，如果采用雙對數坐標顯示，自然圖像的頻譜最佳擬合曲線有著相似的斜率。

本文選取的自然圖像是成像系統(tǒng)在遠距離條件下獲取的，具有背景復雜，紋理信息豐富，幾何線條多樣化的特點，其中圖1的（a）為清晰的自然圖像，（b）為清晰圖像頻譜取用正半軸數據且在雙對數坐標系下的顯示。根據頻譜可發(fā)現，中低頻段幾乎是斜線下降。

圖1 清晰圖像及頻譜

根據前文的分析，由于長曝光的大氣湍流退化過程可以表示為清晰圖像和點擴散函數的卷積，因此本文對此類退化過程進行模擬。

圖2位遠距離自然圖像在長曝光大氣湍流退化前后的頻譜對比。

其中（a）為清晰圖像，（b）為退化后的圖像。經過大量模擬實驗可知，經過大氣湍流后的退化圖像，其頻譜要整體低于清晰圖像，且高頻部分變化更加明顯，遠距離拍攝的圖像，其頻譜在退化之前的中低頻段幾乎為一條直線，類似一個軸對稱三角形。

圖2 退化前后對比

經過前文的分析可知，在遠距離條件下獲取的自然圖像，其頻譜特征具有很大的相似性。通過對比退化前后的圖像頻譜特征，就可以通過退化圖像頻譜來恢復出清晰圖像頻譜。

3 頻譜模型重建和點擴散函數估計

3.1 頻譜模型重建

在取 β=5 6，的情況下，可以通過公式（15）估計出α的值，但要想獲得點擴散函數的參數α，還必須要知道退化之前的清晰圖像頻譜ln ||F'(0,v)。由于自然圖像在退化前后的頻譜在高頻部分變化不明顯，在中低頻的部分被壓低，且在遠距離獲取的自然圖像頻譜在中低頻段幾乎為直線，所以我們可以利用這些特點重建清晰圖像頻譜ln ||F'(0,v)，以此來估計α的值。

圖3所示為長曝光大氣湍流退化的自然圖像頻譜，我們假設圖像的尺寸為2M×2N，我們用圖中所示的直線來表示ln ||F'(0,v)中低頻段部分，由于圖像頻譜關于坐標軸原點對稱，所以我們只需要關心0＜v＜N部分。

假設直線定點和右端點分別為A和B，根據退化圖像獲取直線AB的數據，假設A，B兩點的分別為直線AB方程為y=ax+b,兩點坐標可表示為：

圖3 頻譜重建

在上式中：參數n1，n2主要用于確定點A和點B，在本文的研究背景下，我們取n1≥0，n2≤10。為了保證重建過后的清晰圖像頻譜要整體高于退化圖像的頻譜，我們設置參數σ1≥-1和σ2≤1。得出的點A和點B的坐標確定直線AB的方程,這樣就可以確定AB上的每一個點的值。按照公式（19）就可以確定清晰圖像頻譜

圖4 選取有效區(qū)間

3.2 點擴散函數估計

（1）傳統(tǒng)最小二乘法

最小二乘方擬合要求各個誤差的平方和最小即：

其中Δmin代表誤差值δi平方之和的最小值。

上式求出α的值可以比較好地擬合實驗數據，此種方法即為傳統(tǒng)最小二乘法原理。

（2）曲線擬合方法改進

對于公式（21）,重新定義其最佳擬合應為：

對上式求導得：

由公式（24）求出α，從而y=-α ||x2β為改進的曲線擬合結果。

4 圖像復原步驟及結果分析

4.1 實驗步驟

（1）獲取長曝光大氣湍流退化圖像；（2）分析退化函數，并根據分析，取 β=5 6；（3）根據頻譜特征重建模型ln ||F'(0,v)并估計出參數α；（4）使用維納濾波復原。

4.2 圖像復原結果

本實驗選取了三組圖像，圖5為輸入的三組退化圖像，圖6分別為APEX算法復原的圖像，其估計的參數α=0.000587，圖7分別為本文提出的改進算法結合改進擬合算法估計點擴散函數的復原圖，其估計的參數α=0.000723。

圖5 退化圖像

圖6 APEX算法

圖7 本文改進算法

4.3 結果評價

在對實驗結果進行分析的過程當中我們使用灰度平均梯度值（GMG）和拉普拉斯梯度值（LS）最為客觀的評價標準。GMG是求圖像中各個像素點在x和y方向上的灰度差值的均值平方和，GMG值越大表明圖像的紋理越清晰，圖像的質量越好。LS是圖像中每個像素在3×3的領域內在拉普拉斯算子作用下歸一化均值。LS值越大表明圖像的輪廓越清晰，圖像的質量就越好。GMG和LS的計算公式如下：

式中：g為待評價圖片，尺寸為M×N。

實驗結果顯示：本文的算法可以較為準確地估計出點擴散函數，在主觀評價上有較好的視覺效果。表1和表2進一步表明在結合改進的擬合算法的情況下，本文的算法可更進一步復原出遠距離長曝光大氣湍流圖像。

表1 退化圖像和復原圖像的GMG值

表2 退化圖像和復原圖像LS值

5 結語

本文針對遠距離長曝光大氣湍流退化的自然圖像進行，分析了其退化點了擴散函數的一般形式，并通過分析其退化前后的頻譜特征，估計出了其點擴散函數參數，通過對擬合算法的改進，在主觀上獲得了較好的視覺效果，在客觀評價上也證實了其有效性。