《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程教學(xué)與MATLAB應(yīng)用

徐幼專，周后卿

（1.邵陽(yáng)廣播電視大學(xué)，邵陽(yáng) 422000；2.邵陽(yáng)學(xué)院理學(xué)院，邵陽(yáng) 422000）

0 引言

眾所周知，《復(fù)變函數(shù)與積分變換》是工科類較為重要的基礎(chǔ)課程之一，其重要的原因不僅在于可以學(xué)到一些復(fù)變函數(shù)知識(shí)，為其他專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，如《電子電路》、《自動(dòng)控制原理》、《信號(hào)處理》等，都是以該課程的數(shù)學(xué)方法為解決問題的重要工具。通過這門課程的學(xué)習(xí)目的是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)解決問題的能力。數(shù)學(xué)能力是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中發(fā)展起來的，并且主要是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中表現(xiàn)出來的比較穩(wěn)定的心理特征。然而隨著高校擴(kuò)招，生源質(zhì)量參差不齊，給班級(jí)教學(xué)造成許多困難。就《復(fù)變函數(shù)與積分變換》而言，由于學(xué)生沒有學(xué)好高等數(shù)學(xué)，所以在學(xué)習(xí)這門課程時(shí)感到很艱難，使得這門課的掛科率居高不下。怎樣才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，提高復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)質(zhì)量，許多教育工作者做了深入的研究，他們從各個(gè)方面進(jìn)行了探討（參考文獻(xiàn)[1-7]），并且形成了一些共同的認(rèn)識(shí)；對(duì)于《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程的改革，也是見仁見智（參考文獻(xiàn)[8-10]）。然而，教學(xué)探索和改革是一個(gè)永恒的話題，永無止境。結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剛€(gè)人對(duì)這門課程的一些看法。

1 對(duì)《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程的新認(rèn)識(shí)

目前，有相當(dāng)一部分教師，在講授《復(fù)變函數(shù)與積分變換》時(shí)，教學(xué)模式還是側(cè)重以理論推導(dǎo)為主，附帶講積分方法應(yīng)用。忽視了這門課的具體應(yīng)用背景，容易導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)目的不明，不知如何利用《復(fù)變函數(shù)與積分變換》的方法解決工程技術(shù)中的問題，因而容易喪失學(xué)習(xí)興趣和信心。

在教學(xué)時(shí)候，要強(qiáng)調(diào)《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程的實(shí)用性。復(fù)變函數(shù)與積分變換的理論和方法在數(shù)學(xué)中有著獨(dú)特的作用，例如，在《高等數(shù)學(xué)》的曲線積分這個(gè)章節(jié)，積分什么時(shí)候與路徑L無關(guān)，只與曲線L的起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)？高數(shù)教材介紹了一個(gè)定理，即當(dāng)時(shí)，積分與路徑無關(guān)。而在復(fù)變函數(shù)中同樣有類似的性質(zhì)，當(dāng)函數(shù)在這個(gè)曲線L所圍的單連通區(qū)域內(nèi)解析時(shí)，曲線積分與路徑L無關(guān)，只和L的起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)。因此，在高等數(shù)學(xué)中遇到求積分的問題時(shí)，可以把這個(gè)實(shí)積分轉(zhuǎn)化求復(fù)積分，特別是當(dāng)積分路徑為圓時(shí)，用復(fù)積分方法顯得更為簡(jiǎn)單。再則，自然科學(xué)和工程技術(shù)中的一些問題，例如流體力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)、彈性理論中的平面問題，等等，也可以用復(fù)變函數(shù)中的方法去解決。在信號(hào)處理、模擬電路等內(nèi)容中，更多地利用傅里葉變換與拉普拉斯變換來解決。

這門課程雖然重要，但對(duì)于不同專業(yè)的學(xué)生來說，要求不盡相同。因此，教學(xué)內(nèi)容的改革要貫徹“必需”和“夠用為度”的原則。從應(yīng)用技術(shù)性人才培養(yǎng)目標(biāo)出發(fā)，要以應(yīng)用為目的，以必須夠用為“度”，把培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力與素養(yǎng)放在首位。為此，需要對(duì)這門課程的內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜∩崤c更新。教學(xué)內(nèi)容上必須緊緊結(jié)合專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)，但要保證教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性，教學(xué)上不能過分形式化。

2 對(duì)《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程改革的思考

2.1 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

學(xué)習(xí)的敵人是驕傲、是滿足、是厭惡。許多學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不好，不是由于智力上的原因，而是主觀因素造成的，也就是沒有主動(dòng)學(xué)習(xí)的愿望，對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)缺乏興趣。研究表明，興趣是最好的老師，學(xué)習(xí)興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的強(qiáng)大內(nèi)驅(qū)力。學(xué)生一旦有了學(xué)習(xí)興趣，注意力就高度集中持久，思維就會(huì)異常活躍，學(xué)習(xí)活動(dòng)就會(huì)隨之變得愉悅，就能高效率地掌握知識(shí)技能；在某種意義上說，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣比智力因素作用更大。反之，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)不感興趣，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)習(xí)動(dòng)力缺乏或動(dòng)力水平降低，甚至厭學(xué)。試想，一個(gè)人本來對(duì)數(shù)學(xué)興趣不大，甚至感到厭惡，上課將它棄之一邊，置之不理，不屑一顧；課余更不會(huì)花時(shí)間和精力去看書、去思考，這種狀況還能學(xué)好數(shù)學(xué)嗎？加之大學(xué)階段的學(xué)習(xí)方法有別于中學(xué)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自學(xué)為主，側(cè)重于對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理以及思想方法的理解和掌握；教師只是在上課時(shí)將問題提出，并適當(dāng)?shù)刂赋鼋鉀Q問題的方式途徑，回頭復(fù)習(xí)的機(jī)會(huì)是很少的。因此，如何引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，是每位教師不能不思考的問題。學(xué)生的厭學(xué)情緒倒逼我們教師必須采取有效的教學(xué)方法，改變傳統(tǒng)教學(xué)模式，運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)手段，采用探究、情境、合作等多種教學(xué)形式，吸引學(xué)生的注意力。

2.2 講清概念原理

中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師往往對(duì)教學(xué)的方法是非常重視的，他們用非常生動(dòng)而且形象的語言吸引學(xué)生，從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。課堂上采取邊講邊練的方式，每堂課的教學(xué)內(nèi)容并不多，目的就是讓學(xué)生充分掌握所學(xué)的知識(shí)。而在大學(xué)的數(shù)學(xué)課堂上,每堂課的教學(xué)內(nèi)容很多，又多采用“滿堂灌”的教學(xué)方法。教師并不要求學(xué)生立即掌握所學(xué)的知識(shí)，而是注重對(duì)學(xué)生邏輯思維能力和綜合運(yùn)用能力的培養(yǎng)。正是這種差異,許多新生不能夠馬上適應(yīng)大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中遇到了較大的困難。所以，在復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)時(shí)，教師也要注重教學(xué)方法。例如講解概念時(shí)，盡量從學(xué)生熟悉的生活實(shí)例或與專業(yè)相結(jié)合的實(shí)例中引出，使學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)概念。側(cè)重解題思路、解題過程的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納、推理、類比，構(gòu)建知識(shí)的遷移渠道，拓展學(xué)生的思維，提高教學(xué)的整體效果。

2.3 注意類比法，對(duì)比法，減少不必要的理論推導(dǎo)

由于《復(fù)變函數(shù)與積分變換》中的許多定理證明，推導(dǎo)比較繁瑣，需要一定的技巧。因此，我們?cè)诙ɡ斫虒W(xué)時(shí)需要把握一個(gè)原則：怎樣深入淺出、化難為易。更要把握好一個(gè)度，不能一節(jié)課的時(shí)間都用在定理的證明上。由于這門課程的許多定義、定理的結(jié)論是高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的一個(gè)推廣，因此，在學(xué)習(xí)時(shí)要注意類比。例如，復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)理論中，很多結(jié)論與高等數(shù)學(xué)中的相類似，如冪級(jí)數(shù)、解析函數(shù)的泰勒展開。再者，要利用對(duì)比法來學(xué)習(xí)，特別要注意兩門課程不同的地方（見表 1）。

表1 《高等數(shù)學(xué)》與《復(fù)變函數(shù)與積分變換》部分知識(shí)點(diǎn)的不同之處

復(fù)變量函數(shù)中許多問題與實(shí)變量函數(shù)可以對(duì)比、類比，從保留、增加、推廣的角度去研究，如復(fù)數(shù)保留了實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算、運(yùn)算規(guī)律。也增加了一些新的東西，正如表1所列出的那些知識(shí)點(diǎn)，也是實(shí)數(shù)域與復(fù)數(shù)域不同的地方。在學(xué)習(xí)時(shí)要將對(duì)比、類比法的思想方法，自始至終貫穿在教學(xué)的全過程中，引導(dǎo)學(xué)生找出彼此的共同點(diǎn)，弄清彼此的不同點(diǎn)，深刻理解、靈活運(yùn)用。

2.4 利用計(jì)算軟件簡(jiǎn)化運(yùn)算，降低教學(xué)難度

教學(xué)的首要任務(wù)是指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，怎樣去分析、歸納、類比、推理。大學(xué)的學(xué)生應(yīng)能夠熟練的掌握類比法、分析法、歸納法、變量替換法、恒等變形法以及數(shù)學(xué)模型法等常用的數(shù)學(xué)思維和解決實(shí)際問題的方法，對(duì)于在處理問題時(shí)常用的數(shù)學(xué)技巧也應(yīng)熟練的掌握。學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)定理、公式、法則時(shí),要注意已經(jīng)成立的條件并理解它們存在的作用，從這些已經(jīng)成立的條件開始分析問題，這樣才能夠得到正確的結(jié)論。

高校教師還應(yīng)不斷的學(xué)習(xí)先進(jìn)的教學(xué)理念，要緊密結(jié)合工程應(yīng)用，要以現(xiàn)代工程技術(shù)實(shí)例為引導(dǎo)，以積分變換理論為基礎(chǔ)，實(shí)例分析和理論分析相互交叉。不斷改進(jìn)傳統(tǒng)教學(xué)手段、教學(xué)方法；更加重視思維方法以及基本概念的教學(xué)工作，因材施教,盡量將一些復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,將一些抽象概念具體化。充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)和手段，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)用到課堂教學(xué)中，使得教學(xué)更加直觀化、可視化，這樣學(xué)生更容易接受。例如，利用MATLAB軟件畫出函數(shù)的圖在孤立奇點(diǎn)處留數(shù)。

分析：如果用常規(guī)方法計(jì)算，首先要確定函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，因?yàn)榭芍瘮?shù)的孤立奇點(diǎn)為 z1=-1(一級(jí)極點(diǎn))，z2=1(二級(jí)極點(diǎn))，然后分別利用留數(shù)計(jì)算方法，求出函數(shù)在z1,z2處的留數(shù)?，F(xiàn)在如果借助MATLAB軟件，就能輕松求出留數(shù)，不必用這么多步驟了,只需寫出源代碼運(yùn)行即可，一次求出。

當(dāng)分子分母均為多項(xiàng)式函數(shù)，調(diào)用格式如下：[R,P]=residue（A,B），其中R是部分分式的系數(shù)數(shù)組，即留數(shù)數(shù)組，P是極點(diǎn)數(shù)組。參數(shù)A是由復(fù)變函數(shù)的分子的系數(shù)組成的向量，參數(shù)B是由復(fù)變函數(shù)的分母的系數(shù)組成的向量。

利用MATLAB編程，程序如下：形（見圖1、圖2）。利用MATLAB軟件作圖，既快又好，黑板上是無法畫出那種效果的。像這樣兩個(gè)圖形對(duì)比，它們的差別一目了然，非常清楚，學(xué)生就很容易搞懂。其實(shí)，MATLAB軟件在計(jì)算、繪圖、設(shè)計(jì)等方面還有許多用途,如果在復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)中，能結(jié)合教材內(nèi)容與實(shí)際案例,利用MATLAB探究解決相關(guān)問題，那么對(duì)學(xué)生的自主探索，興趣培養(yǎng)必定會(huì)起到積極的推動(dòng)作用。

運(yùn)行結(jié)果：

圖1 函數(shù)f(x)=x2的圖像

圖2 函數(shù) f(z)=z2的圖像

當(dāng)函數(shù)有重極點(diǎn)時(shí)，對(duì)同一個(gè)極點(diǎn)P，存在幾個(gè)展開系數(shù)R，這幾個(gè)R中只有與相同極點(diǎn)中的第一個(gè)對(duì)應(yīng)的R是的系數(shù),即與極點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的留數(shù)，其余的不是留數(shù)。本題中，函數(shù)在孤立奇點(diǎn)1處的留數(shù)為，在孤立奇點(diǎn)-1處的留數(shù)為由此看出，利用計(jì)算軟件，能達(dá)到事半功倍的效果。

3 結(jié)語

我們?cè)诙嗄甑慕虒W(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，有效合理利用教育技術(shù)手段，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，降低課本難度，教學(xué)變得直觀具體，學(xué)生易于接受。當(dāng)然，利用課件、多媒體技術(shù)也要有的放矢，不是每堂課都用?！稄?fù)變函數(shù)與積分變換》的教學(xué)與《高等數(shù)學(xué)》有相似之處，也有不同的地方；不管怎樣，只有端正教、學(xué)態(tài)度，合理組織教學(xué)內(nèi)容，優(yōu)化教、學(xué)方法；改變機(jī)械學(xué)習(xí)狀態(tài)，積極思考，勤學(xué)好問，掌握方法，才能提高教學(xué)質(zhì)量。教學(xué)改革是一個(gè)漫長(zhǎng)的過程，也是一個(gè)永恒的課題。只要我們持之體恒，積極探索，躬身實(shí)踐，就一定能找到一個(gè)合適的教學(xué)方法，就一定會(huì)收到成效。