懸臂拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)強度剛度特性試驗研究

鄭 健，梅志遠，李華東，王亞楠

(海軍工程大學(xué) 艦船工程系，湖北 武漢 430033)

0 引 言

懸臂結(jié)構(gòu)形式廣泛應(yīng)用于艦船附體結(jié)構(gòu)設(shè)計之中，如舵、潛艇穩(wěn)定翼等。目前此類結(jié)構(gòu)主要以鋼質(zhì)內(nèi)部橫縱骨架外敷鋼質(zhì)薄殼板為典型結(jié)構(gòu)形式[1–2]，以確保滿足翼體結(jié)構(gòu)的剛度和強度要求，但此類常規(guī)交叉骨架結(jié)構(gòu)并非舵翼承載狀態(tài)下的最佳方案，因此，質(zhì)量過大，冗余較多。為了進一步減輕結(jié)構(gòu)質(zhì)量，工程師們也會進行一些常規(guī)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，如：調(diào)整肋骨板材厚度、加減輕孔、調(diào)整骨架位置或數(shù)量等，這些優(yōu)化方式往往要基于大量的靜力學(xué)計算和分析以及一定的工程經(jīng)驗，優(yōu)化周期長，效率低。隨著增材制造技術(shù)的逐漸成熟，目前大尺度復(fù)雜構(gòu)型的鑄造技術(shù)已能夠為更高效的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化技術(shù)提供工程實現(xiàn)基礎(chǔ)，因此，通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化尋找一種更合理的骨架結(jié)構(gòu)是可以實現(xiàn)的。

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化一直被認(rèn)為是具有潛在經(jīng)濟效益的研究領(lǐng)域之一。自1904年由Michell提出桁架理論以來，人們不斷的在拓撲優(yōu)化領(lǐng)域進行研究進步，針對連續(xù)體的拓撲優(yōu)化研究，最具代表性的便是Bendsoe和Kikuchi[3]提出的均勻化方法、Mlejnek[4]的變密度法及Xie[5 – 8]的漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化法等，而且這些方法也被大量的應(yīng)用于各類有限元優(yōu)化軟件中。

增材制造技術(shù)（additive manufacturing,AM）,是一種以三維數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)直接制造幾乎任意形狀三維實體的制造技術(shù)[9]。FDM技術(shù)是增材技術(shù)的一個分支，它一般使用于桌面級打印機，以PLA和ABS塑料為主要原材料，它可為拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)的實現(xiàn)和驗證，提供可行的技術(shù)途徑。

本文擬應(yīng)用拓撲優(yōu)化技術(shù)開展懸臂結(jié)構(gòu)骨架優(yōu)化設(shè)計，然后利用FDM技術(shù)制作模型，并通過對比模型試驗，最終驗證了拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)的設(shè)計優(yōu)劣特性。

1 典型模型計算分析

1.1 典型變截面懸臂含筋結(jié)構(gòu)模型

根據(jù)實際模型進行簡化縮比，建立典型含橫縱筋板模型（統(tǒng)稱典型模型），如圖1所示。變截面懸臂含筋結(jié)構(gòu)模型外形尺寸長225 mm，厚度25 mm，最大截面寬度150 mm，最小截面寬度100 mm。圖1（b）為內(nèi)部橫縱筋板。邊界固支，分別施加2種載荷工況：1）末端壓力載荷；2）扭轉(zhuǎn)載荷。

材料采用PLA塑料，楊氏模量為1.9 GPa[10]，泊松比為 0.42，密度為 1 250 kg/m3。

利用有限元軟件，對典型模型進行靜力學(xué)計算分析，確定出 2 種工況可施加 55 N，80 N，105 N 三種級別的載荷。且具體的施加位置及形式如圖1（a）所示。

1.2 位移及應(yīng)力分布特征仿真分析

最大應(yīng)力總是出現(xiàn)在舵軸區(qū)，扭轉(zhuǎn)作用下的變形以結(jié)構(gòu)最大端面的轉(zhuǎn)角為標(biāo)準(zhǔn)。給出仿真計算的相應(yīng)數(shù)據(jù)，分別如表1和表2所示，并給出同時施加2種載荷的應(yīng)力分布圖（見圖2），以便與優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)進行整體的對比分析。

表 1 各工況下最大應(yīng)力值Tab. 1 Maximum stress under each working condition

表 2 各工況下最大變形Tab. 2 Maximum deformation under each working condition

從圖2中的應(yīng)力分布可以看出，高應(yīng)力區(qū)主要集中在舵軸區(qū)，只要保證舵軸區(qū)安全，整個懸臂結(jié)構(gòu)仍可以進行優(yōu)化減重，使應(yīng)力的分布更加合理。

2 基于漸進結(jié)構(gòu)拓撲法進行優(yōu)化設(shè)計及FDM模型制作

2.1 基于漸進結(jié)構(gòu)法的拓撲優(yōu)化設(shè)計

本文基于Abaqus中的漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化法進行優(yōu)化。即在滿足一定的體積（質(zhì)量）約束條件的前提下，以應(yīng)變能最小化（即靜柔度最小化，靜剛度最大化）為設(shè)計目標(biāo)，則該拓撲優(yōu)化的數(shù)學(xué)表達式如下：

為了保證邊界的一致性，進行拓撲優(yōu)化時，采用與靜力學(xué)分析時相同的邊界條件；考慮到外形的完整性和模型的安全性，設(shè)置模型除前端面外的包絡(luò)層2 mm的區(qū)域以及舵軸區(qū)為凍結(jié)區(qū)域；設(shè)置約束條件為優(yōu)化后體積為原來的35%（不包括凍結(jié)區(qū)域）；設(shè)計目標(biāo)為結(jié)構(gòu)整體的應(yīng)變能最小。

利用Abaqus分別在2種載荷和2種載荷共同作用下進行拓撲優(yōu)化，為偏于安全考慮，所施加載荷均取設(shè)計的最大載荷。結(jié)果如圖3所示（結(jié)構(gòu)為剖面圖）。在2種載荷的單獨作用下，優(yōu)化結(jié)果分別為模型中間區(qū)域出現(xiàn)類似桁架形式的骨架和舵軸區(qū)域向兩側(cè)延伸的支撐結(jié)構(gòu)；而2種載荷共同作用下的優(yōu)化結(jié)構(gòu)為含筋箱體梁形式，整體表現(xiàn)為2種單一載荷下優(yōu)化結(jié)構(gòu)形式的選擇性疊加，在模型中間出現(xiàn)類似桁架形式的縱骨，舵軸末端為類似桁架形式的橫骨架。

基于漸變結(jié)構(gòu)法和數(shù)學(xué)表達式（1）分析，單獨施加末端壓力載荷時，模型內(nèi)部會有傳力的縱筋，外表也可能被優(yōu)化，所以必須設(shè)置凍結(jié)區(qū)域；單獨施加扭轉(zhuǎn)載荷時，由于剪力流的作用，內(nèi)部應(yīng)力接近0，所以優(yōu)化后為空，僅余外層足夠的厚度，成箱體狀態(tài)；但同時施加2種載荷時，則會選擇性保留2種載荷作用的傳力路徑，出現(xiàn)含筋的箱體形式。所以，在應(yīng)力水平較低的區(qū)域中只保留傳力路徑以維持應(yīng)有的強度剛度，其余區(qū)域材料分布狀態(tài)則為0。

而且，將優(yōu)化后的模型與典型模型的應(yīng)力和位移云圖比較后發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化模型在變形和應(yīng)力的峰值上都有一定程度的增加，但是優(yōu)化后模型應(yīng)力的分布更均勻，過渡區(qū)域大，變化相對更加平緩，說明拓撲優(yōu)化有效地提高了模型的材料利用率，保留了更加有效且精簡的傳力路徑。

2.2 FDM模型制作

應(yīng)用FDM技術(shù)制備有橫縱筋板的標(biāo)準(zhǔn)模型和拓撲優(yōu)化后的模型，完成后的模型如圖4和圖5所示。各模型的質(zhì)量對比如表3所示。制備的模型由于工藝及后處理工藝的原因，使模型存在一定的誤差。而且由于PLA和鋼的材料屬性相差甚遠，但卻都是均質(zhì)材料，所以利用FDM技術(shù)制做的模型僅能驗證優(yōu)化模型結(jié)構(gòu)的合理性及優(yōu)勢。

3 制作模型靜強度剛度試驗研究

3.1 試驗測點布置與加載方法

表 3 模型質(zhì)量對比Tab. 3 Model quality comparison

分別對典型模型和優(yōu)化后模型進行靜強度剛度試驗，設(shè)置如圖6所示的直角坐標(biāo)系（平面的垂向為z向）和測點。其中測點2測量應(yīng)變值，對應(yīng)仿真計算的應(yīng)力云圖為應(yīng)力最大值；其余測點測量位移值。

加載方式如圖7所示，在載荷區(qū)域貼上PLA薄片，以便將載荷均勻分布到與有限元計算中相同的加載區(qū)域上，以保證載荷條件的統(tǒng)一性，同時盡量避免應(yīng)力集中的問題；在薄片上再粘貼一個連接基座，以便于與質(zhì)量塊連接，利用質(zhì)量塊加載相應(yīng)大小的力。

3.2 試驗結(jié)果

采用位移計測量位移，應(yīng)變片測量應(yīng)變，利用數(shù)據(jù)采集器記錄并保存各測點相應(yīng)的位移和應(yīng)變，并將所得結(jié)果進行處理，輸出末端壓載x方向的應(yīng)力，輸出扭轉(zhuǎn)載荷y方向的應(yīng)力，以測點1為觀測點，輸出扭轉(zhuǎn)變形時模型的扭轉(zhuǎn)角度，如表4～表6所示。

表 4 仿真計算與典型模型試驗應(yīng)力值對比Tab. 4 Comparison of stress value between simulation and standard model test

表 5 典型模型與拓撲模型試驗應(yīng)力值對比Tab. 5 Comparison of test stress values between standard model and topological model

利用表6和計算的數(shù)據(jù)畫出相應(yīng)的位移對比曲線，如圖8和圖9所示。

3.3 結(jié)果對比分析

仿真計算中模型在2種載荷下的最大應(yīng)力分別為13.97 MPa和5.961 MPa；試驗測出的典型模型的最大應(yīng)力分別為14.273 MPa和4.032 MPa；拓撲模型的最大應(yīng)力分別為14.824 MPa和4.071 MPa。優(yōu)化后模型的最大應(yīng)力有一定的增大。

從圖8和圖9中可以看出2種模型的試驗位移都有很好的線性規(guī)律，而仿真計算的位移值線性卻不好，在扭轉(zhuǎn)變形中（見圖9），仿真計算的位移曲線更接近二次曲線，經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)試驗的固支邊界并非是理想固支，所以在扭轉(zhuǎn)試驗中，扭轉(zhuǎn)的中心軸發(fā)生了偏移，使整個結(jié)構(gòu)面大部分在扭轉(zhuǎn)軸的一側(cè)，所以線性更好；單獨對比2種模型的試驗位移值（見表5），拓撲模型的位移都比典型模型的位移小，而且從圖8中可以看出，拓撲模型的位移曲線斜率小于典型模型的位移曲線斜率，說明拓撲優(yōu)化提高了模型的整體抗彎剛度和材料的利用率，使拓撲模型在x方向上的位移變換更平緩；在扭轉(zhuǎn)變形的各工況下，拓撲模型的相應(yīng)扭轉(zhuǎn)角度和各點位移都有所增大，但與典型模型的試驗值相差不大，盡管優(yōu)化刪掉了部分橫向骨架，但模型抗扭剛度變化不大，這說明拓撲優(yōu)化在滿足剛度的要求下，有效的提高了材料的整體利用率。

表 6 各工況下各測點相應(yīng)位移Tab. 6 The corresponding displacements at different measuring points

綜上所述，拓撲優(yōu)化出的新型結(jié)構(gòu)在保證滿足強度剛度的要求下，有效減輕了結(jié)構(gòu)整體重量，提高了材料的利用率。

4 結(jié) 語

本文利用FDM技術(shù)實現(xiàn)了拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)模型的制作，并進行了靜剛度強度試驗，得出如下結(jié)論：

1）優(yōu)化后的模型較典型模型減重約12.84%，減重明顯；

2）拓撲優(yōu)化出的新型結(jié)構(gòu)模型強度剛度均滿足要求，且模型的應(yīng)力分布更均勻，位移變換更平緩，有效的提高了材料的整體利用率。