高考中三視圖還原幾何體的常用方法

梁艷菊

三視圖在高考中占有重要地位，該知識點(diǎn)著重考察同學(xué)們的想象力和空間幾何能力，然而對于高三有部分空間想象能力比較差的學(xué)生來說短時間內(nèi)很難去培養(yǎng)和提高，作為高三的數(shù)學(xué)老師，如何讓學(xué)生快捷的幾何體的三視圖還原回幾何體呢？因此根據(jù)幾年的高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來談?wù)剬θ晥D還原方法的一些個人見解。高效的課堂是非常重要的，把握數(shù)學(xué)知識的解決方法，才有效的啟發(fā)數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)習(xí)的效率。

三視圖的投影形成：如右圖，將物體放在三面投影體系中，盡可能使物體的各個面平行或垂直于其中的一個投影面，保持物體不動，將物體分別向三個投影面作正投影，就得到物體的三視圖。

第一類題型：棱錐或棱柱

例1：如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各棱中，最長的棱的長度為（ ）

A. B.6 C. D.4

解：以長方體為載體：

第一步，先看俯視圖，左下方?jīng)]有角，則在長方體中用 去掉兩個角，如圖①所示；

第二步，再從正視圖來看，左下方?jīng)]有角，則在圖①的基礎(chǔ)上，用 去掉一個角，同時正視圖中右邊的直角邊中點(diǎn)上有一點(diǎn)，則在長方體上標(biāo)上一個點(diǎn)A，如圖②所示；

第三步，最后到側(cè)視圖，三角形的頂點(diǎn)在視線的右邊上，右上方、右下方?jīng)]有角，則在圖②基礎(chǔ)上，用 去掉兩個角，如圖③所示；

第四步，把長方體剩下的頂點(diǎn)和標(biāo)點(diǎn)連起來構(gòu)成一個三棱錐，如圖④所示。

從圖中可知PA為最長邊，可求得PA=6，故選B

此類題型常以長方體或正方體作為載體，根據(jù)三視圖逐一排除頂點(diǎn)，最后把剩下的點(diǎn)連起來構(gòu)成空間幾何體，再檢驗(yàn)該幾何體三視圖是否符合。第一步：從俯視圖入手；第二步：再到正視圖第三步：最后到側(cè)視圖.

此種方法對于想象力不強(qiáng)的學(xué)生來說比較容易接受，主要多做練習(xí)來熟悉就可以靈活應(yīng)用，但是有一點(diǎn)不足之處是對于一些切割體和組合體的題型就不能解決了。

第二類題型：切割體

例2：某幾何體的三視圖如圖（2）所示，則該幾何體的表面積為（ ）

A.50 B.56 C.60 D.70

解：第一步，根據(jù)正視圖，在長方體中切割出四棱柱ADEN-BCFM，如圖（1）

第二步：根據(jù)側(cè)視圖，在長方體中切割出四棱柱CDEF-ABNG，如圖（2）

第三步：根據(jù)俯視圖，在長方體中切割出ABP-DCE，如圖（3）

第四步：觀察圖（1）（2）（3）的公共點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)A、B、C、D、E、N為公共點(diǎn)，則將這些點(diǎn)連起來得到多面體ABCDEN如圖（4），反過來檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)該多面體的三視圖滿足三視圖的要求，從圖（4）

中容易算出該多面體的表面積為60，故選C

主要的方法技巧是找出正視圖，側(cè)視圖，俯視圖還原后的公共點(diǎn)，把這些點(diǎn)連起來可得到切割體，特別也要審視三視圖中的虛線和實(shí)線.

第三類題型：組合體

例3：如圖為一個幾何體的三視圖，正視圖和側(cè)視圖均為

矩形，俯視圖中曲線部分為半圓，尺寸如圖，則該幾

何體的體積為（ ）

A. B.

C. D.

解：將視圖分為兩部分，圖（1）和圖（2）；按“高平齊、長對正、寬相等”的原則把圖（1）和圖（2）分別投影到投影面上，將其還原，可知兩個簡單幾何體分別為三棱柱和半圓柱，再驗(yàn)證還原所得幾何體的三視圖是否與已知相符，可得如圖（3），計算組合體的體積，可知答案為A。

關(guān)于組合體主要的方法技巧是結(jié)合各個簡單幾何體的三視圖，對每一部分所對應(yīng)的幾何體進(jìn)行還原，每個幾何體得到充分的確定之后，結(jié)合各部分所對應(yīng)的位置重新組合，形成一個整體。

這里講了三種常用方法將三視圖還原成幾何體，一種是將幾何體放在長方體中排除點(diǎn)法，第二種是切割體，找出公共點(diǎn)再連接起來，最后一種是組合體，分開來還原幾何體?？偟膩碚f，在三視圖還原中掌握好這些還原技巧，可降低難度，提高解題效率。