初中平面幾何距離最短問題的探討

黃旭林

數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活，用于生活，特別是《義務(wù)教學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出，要實(shí)現(xiàn)“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必要的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的目標(biāo)。在生活中存在求距離最短的問題，以節(jié)約成本，所以距離最短的問題，也成為考試內(nèi)容之一，是有點(diǎn)難度的。為了攻克初中平面幾何中的求距離最短的問題，經(jīng)過我不斷的探討和實(shí)踐，在教學(xué)中，我認(rèn)為要從以下幾方面入手：

一、弄懂平面幾何中距離最短問題的解題原理。

初中數(shù)學(xué)教材里提到，“兩點(diǎn)之間線段最短”和 “垂線段最短”這兩個(gè)公理是求初中平面幾何中距離最短的問題的依據(jù)。距離最短問題實(shí)質(zhì)上就是這兩個(gè)公理的靈活運(yùn)用。

1.“兩點(diǎn)之間線段最短”的應(yīng)用可分為三種類型

（1）如圖1，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別在直線l的兩側(cè)，在l上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，求使AP+BP的值最小。

直接連接點(diǎn)A和點(diǎn)B所得線段交直線l于點(diǎn)P，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”此時(shí)AP+BP的值最小為AB。

（2）如圖2，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別在直線l的同側(cè)，求在l上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P使AP+BP的值最小。

作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，連接BC交直線l于點(diǎn)P，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”此時(shí)PC=PA，AP+BP的值最小為PC+BP=BC。

（3）如圖3，A村和B村分別在一條河的兩側(cè)，河的兩岸互相平行并且寬度為a，求在A村和B村之間河上修一條橋，使A村通往B村之間的路程最短，求橋的位置。

此題比前面1.（1）類型多了一條橋，可以過點(diǎn)A作AC垂直于河邊，使AC=a，然后連接CB，交近B村的河邊的點(diǎn)D，過點(diǎn)D作線段DE垂直河邊交另一河邊于點(diǎn)E，這時(shí)DE就是橋的位置，因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形，AC=DE，AE=CD，此時(shí)A村和B村之間的路程最短為AE+ED+DB=AC+CB

2.“垂線段最短”的應(yīng)用

如圖4，A村要修一條大路接通一條筆直公路l，怎樣修才路線最短呢？

過點(diǎn)A作線段AP垂直于直線l，垂足為P，根據(jù)“垂線段最短”， 得垂線段AP最短，垂線段AP就是要修路的地方。

二、求解平面幾何中距離最短問題，關(guān)鍵在于找出關(guān)鍵“點(diǎn)”的位置。

平面幾何中距離最短的問題，常常以動(dòng)點(diǎn)來出現(xiàn)在題目中。點(diǎn)的位置確定根據(jù)是線與線相交于點(diǎn)。如果兩點(diǎn)分別在一條線的兩邊，直接連接這兩點(diǎn)，形成一條新的線段，它與原線段（動(dòng)點(diǎn)要求在的線段）它們的交點(diǎn)，就是關(guān)鍵的“點(diǎn)”； 如果兩點(diǎn)都在一條線的同側(cè)，可以通過作其中一點(diǎn)關(guān)于原線段（動(dòng)點(diǎn)要求在的線段）的對(duì)稱點(diǎn)，連接這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)所得的線段與原線段相交，它們的交點(diǎn)，就是關(guān)鍵的“點(diǎn)”，之后把折線通過軸對(duì)稱轉(zhuǎn)換成在同一線段，這兩點(diǎn)的距離即為最小值。至于求直線外一點(diǎn)到這條直線之間的最短距離，直接過這點(diǎn)作這條線的垂線段就得了，垂足就是關(guān)鍵的“點(diǎn)”。如何尋找這些關(guān)鍵“點(diǎn)”呢？下列以案例說明：

1、“兩定點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)”

如圖5，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E為CD邊的中點(diǎn)，P為BC邊上的任一點(diǎn)，那么，AP+EP的最小值為______.

分析：題中P為BC邊上的任一點(diǎn)，只有點(diǎn)P在點(diǎn)A關(guān)于BC對(duì)稱點(diǎn)和點(diǎn)E的連線與BC的交點(diǎn)，此時(shí)的交點(diǎn)是AP+EP的值最小的關(guān)鍵“點(diǎn)”。

解：如圖6，作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF交BC于點(diǎn)P，則EF就是所求的最短距離，再過點(diǎn)E作EO∥BC，交AB于點(diǎn)O，

∵AB=2，AD=4，E為CD邊的中點(diǎn)，∴OE=AD=4，OF=OB+BF=1+2=3，在Rt△OEF中， = + ，∴EF= =5，AP+EP的最小值為5。

2、“一定點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)”

如圖7，在Rt?AOB中在Rt△AOB中，OA=OB=3 ，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值______.

分析：因?yàn)镻Q是圓O的切線，連接QO得OQ⊥PQ，根據(jù)勾股定理有 = - ，OQ是圓O的半徑為1，OP最小時(shí) 也最小，因?yàn)辄c(diǎn)P在AB上，所以根據(jù)“垂線段最短”，過點(diǎn)O作PO⊥AB，垂足為點(diǎn)P.此時(shí)的點(diǎn)P是使PQ最小值的關(guān)鍵“點(diǎn)”

解：如圖8，連接OQ，過點(diǎn)O作PO⊥AB，垂足為點(diǎn)P

∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ；

根據(jù)勾股定理知PQ 2 = -OQ 2 ，

∴當(dāng)OP⊥AB時(shí)，線段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 ，∴AB=6，

∴OP= =3，∴ = - = - =8，∴PQ= =2 ，

三、建立平面幾何最短距離問題的數(shù)學(xué)模型。

生活中的求最短距離問題，通過抽象成為幾何中的距離最短問題，從上面第一、第二大點(diǎn)分別懂得了求平面幾何最短距離問題的解題原理和通過軸對(duì)稱作圖確定關(guān)鍵“點(diǎn)” 把折線通過等量代換轉(zhuǎn)化成同一條直線上的線段，或者通過“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短”，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)方法表達(dá)出來，并加以計(jì)算，通過抽象，建立起一種近似的解題方法，建立起求平面幾何最短距離問題的數(shù)學(xué)模型，能夠看到類似題型，馬上知道基本的解題思路。

四、強(qiáng)化平面幾何中的距離最短問題的典型題目訓(xùn)練，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)課教學(xué)本質(zhì)，就是數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練課，讓學(xué)生親身經(jīng)歷并且通過分析問題，解決問題，甚至在失誤中糾正錯(cuò)誤過程中，培養(yǎng)學(xué)生解題能力。平時(shí)，教師針對(duì)平面幾何中的距離最短問題，多積累些典型的題目，選擇有代表性的題目先進(jìn)行例題講解，總結(jié)出解題規(guī)律，再進(jìn)行套題練習(xí)，讓學(xué)生獨(dú)立完成，從而熟悉距離最短問題的題型，深刻領(lǐng)會(huì)解距離最短問題的理論，從而更好地把平面幾何中的距離最短問題應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中來。