函數(shù)的單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)與應(yīng)用

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摘 要：函數(shù)的單調(diào)性也叫做函數(shù)的增減性。它指的是反饋函數(shù)隨著自變量的變化，呈現(xiàn)正比例的變化規(guī)律。這個知識點不僅是高中教學(xué)學(xué)習(xí)的重點，同時也是難點。所以，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，只有學(xué)好了數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性，才能夠更深的掌握數(shù)學(xué)知識。因此，本文對函數(shù)的單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用和學(xué)習(xí)進行了詳細(xì)分析，進而可以更好的讓學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性。

關(guān)鍵詞：函數(shù)的單調(diào)性；高中教學(xué)；學(xué)習(xí)；應(yīng)用

在對高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，函數(shù)的單調(diào)性刻畫的是兩個變量之間的關(guān)系。它普遍應(yīng)用在求解不等式、求最值、求取值范圍以及解方程當(dāng)中。在對高中數(shù)學(xué)進行學(xué)習(xí)當(dāng)中，充分掌握好函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，并且剛好的應(yīng)用在解答各種題型中，能夠大大擴展學(xué)習(xí)解題的思路范圍，提高解題的速度，進而達到提高學(xué)習(xí)成績的目的。

一、函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)的重要性

在對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中，學(xué)生基本上都已經(jīng)接觸了一次函數(shù)以及二次函數(shù)的有關(guān)知識，簡單學(xué)習(xí)了高中函數(shù)增減性的內(nèi)容。但是，在對高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性進行學(xué)習(xí)的過程中，如果要想更好的掌握這個知識點，需要從函數(shù)定義以及概念兩個方面著手，利用數(shù)學(xué)符號和例子來進行解釋，對函數(shù)單調(diào)性的定義進行全面了解。除此之外，函數(shù)單調(diào)性是變量的一個變化規(guī)律。它是學(xué)習(xí)其他函數(shù)知識的核心內(nèi)容。所以，在高中函數(shù)學(xué)習(xí)過程中，需要將函數(shù)的單調(diào)性作為獨立的學(xué)習(xí)單元進行學(xué)習(xí)，并且利用直觀感受以及文字描述等形式，加深對它的掌握程度，進而為學(xué)習(xí)不等式以及導(dǎo)師等知識打下堅實的基礎(chǔ)。

二、函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)和應(yīng)用

（一）函數(shù)單調(diào)性在解方程中的應(yīng)用。高中數(shù)學(xué)中重要的學(xué)習(xí)部分就是對方程進行求解。函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用到解方程當(dāng)中，能夠大大提高解題速度，更為有效的解決方程式的問題。比如在方程式x3+2x（x+1）3+1=0當(dāng)中，我們可以根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的行醫(yī)，將這個方程化簡成為x3+x+[（x+1）3+x+1]=0我們設(shè)f（x）=x3+x，在區(qū)間（-∞，+∞）范圍內(nèi)，是單調(diào)遞增的變化趨勢，并且f（-x）=-f（x）是奇函數(shù)。下面我們求解f（x）+f（x+1）=0，也就是f（x+1）=-f（x）=f（-x）。我們已經(jīng)知道f（x）是單調(diào)函數(shù)，轉(zhuǎn)變?yōu)閤+1=-x，得x=-0.5.我們通過這種方式求得方程式的解，對方程式進行簡化，快速的求得方程的單調(diào)區(qū)間。

（二）函數(shù)單調(diào)性在解數(shù)列中的應(yīng)用。在對高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)列是一項重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。同時，它還是高考的重點以及難點。在數(shù)列{an}當(dāng)中，an是一個自變量是n的函數(shù)。所以，在對數(shù)列求解最值的時候，利用函數(shù)單調(diào)性來對數(shù)列進行求解，能夠按照數(shù)列自變量的關(guān)系來解決問題。

例如，在已知：an=■+■+……+■，n∈N+如果an>2b-5成立，并且b是自然數(shù)，對b的最大值進行求解。在解這個數(shù)列的時候，由于an>2b-5都成立，因此轉(zhuǎn)變成2b-5<|an|min，求其最小值。我們已經(jīng)知道an是一個自變量是n的函數(shù)，此時應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性來對數(shù)列進行求解，就能夠快速的獲得答案。

（三）函數(shù)單調(diào)性在不等式求解中的應(yīng)用。在對高中數(shù)學(xué)知識進行學(xué)習(xí)時，盡管學(xué)生會按照老師要求背熟數(shù)學(xué)公式，但是在對數(shù)學(xué)題進行解答過程當(dāng)中，由于自己知識結(jié)構(gòu)的限制，往往造成自己在解題當(dāng)中出現(xiàn)錯誤。將函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用到不等式求解過程中，能夠根據(jù)不等式的分類以及數(shù)形結(jié)合的形式來對其進行解答，能夠快速的求解出答案，進而提高自己的數(shù)學(xué)思維以及解題水平。

比如：在已知a，b/c∈R，|a|<1，|b|<1，|c|<1證明ab+bc+ca+1>0在對這個不等式求解過程當(dāng)中，首先要利用函數(shù)的不等式，將上述不等式轉(zhuǎn)化成為f（x）=（b+c）x+bc+1，如果x∈（-1，1）的時候，f（x）>0都成立。如果b+c=0的時候，f（x）=1-b2>0都成立。如果b+c不等于0的時候，一次函數(shù)f（x）=（b+c）x+bc+1，在X∈（-1，1）范圍內(nèi)有單調(diào)性。我們已知f（1）=bc+b+c=（b+1）（c+1）>0。求得f（x）=（b+c）x+bc+1在x∈（-1，1）范圍內(nèi)都大于0。所以，當(dāng)a|<1，|b|<1，|c|<1的時候，（b+c）a+bc+1>0都成立。我們利用上面這種方式將不等式轉(zhuǎn)化成函數(shù)，將常量看出是變量中的瞬間狀態(tài)，并且設(shè)置函數(shù)單調(diào)區(qū)間，并利用函數(shù)單調(diào)性來對不等式進行驗證。這樣就會大大簡化了解題的過程，快速求得出正確答案。

（四）函數(shù)單調(diào)性在求導(dǎo)中的應(yīng)用。在利用函數(shù)單調(diào)性對導(dǎo)數(shù)進行求解過程中，我們首先需要對函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義有所了解，并且靈活的對其進行運用。只有這樣，才能使導(dǎo)數(shù)的問題快速地解決。比如：在函數(shù)y=x2-x3+5，對這個函數(shù)的單調(diào)性進行判斷，并且求出單調(diào)區(qū)間。對函數(shù)進行求導(dǎo)，我們首先轉(zhuǎn)換成y1=2x-3，x2=x（2-3x），函數(shù)y的定義域區(qū)間實數(shù)是R。我們設(shè)函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)為0，求x的解得到x1=0，x2=■，如果x∈（-∞，0），x∈（■，+∞）的時候，函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)小于0，函數(shù)在x∈（-∞，0）是遞減函數(shù)。如果x∈（■，+∞）的時候，函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)大于0。函數(shù)在（0，2/3）范圍內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)。經(jīng)過上述分析我們可以看出，在函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)當(dāng)中，導(dǎo)數(shù)是重要的一個知識內(nèi)容。利用函數(shù)的單調(diào)性對導(dǎo)數(shù)問題進行求解，能夠更加對解題思路進行明確，進而快速的解答出正確的答案。

我們經(jīng)過上述分析可以知道，在對高中數(shù)學(xué)進行學(xué)習(xí)過程中，學(xué)好高中數(shù)學(xué)函數(shù)的關(guān)鍵所在就是掌握好函數(shù)的單調(diào)性。函數(shù)的單調(diào)性能夠掌握好關(guān)系著今后高考的成績。所以，在平時對高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性進行學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中，要想更快的掌握住解題技巧和方法，需要不斷研究函數(shù)學(xué)習(xí)方法。根據(jù)自己學(xué)到的知識對函數(shù)單調(diào)性進行歸納和總結(jié)，并且學(xué)會利用函數(shù)單調(diào)性的技巧求解不等式、數(shù)列、方程、求導(dǎo)數(shù)等方面的應(yīng)用，以達到不斷提高自己學(xué)習(xí)能力的目的。

參考文獻：

[1]任建文.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用方法和解題技巧[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版，2014，（9）：13-14.

[2]曹付生.函數(shù)單調(diào)性解決問題的策略[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)：高中版，2015，（3）：17-18.