例談“平行四邊形”教學(xué)中運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)踐與探究

張玲玲

【中圖分類號(hào)】G623【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2018）24-0043-01

平行四邊形以及由它衍生而來(lái)的特殊平行四邊形是繼三角形后接觸到的第二類封閉圖形，它既是平面幾何的基本圖形，又是平面幾何研究的主要對(duì)象，近幾年，本人在對(duì)初中平行四邊形教學(xué)中，根據(jù)新課標(biāo)理念，進(jìn)行多種數(shù)學(xué)思想方法滲透的實(shí)踐與探究。取得了一定的成效?，F(xiàn)舉例如下。

一、轉(zhuǎn)化思想

例1：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD

分析：要證∠B=∠C，可把它們轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，利用等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)，證明這個(gè)問(wèn)題。

證明：過(guò)E作EM∥AB、EN∥CD，交BC于M、N，得平行四邊形ABME和平行四邊形NCDE.于是AE=BM，DE=CN.

∵E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，

∴AE=DE，BF=CF.

∴BM=CN.FM=FN.

又∵EF⊥BC

∴EM=EN.∠1=∠2.

∵AB∥EM.CD∥EN.

∴∠1=∠B.∠2=∠C.

∴∠B=∠C.

例2：如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=7，BC=12.求證：∠B=60°.

分析：已知腰的條件，可平移一腰，將較分散的已知條件集中起來(lái)，為解決問(wèn)題創(chuàng)造條件。

證明：過(guò)點(diǎn)A作AE∥DC交BC于E。由AD∥BC，知四邊形AECD為平行四邊形，

故AD=EC，AE=CD.

∵AB=CD=7，AD=5，BC=12，

∴BE=BC—CE=12-5=7.AE=CD=AB=7.

∴△ABE為等邊三角形，從而∠B=60°.

評(píng)注：轉(zhuǎn)化思想（又叫化歸思想）就是將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，或?qū)⒛吧膯?wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)處理的一種思想，上述兩例將梯形通過(guò)分割或平移一腰，轉(zhuǎn)化為三角形和平行四邊形來(lái)處理，顯得十分簡(jiǎn)捷，這是解決梯形問(wèn)題的基本思想和方法。

二、數(shù)形結(jié)合思想（代數(shù)法）

例3：如圖，由兩個(gè)正方形組成長(zhǎng)方形花壇ABCD，小明從頂點(diǎn)A沿著花壇間小路走到長(zhǎng)邊中點(diǎn)O，再?gòu)闹行腛走到正方形OCDF的中心O1，再?gòu)闹行腛1，再?gòu)闹行腛1走到正方形O1GFH的中心O2，又從中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3，再?gòu)腛3走到正方形O3KJP的中心O4一共走了32m，則長(zhǎng)方形花壇ABCD的周長(zhǎng)是（ ）.

分析：由條件知每段行程均為正方形的對(duì)角線長(zhǎng)且依次減半，而正方形的對(duì)角線長(zhǎng)又是邊長(zhǎng)的2倍，因此，可通過(guò)大正方形ABOF的。邊長(zhǎng)和總行程建立方程求解.

解：設(shè)大正方形ABOF的邊長(zhǎng)為xm，則可利用一共走了32m這一條件建立方程2x+22x+222x+223x+224x=312，即（1+12+122+123+124）x=31，解得x=16（m）觀察圖形易知，長(zhǎng)方形花壇ABCD的周長(zhǎng)是6x=96（m），故選C.

例4：如右圖，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm.占P從A開(kāi)始沿析線A-B-C-D以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C開(kāi)始沿CD邊以1cm/s的速度移動(dòng)。如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），t為何值時(shí)，四邊形APQD也為矩形？

分析：觀察圖形，要使四邊形APQD為矩形，只須AP=DQ即可。

解：由已知，有AP∥DQ，∠A=90°.當(dāng)PA=DQ時(shí)，四邊形APQD是矩形，依題意，則有4t=20-t，所以t=4（s），即當(dāng)t為4s時(shí)，四邊形APQD是矩形.

評(píng)注：以上兩例是運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)或判定定理，通過(guò)建立方程（組）及恒等變形等代數(shù)方法，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題予以解決，這種用數(shù)形結(jié)合思想和代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的思想方法，應(yīng)引起同學(xué)們的重視。

三、類比思想

例5：已知矩形ABCD和點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在圖1中的位置時(shí)，有結(jié)論：S△ABC=S△PAC+S△PCD.

理由：過(guò)點(diǎn)P作EF垂直BC，分別交AD、BC。于E、F兩點(diǎn)。

∵S△PBC+S△PAD=12BC·PF+12AD·PE

=12BC（PF+PE）=12BC·EF

=12S矩形ABCD

S△PAC+S△PCD+S△PAD=12S矩形ABCD

∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，即

S△PBC=S△PAC+S△PCD

請(qǐng)你參考上述信息，猜想當(dāng)點(diǎn)P分別在圖（2）、圖（3）中的位置時(shí)，S△PBC、S△PAC、S△PCD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你對(duì)上述兩種情況的猜想，并選擇其中一種情況的猜想給予證明。

分析：先認(rèn)真閱讀題中給出的材料，理解、歸納其中的推理方法，然后探索、猜想不同圖形中指定的三個(gè)三角形面積之間的數(shù)量關(guān)系，再利用題中的說(shuō)理方法類比證明所猜想的結(jié)論。

解：猜想結(jié)果：

圖2應(yīng)有結(jié)論：S△PBC=S△PAC+S△PCD

圖3應(yīng)有結(jié)論：S△PBC=S△PAC-S△PCD

對(duì)圖2的情況證明如下：如圖4，過(guò)點(diǎn)P作PF垂直AD，分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn)。

∵S△PBC=12BC·pF=12BC·PE+12BC·EF

=12AD·PE+12BC·EF

=S△PAD+12S矩形ABCD

S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+12S矩形ABCD

∴S△PBC=S△PAC+S△PCD

評(píng)注：此例要求學(xué)生解題時(shí)，先要讀通、讀懂題意，在理解的基礎(chǔ)上分析所考查問(wèn)題與閱讀材料的相關(guān)點(diǎn)，進(jìn)而采用歸納類比、遷移轉(zhuǎn)化等思想方法解決問(wèn)題。