淺談柯西對數(shù)學的貢獻

營孟珊 王鑰 韓樹新 梁建英

摘要：本文采用文獻研究法、描述性研究法等，先通過柯西的生平了解柯西。然后介紹柯西對微積分以及復分析的貢獻，探究柯西對數(shù)學的貢獻。

關(guān)鍵詞：柯西；數(shù)學；微積分；復分析

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）41-0200-02

一、引言

數(shù)學發(fā)展史中，柯西的身影遍布數(shù)學的各個領域。在科技不發(fā)達的18、19世紀，柯西帶領大家走向分析嚴格化的世界，對復分析的建立功不可沒。許多學者對柯西做了研究，如桂質(zhì)亮[1]研究了柯西的生平事跡，得出柯西是一個毛糙、高產(chǎn)而杰出的數(shù)學家。李曉龍[2]得出雖然柯西一生中有一些缺點，但更要看到柯西對數(shù)學發(fā)展不可代替的地位。于金青[3]，石麗仙[4]均探究柯西與早期復分析思想的關(guān)系，得出柯西一生對復分析思想起到重要作用，但仍有不足。張素亮[5]通過研究柯西的三本微積分著作，對柯西在微積分方面的貢獻進行研究，總結(jié)了柯西微積分體系的三大特點。

本文通過研究柯西對數(shù)學的貢獻，不僅有利于我們對課本知識的理解，也有助于我們建立正確的求知觀。其獨具一格的研究方法也對現(xiàn)在的數(shù)學教育有著一定參考價值。

二、柯西的生平

柯西于1789年8月21日誕生在巴黎的上層階級家庭。父親是古典文學碩士、律師，與法國大數(shù)學家拉格朗日和拉普拉斯（Laplacian）有著密切的關(guān)系。少年的柯西愛好數(shù)學，顯示出非凡的數(shù)學天賦，受到兩位數(shù)學家的欣賞。拉格朗日對柯西有著很大的期望，他多次在公開場合表達自己對柯西的喜愛。但拉格朗日向柯西的父親建議要給柯西堅實的文學教育，使其愛好不會誤入歧途，也不讓柯西在結(jié)束基礎教育前追求數(shù)學書籍。

學生時代的柯西十分優(yōu)秀，尤其在數(shù)學方面更是表現(xiàn)突出，并在1810年順利畢業(yè)。畢業(yè)后的柯西去瑟堡參加海港建設工作。年底，他被授予二級橋梁工程師，并得到上司的獎勵。期間，柯西大部分空閑時間學習數(shù)學的各個分支，其中多面體是他當時研究的主要內(nèi)容，這是拉格朗日的建議。在1811和1812年，柯西發(fā)表了兩篇關(guān)于多面體的論文，這標志著柯西科學之旅的開始。1812年1月，柯西向巴黎科學院提交了論文，證明凸面多面體的剛性表面必須是剛性的。因此，柯西成為高科技協(xié)會的成員。

1812年底，因身體每況愈下，柯西回到巴黎，從事科學研究的“探索真理”。他在提交給法國研究所的文章中，不僅對錯誤理論進行了研究，而且對確定點的研究，標志著他建立復雜函數(shù)論的開始。1815年底，他獲得了無限深層流體表面波滲透論文科學獎，并開始在綜合工科學校講授數(shù)學分析。期間柯西積極參加各種科學活動，獨自編輯了許多數(shù)學刊物，寫了大約100篇論文或注記。

1830年革命再次爆發(fā)?？挛魇穷B強固執(zhí)的保王黨人，激烈反對自由派。當奧爾良公爵—菲利普即位時，柯西受到了很大的刺激，甚至在校園中起義，率領民眾戰(zhàn)斗，反對宣誓效忠新國王，他認為宣誓就是背叛。而他的反對并沒有起到作用甚至在起義中受到一些暴烈行為，柯西下決心離開法國。1830到1838年間，柯西奔波世界各地。他去過瑞士，試圖籌建瑞士科學院，但并未成功。在這幾年的顛簸中，柯西的研究放慢了進度，1838年底柯西重返巴黎。在信仰與追求中，顛簸了八年的柯西最終選擇了堅持自己的理想。雖回到巴黎，但柯西仍不愿對新王宣誓效忠。1848年，宣誓制度取消，柯西才被委任為巴黎理學院數(shù)學天文學教授。不久，法國再次革命，新政權(quán)上位，要求公職人員宣誓效忠?？挛魅圆恍模涔ぷ髟僖淮瓮Ｖ?。拿破侖三世實在不能忽略柯西的優(yōu)秀，批準他再次開課。直至1857年，柯西與世長辭。

柯西有著鮮明的開創(chuàng)性。柯西首次研究了常微分方程解的局部性態(tài)，抓住了基本概念使得分析嚴格化，首次研究有限群理論并得出許多重要結(jié)果?？挛鬟€開創(chuàng)了復分析思想的新時代，柯西積分定理、留數(shù)理論等都對當時的復分析方面的研究起到奠基性的作用，甚至其影響到今時今日也不見衰減。

三、柯西對微積分的貢獻

柯西對微積分的貢獻不僅僅體現(xiàn)在分析的嚴格化，其成果間接影響了許多數(shù)學家的研究。首先，柯西通過變量的概念定義極限。雖然沒給出的論證方法，而用文字表達，但在他的研究中，已經(jīng)有了的雛形，這些在其《分析教程》中都有所體現(xiàn)。其次，柯西對函數(shù)及其連續(xù)性也有貢獻，他定義的單、多元函數(shù)與現(xiàn)代定義的方法相似，這也證明了柯西思想的超前性。不僅如此，柯西還對函數(shù)的連續(xù)性進行了嚴格的定義，甚至給出了嚴格的證明。微積分里面的概念不再單獨存在，而是以一種體系的形勢存在。一些具有較強邏輯的定義定理及其證明甚至應用都被柯西“組裝”了起來。這讓后人對其研究成果的研讀有著很大的便捷性。

柯西對微積分有非常大的貢獻，比如柯西中值定理及其應用、級數(shù)的柯西收斂準則。微積分在實際生活中也有很強的應用，比如風險投資。許多經(jīng)營者都是微積分“大師”，學好微積分是每個經(jīng)營者、投資者的必備技能。怎樣將微積分的抽象概念應用到現(xiàn)實生活中還需我們努力。

四、柯西對復分析思想的貢獻

1814年柯西關(guān)于定積分的論文，這是他創(chuàng)建復變函數(shù)論的起點，文中他指出歐拉等人運用實過渡到虛的歸納法，就算使用時再小心，都會讓證明過程有缺陷，而且他決定對建立實到虛的移植要使用足夠嚴格的方式，這就是我們說的“柯西積分定理”。還有非常重要的柯西積分公式、柯西留數(shù)定理[6]。

五、展望

目前對柯西的研究仍需進行，柯西發(fā)表的文章等應被翻譯成多個版本，以供大家閱讀，不應只限于大學課本。而且課本內(nèi)容也需進一步豐富，課本中與柯西有關(guān)的定理大部分集中在應用，我們應去挖掘它們的深層含義，讓大家更好地接觸柯西相關(guān)定理的研究過程，并嘗試去發(fā)現(xiàn)新的觀點。

參考文獻：

[1]李曉龍.談柯西對數(shù)學的貢獻[J].河南科技，2013，11（6）：277.

[2]杜質(zhì)亮，趙東方.奧古斯丁·路易斯·柯西：杰出的數(shù)學家[J].華中師范大學學報：自然科學版，1989，23（4）：597-602.

[3]于金青，王淑紅，鄧明立.柯西與早期復分析的發(fā)展[J].河北師范大學學報，2012，42（24）：274-279.

[4]石麗仙.柯西復分析思想探究[D].臨汾：山西師范大學，2013.

[5]張素亮.試論柯西的微積分思想[J].曲阜師范大學學報：自然科學版，1990，16（1）：65-68.

[6]鐘玉泉.復變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2013.