欠定模型下動態(tài)諧波阻抗矩陣的估計

王 亞， 崔 浩， 趙惠詠， 朱英偉

(1. 國網(wǎng)山西省電力公司運(yùn)城供電公司，山西 運(yùn)城，044000；2. 國網(wǎng)湖北省電力有限公司襄陽供電公司，湖北 襄陽，441000；3. 四川大學(xué)電氣信息學(xué)院，四川 成都，610065)

0 引言

隨著電力系統(tǒng)的發(fā)展，大量非線性負(fù)荷并入電網(wǎng)，導(dǎo)致諧波污染問題日益嚴(yán)重，如何準(zhǔn)確定位諧波源及對諧波責(zé)任進(jìn)行準(zhǔn)確劃分亟待解決。諧波源定位成為諧波污染責(zé)任劃分的前提，也是當(dāng)前國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)[1-3]。在諧波源定位過程中，電網(wǎng)的運(yùn)行方式在不斷改變，同時存在一些必要的開關(guān)操作，導(dǎo)致電力系統(tǒng)中諧波源信號和諧波阻抗矩陣處于實時波動的狀態(tài)，從而使得獨(dú)立分量分析獨(dú)立分量分析(independent component analysis，ICA)算法難以實現(xiàn)[4-6]。目前，欠定情形下的諧波源定位是一個更符合實際情況的問題[7]，要求在諧波電壓的量測個數(shù)少于諧波源信號個數(shù)的情況下進(jìn)行諧波阻抗矩陣的估計。

文中諧波阻抗矩陣的估計主要采用基于稀疏表征的兩步法。但電力系統(tǒng)中當(dāng)前時刻存在諧波源信號，在下一時刻可能不存在于電網(wǎng)中；或者說當(dāng)前時刻不存在諧波源信號，在下一時刻可能將突然存在于電網(wǎng)中。此外，環(huán)境對電力系統(tǒng)也存在一定影響，所以基于上述情況下的欠定諧波阻抗矩陣估計，常規(guī)的兩步法已經(jīng)不能對諧波阻抗矩陣的變化時刻做出準(zhǔn)確的判斷和估計[8]，準(zhǔn)確地實現(xiàn)諧波源定位也比較困難。因此，本文對基于欠定模型下動態(tài)諧波阻抗矩陣的估計進(jìn)行了研究和探討。首先采用稀疏域二維最小偏差角估計諧波阻抗矩陣變化時刻，然后采用重構(gòu)觀測信號采樣點(diǎn)搜索方法估計諧波阻抗矩陣和諧波源動態(tài)數(shù)目，最后對比驗證本文方法實現(xiàn)欠定模型下諧波阻抗矩陣變化時諧波阻抗矩陣估計的準(zhǔn)確性和合理性。

1 稀疏信號的特征及表示

將電力系統(tǒng)中諧波阻抗的估計問題抽象為盲源分離問題[9]，在不確定源信號和傳輸通道的條件下，假設(shè)I=[i1,i2,···,in]T是N維相互獨(dú)立的諧波電流源信號，U=[u1,u2,···,um]T是M維關(guān)注母線的諧波電壓的量測值信號，Z表示m×n階的未知阻抗矩陣(m

U=ZI

(1)

欠定模型下的位于公共連接點(diǎn)(point of common coupling，PCC)節(jié)點(diǎn)上的諧波源數(shù)量與諧波阻抗矩陣的估計是以信號具有一定的稀疏性為前提的[10]。稀疏信號在多數(shù)時刻信號的取值為0，則兩個稀疏的諧波源信號幾乎不可能同時出現(xiàn)幅值較大的情況，即多數(shù)時間段最多僅有一個諧波源信號取值占優(yōu)。式(1)可以展開表示為：

(2)

(3)

由式(3)可知，諧波注入電流與量測的諧波電壓和動態(tài)諧波阻抗矩陣有關(guān)。而在估計各節(jié)點(diǎn)的諧波注入電流時諧波阻抗矩陣處于隨時波動的狀態(tài)[11]，所以首先必須估計出動態(tài)變化的諧波阻抗矩陣的變化時刻和變化后的諧波阻抗矩陣。

2 動態(tài)諧波阻抗矩陣的判斷與估計

2.1 動態(tài)變化的諧波阻抗矩陣的判斷

估計諧波阻抗矩陣最關(guān)鍵的一步是檢測其變化時刻[12]。設(shè)在t=0,1,…,T1-1,T1時刻，阻抗矩陣為A,在t=T1+1,T1+2,…,T2-1,T2時刻，阻抗矩陣變?yōu)锽。其中A、B分別是m×p1階和m×p2階未知阻抗矩陣，p1,p2分別為t=0,1,…,T1-1,T1時刻和t=T1+1,T1+2,…,T2時刻的諧波源個數(shù)，且p1,p2>m。u(t)=[u1(t),u2(t),…，um(t)]T是PCC節(jié)點(diǎn)上m個節(jié)點(diǎn)的諧波電壓量測量。對于t=0,1,…,T1-1,T1時刻，稀疏域中的混合模型可表示為：

(4)

(5)

對式(5)的各分量做②式除以①式的變換[13]，再取反正切變換后得：

(6)

(7)

定義初始混合矩陣各列矢量的二維方向角為α0(j)(j=1,2,…,n)：

(8)

由式(6)可知，對i=1,2,…,M的每幀信號的二維觀測信號，其在稀疏域采樣點(diǎn)中必有一些與初始混合矩陣A的某一列向量具有相同或相近的二維方向角。二維稀疏域最小偏差角可表示為：

同樣教授WSET三級的講師秦嶺對此也為學(xué)員喊冤：“首先是學(xué)員有點(diǎn)冤，考三級也花了不少錢，周期也差不多需要半年時間。但是從WSET的專業(yè)角度來說，規(guī)矩已經(jīng)定了，必須要執(zhí)行。其中最大的問題是學(xué)員之間座位分配太近，容易被認(rèn)為作弊。如果現(xiàn)場非常規(guī)范，只是發(fā)抖音視頻的話，可能只針對機(jī)構(gòu)警告或處罰，并不會針對學(xué)生。”

δ(k)=min|αi(k)-α0(j)|

(9)

在i=1,2,…,M的M幀觀測信號中，設(shè)定a,b兩個閾值[15]，a閾值用來判斷第i幀觀測信號的最小偏差角是否超過a，且超出該閾值的采樣點(diǎn)標(biāo)記num(i);b閾值用來判斷超出a閾值的采樣點(diǎn)num(i)占第i幀所有采樣點(diǎn)數(shù)的百分比是否超過b。若判斷連續(xù)穩(wěn)定出現(xiàn)超過a的num(i)所占比例超過b值，則認(rèn)為諧波阻抗矩陣發(fā)生波動。

2.2 動態(tài)變化的諧波阻抗矩陣的估計

判斷了諧波阻抗矩陣的動態(tài)變化時刻后，在阻抗矩陣波動前后通過量測不同時刻的母線節(jié)點(diǎn)的諧波電壓對不同時間段的阻抗矩陣進(jìn)行估計。以t=0,1,…,T1-1,T1時間段為例，阻抗矩陣A沒有發(fā)生改變，由(5)得：

(10)

(11)

在欠定模型下的諧波源定位，需要知道諧波源的數(shù)目。針對諧波源數(shù)目動態(tài)變化的情況，由于諧波源數(shù)目與諧波阻抗矩陣的列數(shù)相同，為隨時波動的變量，采用上述方法估計出某一時刻諧波阻抗矩陣的列數(shù)便可以得到動態(tài)變化的諧波源數(shù)目。

3 欠定模型下動態(tài)諧波阻抗矩陣估計步驟

(1) 選取適當(dāng)?shù)奶幚碛?。將諧波電壓的量測信號變換到該處理域中，目的是使得諧波電壓的觀測信號盡可能的稀疏化。

(2) 判斷諧波阻抗矩陣是否發(fā)生變化。如果沒有發(fā)生變化，跳轉(zhuǎn)至步驟(3)；若諧波阻抗發(fā)生變化，使用2.1節(jié)的方法判斷阻抗發(fā)生變化的時刻T1，跳轉(zhuǎn)至步驟(3)。

(3) 采用2.2節(jié)的方法對諧波阻抗矩陣及諧波源個數(shù)進(jìn)行估計。

4 仿真實驗分析

4.1 仿真模型的建立

實驗仿真使用MATLAB 8.1編程，在圖1所示系統(tǒng)上進(jìn)行測試分析，在持續(xù)2 s的時間內(nèi)對動態(tài)諧波阻抗進(jìn)行估計。諧波電流源設(shè)置在節(jié)點(diǎn)5，10，14，使諧波源在電氣與地理中均相隔較遠(yuǎn)，其中設(shè)置節(jié)點(diǎn)5的諧波源在1～2 s內(nèi)消失。初步選取兩個諧波電壓的量測節(jié)點(diǎn)，關(guān)注節(jié)點(diǎn)5和10，兩個諧波電壓的量測節(jié)點(diǎn)觀測的諧波電壓的波形如圖2。在欠定模型下對諧波阻抗矩陣的變化時刻進(jìn)行估計。全部的仿真過程在一臺處理器主頻為2.33 GHz，內(nèi)存為2.00 GB的HP計算機(jī)上進(jìn)行。

圖1 IEEE-14節(jié)點(diǎn)仿真系統(tǒng)Fig.1 IEEE-14 node simulation system

圖2 諧波電壓的量測節(jié)點(diǎn)觀測的混合信號的波形Fig.2 Observation waveform of mixed signal of harmonic voltage measurement node

4.2 諧波阻抗估計過程

假設(shè)在IEEE-14系統(tǒng)中同時注入非線性負(fù)荷，其數(shù)據(jù)來源于New York ISO[17]。信號持續(xù)的時間為2 s，采樣頻率為1000 Hz，取閾值b=50%，分析各幀諧波電壓的量測信號的最小偏差角超出一定角度的num(i)在該幀所有采樣點(diǎn)中所占比例的變化曲線如圖3所示。其中第十幀以后的信號均超過了閾值b，前十幀信號的num(i)都穩(wěn)定的小于閾值b。故可分析得0～1 s的時間波阻抗矩陣沒有發(fā)生變化，1～2 s的時間諧波阻抗矩陣發(fā)生了變化。

圖3 各幀觀測信號的num(i)百分比變化曲線Fig.3 Change curve of num(i) percentage of observed signals in each frame

對1～2 s已經(jīng)發(fā)生變化的阻抗矩陣進(jìn)行估計，設(shè)定搜索子區(qū)間Q=100。對變化后的某一列阻抗矩陣進(jìn)行估計，如圖4所示。圖4(a)表示諧波電壓量測值的全部重構(gòu)采樣點(diǎn)組合的散點(diǎn)圖；圖4(b)表示Q=100的所有子區(qū)間內(nèi)分布的采樣點(diǎn)個數(shù)；圖4(c)表示在重構(gòu)諧波電壓量測信號對區(qū)間重新進(jìn)行分割搜索后采樣點(diǎn)的散點(diǎn)圖。結(jié)合圖4(c)的采樣數(shù)據(jù)和公式(11)即能估計出某一列諧波阻抗矩陣，最后再估計變化后的諧波阻抗矩陣。

圖4 混合矩陣某一列的估計過程Fig.4 Estimation process of a mixed matrix column

4.3 諧波阻抗的估計結(jié)果對比分析

截取諧波阻抗矩陣0～2 s的幅值變化曲線，對比分析實際值、基于稀疏表示的兩步算法和基于本文算法估計得到IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)5、節(jié)點(diǎn)10、節(jié)點(diǎn)14的諧波阻抗幅值，其分布情況如圖5所示。

圖5 諧波阻抗的幅值估計Fig.5 Amplitude estimation of harmonic impedance

各節(jié)點(diǎn)由上至下的3個波形分別為實際諧波阻抗幅值波形，稀疏表示法估計的諧波阻抗幅值波形和本文算法估計的諧波阻抗幅值波形。采用稀疏表示算法的估計值和本文算法估計得到的諧波阻抗與實際諧波阻抗之間存在誤差，但本文算法估計得到的諧波阻抗更接近實際值。圖5(a)中，在0～1 s時，稀疏表示法還可以大致估計諧波幅值的變化趨勢，但在1～2 s時，實際諧波阻抗幅值變化較小，比較穩(wěn)定，稀疏表示法完全失真，而本文算法仍能夠準(zhǔn)確估計諧波阻抗矩陣，同時節(jié)點(diǎn)5的諧波阻抗幅值在1～2 s的變化驗證了該諧波源在該時段消失。

為了進(jìn)一步確定本文算法和稀疏表示算法估計的諧波阻抗與實際值之間的誤差，表1給出了圖5中諧波阻抗幅值的仿真結(jié)果，表中的相似系數(shù)是描述估計諧波阻抗矩陣和實際諧波阻抗矩陣相似性的參數(shù)，定義為：

(12)

表1 諧波阻抗估計的相似系數(shù)Tab.1 Similarity coefficient of harmonicimpedance estimation

通過表1的相似系數(shù)可以看出，從估計精度上比較，在0～1 s時，稀疏表示法和本文算法都能以較高的估計精度估計出諧波阻抗矩陣，本文方法對于節(jié)點(diǎn)5、節(jié)點(diǎn)14的諧波阻抗矩陣估計精度略高一些；對節(jié)點(diǎn)10的估計精度較低一些。在1～2 s時，本文方法仍能以較高的估計精度估計諧波阻抗矩陣，而稀疏表示法估計失敗。因此，使用常規(guī)的稀疏表示算法是不能適應(yīng)信源及信道動態(tài)變化情況的。從估計速度上比較，本文方法的估計速度約是基于稀疏表示算法的95倍。如果只考慮在混合矩陣未發(fā)生變化的0～1 s時段混合諧波阻抗的估計，稀疏表示法雖然能估計出諧波阻抗矩陣，但速度也不及本文方法。在同等仿真環(huán)境下，只對0～1s時段混合諧波阻抗的估計仿真表明，稀疏表示法的估計速度是20.370 s，本文方法的估計速度是0.304 s?？傊?，在本文方法中，由稀疏域中觀測信號的一些采樣點(diǎn)，可以在判斷諧波阻抗矩陣是否發(fā)生變化的同時，對動態(tài)變化的諧波阻抗矩陣完成估計并獲得動態(tài)源信號的數(shù)目；而稀疏表示法沒有對動態(tài)變化的混合矩陣采取判斷和估計，只是對原觀測信號直接進(jìn)行估計，因此估計失敗。

5 結(jié)語

針對欠定模型下電力系統(tǒng)中諧波源信號時而出現(xiàn)時而消失，時變諧波源的數(shù)量導(dǎo)致諧波阻抗動態(tài)變化的問題，本文提出改進(jìn)稀疏表征的兩步算法估計諧波阻抗。該方法應(yīng)用到工程實際中的前提是確保每一個待估計的諧波源信號具有稀疏性。該方法的優(yōu)點(diǎn)是克服了時變諧波源數(shù)量對諧波阻抗的影響，可以判斷諧波阻抗變化的時刻及精確估計諧波阻抗矩陣。通過MATLAB仿真軟件進(jìn)行IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的仿真驗證，結(jié)果表明，在欠定模型下改進(jìn)稀疏表征的兩步算法估計諧波阻抗具有精確性和合理性，并且在信號的采樣點(diǎn)處無需優(yōu)化，因此本文所提方法比稀疏表示法估計速度快了十多倍。通過本文方法為諧波源定位奠定了基礎(chǔ)，比如諧波源定位設(shè)備的選型、安裝位置等，具有廣闊的應(yīng)用前景。