基于統(tǒng)計能量分析的熱效應(yīng)對高頻聲振響應(yīng)影響研究

王用巖，金偉，付煥兵，黃虎

（中國航空工業(yè)集團公司 成都飛機設(shè)計研究所，成都 610091）

隨機激勵下結(jié)構(gòu)聲振響應(yīng)問題是工程中的常見問題，如高速飛行器在飛行過程中會面臨復(fù)雜的振動、噪聲和熱環(huán)境[1-3]，此時熱效應(yīng)對聲振響應(yīng)的影響不可忽略。針對此問題，相關(guān)學(xué)者開展了一系列涉及熱效應(yīng)的聲振響應(yīng)分析研究。Avsec等[4]進行了簡支梁和固支梁在熱環(huán)境下聲振響應(yīng)分析，Jeyaraj等[5]，Liu和 Li[6]，Kumar等[7]分別研究了熱效應(yīng)對各向同性板、復(fù)合材料板和功能梯度材料板聲振響應(yīng)的影響。這些研究主要集中在中低頻段，在高頻段熱效應(yīng)對聲振響應(yīng)影響的研究鮮有報道。

高頻聲振響應(yīng)問題的求解方法有統(tǒng)計能量分析（Statistical Energy Analysis, SEA）、能量有限元等。Zhang等[8]和 Wang等[9]利用能量有限元法分別研究了熱效應(yīng)對高頻激勵下梁和板聲振響應(yīng)的影響。統(tǒng)計能量分析是現(xiàn)階段高頻聲振響應(yīng)問題最常用的求解方法，針對此方法已經(jīng)有比較多的研究[10-11]，但是目前鮮見專門針對SEA的熱效應(yīng)影響研究。

板殼結(jié)構(gòu)是統(tǒng)計能量分析中最常用的子系統(tǒng)，文中以L型耦合板為例，研究熱效應(yīng)對統(tǒng)計能量分析中重要參數(shù)的影響。分別利用波法和有限元法（Finite element method, FEM）分析了不同溫度下材料參數(shù)和熱應(yīng)力對耦合損耗因子的影響，以此來得到熱效應(yīng)對高頻聲振響應(yīng)的影響規(guī)律。

1 統(tǒng)計能量分析

統(tǒng)計能量分析是求解高頻聲振響應(yīng)問題的有效方法，現(xiàn)在已經(jīng)廣泛應(yīng)用到航空航天等各領(lǐng)域。在統(tǒng)計能量分析中，能量是主要控制變量，其他變量如位移、應(yīng)力等，均由能量計算而來。能量平衡方程為[10]：

式中：L是由耦合損耗因子和內(nèi)損耗因子組成的矩陣；E是各子系統(tǒng)能量；Pin是輸入功率，f是分析頻帶的中心頻率。由式（1）可知，要求得各子系統(tǒng)的能量分布，需要確定三個重要參數(shù)：輸入功率、內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子。

對于單點激勵，板的輸入功率為：

式中：｜F｜為激勵力的幅值；Zm為激勵點的阻抗，當(dāng)分析頻率較高時，與無限大結(jié)構(gòu)的阻抗 Z∞相近。無限大板的阻抗為：

式中：Y、ρ和 μ分別為材料的彈性模量、密度和泊松比；h為板的厚度。熱效應(yīng)對輸入功率的影響主要體現(xiàn)在材料參數(shù)的變化上，主要是彈性模量的變化。

內(nèi)損耗因子大小為子系統(tǒng)阻尼比的2倍，通常由試驗測得。熱效應(yīng)對它的影響同樣體現(xiàn)在材料參數(shù)的變化上。熱效應(yīng)對輸入功率和內(nèi)損耗因子的影響較為單一，文中不再作具體分析。相對而言，熱效應(yīng)對耦合損耗因子的影響較為復(fù)雜，一方面是溫度變化引起材料參數(shù)的變化，主要是指材料彈性模量發(fā)生變化，另一方面是熱應(yīng)力的影響，使得結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生變化。耦合損耗因子最常用的計算方法是波法[12-13]，但是此方法僅能考慮材料參數(shù)變化造成的影響，而不能考慮熱應(yīng)力的影響。有限元法能夠有效解決中低頻聲振響應(yīng)問題，求得結(jié)構(gòu)的耦合損耗因子[14-15]。在某些情況下，如結(jié)構(gòu)簡單、網(wǎng)格劃分密集時，可進行拓展從而解決中高頻問題[16]。文獻[14-16]的計算結(jié)果表明，雖然有限元法計算出耦合損耗因子與波法結(jié)果不完全一致，但是也有一定的參照意義。文中在這些工作的基礎(chǔ)上，結(jié)合有限元法在處理熱問題和預(yù)應(yīng)力問題時的優(yōu)勢，利用有限元法分析熱效應(yīng)對耦合損耗因子的影響，進而得到熱效應(yīng)對高頻聲振響應(yīng)問題的影響，具有一定的工程參考意義。

2 耦合損耗因子計算

文中在計算耦合損耗因子時主要利用的是有限元法，波法計算出的結(jié)果作為參照對比。SEA中最常用的子系統(tǒng)為梁和板結(jié)構(gòu)，文中選取典型的L型耦合板為研究對象，梁的計算結(jié)果與此類似。

2.1 波法計算

L型耦合板如圖 1所示，利用波法[14-15]對兩板間的耦合損耗因子進行計算。如圖1所示，兩板在相應(yīng)坐標(biāo)系下的三個位移分量分別為un、vn、wn（n=1,2，為所在板的編號）。入射角為 θ的彎曲波入射時，將在兩板上產(chǎn)生反射行波、透射行波以及反射近場波、透射近場波，彎曲、拉伸和剪切波與x軸的夾角分別為 αn、βn、γn，則 α1=θ。

由Snell定律得，一列行波在邊界發(fā)生反射或透射時，其反射波或透射波在平行于邊界面的方向波數(shù)必須相等，即有：

式中：kBn、kLn、kTn分別為板n的彎曲波數(shù)、拉伸波數(shù)、剪切波數(shù)，可由式（3）求得：

式中：f為分析頻率；cBn、cLn和cTn分別為三種波的相速度。

各種波的具體形式表示如下：

反射和透射近場波

投射和反射拉伸、剪切波與式（7）類似。根據(jù)邊界處的位移連續(xù)條件，轉(zhuǎn)角連續(xù)條件，彎曲平衡條件和力平衡邊界條件，可將波的能量求出。

對混響聲場，板1彎曲入射波對板2彎曲波的耦合損耗因子為：

式中：l12為兩板交線長度；A1為板 1面積；cg1為波群速度。其他各種波形對應(yīng)的耦合損耗因子可用類似方法求出。

2.2 有限元法計算

結(jié)構(gòu)振動方程的有限元形式為[17]：

式中：Ks、Cs、Ms分別為結(jié)構(gòu)的剛度、阻尼和質(zhì)量矩陣；dj為節(jié)點位移；Fs為激勵力；ω為圓頻率。

利用有限元法可求得節(jié)點位移，進一步可求出結(jié)構(gòu)的振動能量為：

式中：EKE和EPE分別為振動的動能和勢能最大值。

當(dāng)溫度變化不大時，材料的密度通常變化不大，故 Ms保持不變；材料阻尼(內(nèi)損耗因子)隨溫度的變化這里也不再考慮，故 Cs保持不變。熱效應(yīng)對剛度矩陣的影響分為兩方面：一是材料參數(shù)隨溫度變化，引起彈性模量發(fā)生變化；二是熱應(yīng)力引起剛度矩陣發(fā)生變化。

當(dāng)溫度發(fā)生變化時，式（11）修正為：

式中：KT是材料參數(shù)變化引起的剛度矩陣變化量；Kσ是熱應(yīng)力引起的附加剛度矩陣。求解式（12）后，再利用式（11）可求得考慮熱效應(yīng)后結(jié)構(gòu)的振動能量。

當(dāng)只有兩個子系統(tǒng)時，SEA的控制方程為：

式中：ηn、En、Pn分別為板n的內(nèi)損耗因子、振動能量和輸入功率；η12和η21為兩子系統(tǒng)間耦合損耗因子。

當(dāng)兩個子系統(tǒng)相同時，η12=η21；如果只在子系統(tǒng)1上施加激勵，則P2=0，由式（14）得：

板的振動可分為三種形式，即彎曲、拉伸和剪切振動。在SEA中，這三種振動被區(qū)分為三類子系統(tǒng)。在FEM中，這三種變形耦合到一起難以區(qū)分。在薄板假設(shè)條件下，結(jié)構(gòu)在受到垂直于板面方向的激勵時主要為彎曲振動，此時可近似地把板的振動能量等效為彎曲波的能量。在式（15）中，內(nèi)損耗因子是已知的，子系統(tǒng)的能量通過計算得到，然后可求出結(jié)構(gòu)間彎曲-彎曲的耦合損耗因子，這也是SEA中最常用的耦合損耗因子。

3 算例研究

3.1 分析模型

文中采用典型的L型耦合板為研究對象，如圖2所示。激勵位置為板1中心處，激勵力為幅值為1 N的簡諧力，除耦合邊外其他邊均固支。

板的材料為鋁合金，邊長為0.4 m，厚度為6 mm，材料參數(shù)見表1。彈性模量隨溫度變化而變化，隨溫度變化的材料參數(shù)H可表示為[18]：

式中：H0、H-1、H1、H2和H3為溫度T的系數(shù)，見表2。計算可得，材料彈性模量在20 ℃ （293 K）時為 71.1 GPa，60 ℃時為 66.5 GPa，320 ℃時為47.7 GPa。

表1 板材料參數(shù)

表2 鋁合金彈性模量的熱相關(guān)參數(shù)

SEA主要用于處理高頻問題，耦合損耗因子在高頻段才具有意義。同時，由于FEM在處理高頻問題時具有限制，計算頻率不能過高，因此文中設(shè)置的分析頻帶為400～5000 Hz，計算的頻率間隔為20 Hz。

3.2 FEM計算結(jié)果驗證

有限元分析使用軟件ANSYS完成，板結(jié)構(gòu)采用Shell181單元進行計算。因分析頻率較高，故網(wǎng)格需劃分十分密集，為了兼顧計算效率和計算精度，需對網(wǎng)格收斂性進行考查。經(jīng)過驗證，0.002 m的網(wǎng)格可以滿足計算精度要求。

利用波法和有限元法計算出板的耦合損耗因子如圖3所示，F(xiàn)EM 計算結(jié)果在頻域上存在一個比較大的波動。為了便于與波法結(jié)果作比較，需將 FEM計算結(jié)果擬合為一條光滑的曲線。直接將FEM曲線進行擬合結(jié)果并不理想，由于波法計算出的耦合損耗因子在雙對數(shù)坐標(biāo)下為一條直線，因此在雙對數(shù)坐標(biāo)系下將FEM計算出的耦合損耗因子進行擬合。FEM曲線上的數(shù)據(jù)點(xi, yi)，轉(zhuǎn)化到對數(shù)坐標(biāo)下變?yōu)?lg(xi),lg(yi))，利用最小二乘法擬合為直線 y=kx+b, 則轉(zhuǎn)化到線性坐標(biāo)下的曲線方程為lg(y)=klg(x)+b，在圖中記為”Fitted FEM”。

由圖3可知，波法和擬合前的FEM計算結(jié)果在高頻段比較接近，在低頻段差距較大。造成這一差距的原因是多方面的：第一，兩種方法在輸入功率計算和邊界條件處理等方面有所不同，尤其在低頻段，邊界條件造成影響較大；第二，波法主要用于求解頻率較高時的耦合損耗因子，而FEM則主要用來解決低頻問題，這兩種方法在求解時存在自身的局限性；第三，F(xiàn)EM計算時將所有的能量等效為彎曲振動能量，而波法同時考慮了彎曲、拉伸、剪切三種波形，這也會造成一定誤差。擬合后的FEM與波法計算出的耦合損耗因子相比，整體趨勢上一致，具體數(shù)值上有一定差距，但是差距有限。

總的來說，利用FEM和波法計算出的耦合損耗因子，雖然存在一些差距，但是從整體上看，兩種方法的計算結(jié)果仍然是相近的，其他文獻[10,15]的一些計算結(jié)果也在某種程度上說明了這一點。在 SEA中，波法是最常用的耦合損耗因子計算方法，其計算結(jié)果已經(jīng)得到認可，通過FEM和波法的計算結(jié)果對比，說明對于文中所研究的 L 型耦合板結(jié)構(gòu)，在關(guān)注的頻帶（400～5000 Hz）范圍內(nèi)，利用FEM計算出的耦合損耗因子是可信的。

3.3 不同溫度下材料參數(shù)對耦合損耗因子的影響

在不同溫度下，結(jié)構(gòu)材料參數(shù)有所不同，主要是彈性模量發(fā)生變化。20 ℃和 60 ℃時計算出的板耦合損耗因子如圖4所示。從圖4可知，波法計算出的不同溫度下耦合損耗因子幾乎完全一致，F(xiàn)EM 計算出的結(jié)果在橫坐標(biāo)上有一個比較小的偏移量，對結(jié)果影響不大。

20 ℃和 60 ℃時板的固有頻率見表 3，可以看出，60 ℃時板的各階固有頻率相對于 20 ℃時變化很小，減小約為3.23%。不論低階還是高階固有頻率，其減小幅度是一致的。可以用四邊簡支矩形薄板的固有頻率計算公式對此現(xiàn)象進行說明。

表3 不同材料參數(shù)下板的固有頻率

長和寬分別為a和b的矩形薄板，第(i, j)階的彎曲固有頻率ωi,j為：

則板的各階固有頻率變化率為：

將溫度變化的幅度增大，在 320 ℃時材料的彈性模量為 47.7 GPa，結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性也會有顯著變化。由式（18）可知，320 ℃時板的各階固有頻率相對于20 ℃時大約減小18%。此時，板的耦合損耗因子如圖5所示，與固有頻率的變化規(guī)律相同，當(dāng)溫度升高后，耦合損耗因子在整體上有所減小。利用波法計算出的耦合損耗因子，320 ℃的值小于20 ℃時的值 10%左右，F(xiàn)EM 的計算結(jié)果雖然與波法有一定差距，但是在溫度改變時曲線變化規(guī)律與波法一致，這從某種程度上也證明了FEM計算耦合損耗因子方法的可靠性。

總的來說，溫度變化時材料參數(shù)的改變會使結(jié)構(gòu)間耦合損耗因子整體上發(fā)生變化，當(dāng)溫度升高時材料彈性模量減小，對應(yīng)的耦合損耗因子有所減小，溫度降低時結(jié)果相反。耦合損耗因子變化的幅度由溫度改變的大小控制，當(dāng)溫度變化較小時（40 ℃），材料參數(shù)變化對耦合損耗因子的影響可以忽略不計；當(dāng)溫度變化較大時（300 ℃），耦合損耗因子受一定影響，但變化幅度并不是特別大。

3.4 熱應(yīng)力對耦合損耗因子的影響

如圖 2所示的四邊固支板，溫度由 20 ℃變?yōu)?0 ℃時，固支板受到壓應(yīng)力作用，其應(yīng)力分布如圖6所示。除個別應(yīng)力集中位置處，板的絕大部分位置應(yīng)力為100 MPa左右，這已經(jīng)可以表征出比較惡劣的溫度變化環(huán)境。

零應(yīng)力（Standard）和壓應(yīng)力（Δt=40 ℃）作用下板的固有頻率見表4。從表4中可以看出，壓應(yīng)力作用后板的固有頻率有所減小，尤其是前幾階固有頻率減小的幅度很大，當(dāng)階次升高后，兩種狀態(tài)板的固有頻率變得比較接近。第66到68階固有頻率，兩者的差距不超過 4%。兩種狀態(tài)下計算出的耦合損耗因子如圖7所示，其分布規(guī)律與固有頻率一致，均是在頻率較低處有一定差距（擬合曲線“中和”了原曲線的一些細節(jié)，因而比較接近），在頻率較高時壓應(yīng)力的作用對板的耦合損耗因子幾乎無影響。

表4 壓應(yīng)力(20～ 60 ℃)作用下板的固有頻率

零應(yīng)力和拉應(yīng)力作用下板的耦合損耗因子如圖8所示，曲線分布規(guī)律與如圖7一致，拉應(yīng)力作用使得頻率較低處板的耦合損耗因子產(chǎn)生了一定變化，而對頻率較高處計算出的耦合損耗因子影響很小。熱應(yīng)力的施加會使結(jié)構(gòu)的固有頻率產(chǎn)生一定變化，其中，拉應(yīng)力會使結(jié)構(gòu)固有頻率增大，壓應(yīng)力會使結(jié)構(gòu)固有頻率減小。預(yù)應(yīng)力會使結(jié)構(gòu)前幾階固有頻率產(chǎn)生比較大的變化，而對高階固有頻率的影響有限。與之相對應(yīng)，預(yù)應(yīng)力的施加會使低頻段結(jié)構(gòu)的耦合損耗因子產(chǎn)生比較大的變化，而對高頻段的耦合損耗因子影響較小

3.5 熱應(yīng)力對耦合損耗因子的影響

將材料參數(shù)變化和熱應(yīng)力的影響疊加，綜合考慮熱效應(yīng)對耦合損耗因子的影響。當(dāng)溫度由20 ℃變?yōu)?0 ℃時，熱效應(yīng)對 L型板固有頻率的影響見表 5。該表可以看作是表3和表4的疊加。熱效應(yīng)使低階固有頻率變化較大，這主要是熱應(yīng)力作用的影響。此時，材料參數(shù)變化和熱應(yīng)力對結(jié)構(gòu)的高階固有頻率影響不大，故此時熱效應(yīng)的影響也有限。

表5 熱效應(yīng)對板固有頻率影響

當(dāng)溫度由 20 ℃變?yōu)?60 ℃時，熱效應(yīng)對 L 型板耦合損耗因子的影響如圖9所示。由于溫度變化幅度比較小，材料參數(shù)變化有限，所以熱效應(yīng)的影響主要體現(xiàn)在熱應(yīng)力作用上。因此，圖9中曲線與圖7類似，在低頻段熱效應(yīng)的影響較明顯，在高頻段熱效應(yīng)的影響有限。

5 結(jié)論

有限元法在工程中常用于解決低頻問題，但是在結(jié)構(gòu)簡單、網(wǎng)格劃分足夠密集時可作適當(dāng)拓展用于解決中高頻問題。在400～5000 Hz頻帶范圍內(nèi)，文中利用FEM 計算了L型板線連接的耦合損耗因子，其計算結(jié)果與波法計算結(jié)果基本一致，證明了FEM計算耦合損耗因子的有效性。

熱效應(yīng)對耦合損耗因子影響可分為兩方面：一方面是溫度變化引起材料參數(shù)變化；另一方面是溫度變化會使結(jié)構(gòu)受到熱應(yīng)力作用。以固支板為研究對象，利用波法和 FEM，研究了溫度變化時材料參數(shù)變化對耦合損耗因子的影響：在溫度升高時，材料彈性模量降低，會使結(jié)構(gòu)的各階固有頻率有所降低，耦合損耗因子在整體上會有所減??；溫度降低時結(jié)果相反。利用 FEM研究了熱應(yīng)力對耦合損耗因子的影響：熱應(yīng)力對模態(tài)的影響主要體現(xiàn)在低頻段，對高頻段的影響有限；與之相對應(yīng)，熱應(yīng)力對低頻段（此低頻段指的是在400～5000 Hz中頻率相對較低的頻段，實際上也屬于高頻范疇）耦合損耗因子的影響較大，對高頻段耦合損耗因子的影響較小。

分析計算表明，在通常情況下，熱效應(yīng)對耦合損耗因子的影響，低頻段需要考慮材料參數(shù)變化和熱應(yīng)力共同作用，而在高頻段主要考慮材料參數(shù)變化即可。熱效應(yīng)對耦合損耗因子的影響，實際上體現(xiàn)的是熱效應(yīng)對聲振耦合問題響應(yīng)的影響。當(dāng)溫度變化較大時，熱應(yīng)力較大，此時熱效應(yīng)對 SEA 的影響不可忽略，尤其是在低頻段，熱效應(yīng)的影響更為明顯。