積分在求和中的應(yīng)用

（丹東市中醫(yī)藥學(xué)校 遼寧丹東 118000）

一、問(wèn)題研究的背景

數(shù)學(xué)是一門(mén)應(yīng)用性極強(qiáng)的學(xué)科， 積分學(xué)及其應(yīng)用作為高等數(shù)學(xué)的一個(gè)分支， 在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中的意義就更為顯著。它不僅是一門(mén)重要的數(shù)學(xué)分支， 而且在物理學(xué)， 生物學(xué)， 經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域及各種工程學(xué)科中有著極其重要的應(yīng)用。

微積分是世界近代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容， 也是近代數(shù)學(xué)進(jìn)一步發(fā)展和拓展的重要基礎(chǔ)。微積分思想的萌芽出現(xiàn)得比較早， 中國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)代的《 莊子? 天下》 篇中的" 一尺之棰， 日取其半， 萬(wàn)事不竭" ， 就蘊(yùn)涵了無(wú)窮小的思想。古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在公元前三世紀(jì)運(yùn)用杠桿原理推導(dǎo)出了球體的體積公式， 就包含了定積分的基本原理。之后， 帕斯卡在求曲邊圖形的面積時(shí)， 用到了“無(wú)窮小矩形”的思想并把無(wú)窮小概念引入數(shù)學(xué)， 為后來(lái)萊布尼茨的微積分的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。

積分求和是伴隨著微積分學(xué)一起發(fā)展起來(lái)的學(xué)科。 1686年， 萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無(wú)限的分析》， 初步論述積分或求積問(wèn)題與微分或切線問(wèn)題的互逆關(guān)系。在這篇論文中， 積分號(hào)第一次出現(xiàn)在出版物上。積分求和有著深刻而生動(dòng)的實(shí)際背景， 它從生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生， 又成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具。積分求和成為了有自己的目標(biāo)和方法的新的數(shù)學(xué)分支。

近年來(lái)， 國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)積分求和做了許多研究， 無(wú)論是在深度還是廣度方面都取得了重大發(fā)展。 積分求和在理論和實(shí)踐過(guò)程中起著非常重要的作用。

二、本文的主要工作

第一部分給出積分的一些相關(guān)性質(zhì)， 這些性質(zhì)將為我們對(duì)積分在求和問(wèn)題中的研究奠定基礎(chǔ)。

第二部分利用積分的一般理論來(lái)找尋積分在求和應(yīng)用中的例子。

第三部分利用積分性質(zhì)， 逐步延深到積分在求和中的應(yīng)用。

三、預(yù)備知識(shí)

首先引入了一些性質(zhì)， 并再借助這些性質(zhì)簡(jiǎn)要介紹了本研究領(lǐng)域的發(fā)展現(xiàn)狀及相關(guān)結(jié)論。

主要性質(zhì)

（1）性質(zhì)，設(shè)f是定義在[a,b]上的函數(shù)，a＜c＜b， 則f在[a,b]上可積的充分必要條件是f在[a,c]和[c,b]上都可積， 此時(shí)

它表示曲線y=f(x)與直線x=a，x=b和y=0圍成的圖形面積的代數(shù)和。

（2）性質(zhì)設(shè)f在[a,b]上連續(xù)， 則至少存在一點(diǎn)∈[a,b]， 使得

四、主要結(jié)果

本文主要論證的是積分在數(shù)列求和中的應(yīng)用， 下面通過(guò)舉例闡述應(yīng)用。

1.積分在數(shù)列求和中的應(yīng)用

通過(guò)上述例子說(shuō)明， 利用積分直接計(jì)算數(shù)列的和的問(wèn)題， 是一種較好的解題方法， 同時(shí)， 也使我們認(rèn)識(shí)到初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

2.積分在幾何， 經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

解 利用參數(shù)方程

與對(duì)稱(chēng)性得

例2 某公司投資2000萬(wàn)元建成一條生產(chǎn)線投產(chǎn)后， 在時(shí)刻t的追加成本和追加收益分別為（百萬(wàn)元/年）和=1 7（百萬(wàn)元/年）， 試確定該生產(chǎn)線在何時(shí)停產(chǎn)便可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

解t時(shí)刻的利潤(rùn)

由極值存在的必要條件可知取得最大利潤(rùn)的時(shí)刻即最大停產(chǎn)時(shí)刻， 應(yīng)滿足L′(t)=0，得，

故生產(chǎn)在投產(chǎn)8年時(shí)可獲最大利潤(rùn)， 其毛利潤(rùn)為

考慮到固定成本是2000萬(wàn)元， 可得最大凈利潤(rùn)

通過(guò)上述三例說(shuō)明， 積分在不同學(xué)科內(nèi)的應(yīng)用， 是一種較好的解題方法， 同時(shí)， 也使我們認(rèn)識(shí)到積分與其他學(xué)科之間的內(nèi)在聯(lián)系。