利用空間平滑的協方差秩最小化DOA估計方法

王洪雁，房云飛，裴炳南

(1. 大連大學 遼寧省北斗高精度位置服務技術工程實驗室，遼寧 大連 116622；2. 大連大學 大連市環(huán)境感知與智能控制重點實驗室，遼寧 大連 116622)

在雷達、移動通信、聲吶等領域，波達方向角(Direction Of Arrival，DOA)估計一直是熱門研究方向之一[1-2]．在眾多波達方向角估計方法中，以多重信號分類(MUltiple SIgnal Classification，MUSIC)為代表的子空間類算法[3]具有較高的角度估計精度和分辨力．然而，在相干信號和非均勻噪聲條件下，由于信號協方差矩陣秩虧及其主對角元素非均勻性導致協方差矩陣特征空間的主特征矢量無法張成整個信號空間，從而導致基于子空間的波達方向角估計算法性能顯著下降[4-5]．為改善非均勻噪聲下波達方向角估計性能，文獻[6]提出一種最大似然(Maximum Likelihood， ML)估計算法，通過求解信號和噪聲的對數似然函數以實現波達方向角估計，但最大似然算法的較大運算復雜度限制了該算法的應用．文獻[7]提出一種改善的協方差矩陣稀疏表示波達方向角估計方法，主要通過數學線性變換剔除非均勻噪聲成分以消除非均勻噪聲影響，但算法剔除操作將會導致協方差部分信息損失．基于此，文獻[8]提出一種基于矩陣補全的波達方向角估計(Matrix Completion based MUSIC，MC-MUSIC)方法，基于矩陣補全理論[9]將協方差矩陣重構為無噪聲信號協方差矩陣以抑制非均勻噪聲的影響，而后通過傳統MUSIC算法實現波達方向角估計．然而，該算法沒有考慮相干信號對波達方向角估計性能的影響．

近年來，眾多相干信號和非均勻噪聲條件下的波達方向角估計算法相繼被提出．文獻[10]基于傳統空間平滑理論[11]提出一種改進的空間平滑算法，首先將子陣輸出的自相關矩陣進行互相關，而后基于前后向互相關矩陣的均值獲得較好的信號空間譜估計．然而，該算法沒有考慮非均勻噪聲的情況，且由于將陣列分成若干子陣，使得陣列孔徑減小，進而降低了算法的分辨率，從而限制了該算法的應用[12]．文獻[4]提出一種基于最小二乘和空間平滑的波達方向角估計算法，該算法通過迭代消除非均勻噪聲影響，并利用空間平滑方法實現相干源波達方向角估計，具有較好的波達方向角估計性能，但算法需要迭代初始值選取，且計算量較大．文獻[13]則提出一種協方差矩陣秩跡最小化(Rank and Trace Minimization，RTM)算法，利用協方差矩陣低秩特性將無噪聲協方差矩陣低秩問題轉化為噪聲功率最大化問題，以此求得未知的非均勻噪聲功率，而后利用接收信號和非均勻噪聲協方差矩陣之差實現波達方向角估計．然而，在信號相干條件下，由于接收信號協方差矩陣秩進一步降低，可能導致算法所得協方差矩陣秩低于真實值，從而無法保證該算法的波達方向角估計性能[4]．

針對上述問題，筆者基于空間平滑方法提出一種協方差秩最小化(Spatial Smoothing based Covariance Rank Minimization，SS-CRM)波達方向角估計算法．在非均勻噪聲和相干信號下及在傳統空間平滑方法基礎上，所提算法將接收信號協方差矩陣分別左右乘交換矩陣以得到空間后向平滑協方差矩陣，從而降低信號的相干性，且平滑后的陣列孔徑保持不變，保證了算法的分辨率; 而后基于平滑矩陣的低秩性，通過協方差秩最小化算法得到非均勻噪聲功率，并利用空間平滑協方差和噪聲協方差矩陣之差得到無噪聲協方差矩陣，從而抑制非均勻噪聲的影響;最后利用傳統MUSIC算法實現波達方向角估計．

1 問題描述

(1)

其中，x(t)為接收信號矢量；a(θl)=[1，exp(-jα)，…，exp(-j (M-1)α)]T，為第l個信源的陣列導向矢量；α= 2πdsinθl/λ，為相鄰陣元之間的相位差；d和λ分別為陣元間距和信號波長，通常d≤λ/2;n(t)= [n1(t)，…，nM(t)]，為不相關的非均勻高斯噪聲，且n(t)～CN(0，Q)，Q為非均勻噪聲協方差功率矩陣; 窄帶信號sl(t)互不相關．

為便于推導，式(1)接收信號模型可改寫為

x(t)=As(t)+n(t) ,

(2)

其中，A=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θL)]∈CM×L，為陣列流型矩陣；s(t)= [s1(t)，s2(t)，…，sL(t)]，為信號波形矢量．假設M?L．

對于J次快拍，式(2)可進一步表示為

X=AS+N,

(3)

其中，X=[x(1)，x(2)，…，x(J)]∈CM×J，為接收信號矩陣；S= [s(1)，s(2)，…，s(J)]∈CL×J，N= [n(1)，n(2)，…，n(J)]∈CM×J，分別為信號波形矩陣和非均勻高斯噪聲矩陣．

基于式(3)，接收信號協方差矩陣可表示為

RX=E[X(t)XH(t)]=APAH+Q,

(4)

由式(4)可知，可通過子空間類算法對接收信號協方差RX進行特征空間分解以實現波達方向角估計．然而，當信源為相干信號時，將導致接收信號協方差矩陣秩虧，從而使得RX特征分解得到的特征值數目小于信源個數，進而無法有效地實現信號波達方向角估計[8]．

2 傳統的空間平滑方法

針對上述問題，文獻[11]提出空間平滑方法以舒緩相干信號對波達方向角估計的影響．傳統的空間平滑算法利用線陣平移不變性，將均勻線性陣列等同劃分為D個子陣．若每個子陣包含O個陣元，可得M=O+D-1，且D≥L+1，O≥L+1，則第i個子陣輸出可表示為

Xi，O=Ai，Oγi，lS+Ni，O,

(5)

其中，Ai，O，Ni，O分別是與第i個子陣對應的陣列導向矢量和噪聲矢量;γi，l= diag{exp(jφi，1)，exp(jφi，2)，…，exp(jφi，L)}，為對角旋轉矩陣，diag{·}為對角化算子，φi，l= 2π(i- 1)dλ-1sinθl．

基于式(5)，第i個子陣所得信號協方差矩陣可表示為

(6)

其中，Qi，O為子噪聲功率矩陣．

基于式(6)，傳統的空間平滑協方差矩陣可表示為

(7)

由式(7)可知，傳統的空間平滑算法將線陣劃分為D個子陣，可降低信號相干性影響，從而實現較好的相干信號波達方向角估計，但同時也降低了天線孔徑，導致波達方向角估計分辨率下降．此外，在非均勻高斯噪聲下，由于信號協方差特征分解會引起信號子空間泄漏，進而導致基于空間平滑的波達方向角估計性能嚴重下降[8]．

3 基于空間平滑的信號協方差矩陣秩最小化波達方向角估計算法

Y(t)=JX*(t) ,

(8)

其中，X*(t)為X(t)的復共軛；J為交換矩陣，滿足JHJ=1[4]．

由式(8)可知，空間后向平滑信號Y(t)的協方差可進一步表示為

(9)

基于式(4)及式(9)，空間平滑信號協方差矩陣可表示為

R=(RX+RY)/2=Rss+Qss,

(10)

其中，Rss和Qss分別為空間平滑無噪聲協方差和非均勻噪聲協方差矩陣．

基于式(10)，空間平滑無噪聲信號協方差可進一步表示為Rss=R-Qss．

為了利用凸優(yōu)化方法求解式(10)中無噪聲信號協方差Qss，基于矩陣優(yōu)化理論，利用信號協方差低秩特性將上述問題轉化為協方差矩陣秩最小化問題[8]．基于此，為了利用秩最小化方法求解Qss以重構無噪聲信號協方差矩陣，需要首先證明Rss為低秩矩陣．為此，提出如下命題．

命題1 如果信號s(t)互不相關，且信源數L遠小于陣元數M，則R-Qss和Rss是一個低秩矩陣．

證明 陣列流型矩陣A的共軛轉置左乘交換矩陣J，可得

JA*=AγM，l．

(11)

同理，由式(11)可得

(12)

由式(10)～式(12)，可得rank(R-Qss)=rank(APAH)，且Qss0，即Qss為半正定矩陣．

對于秩為L的矩陣R及實對角矩陣Λ，rank(R-Λ)≥L．由rank(APAH)=L可知，當Λ=Qss時，可得 rank(R-Qss)= rank(APAH)=L，則R-Qss和Rss為低秩矩陣，命題1成立．

由命題1可知，R-Qss為低秩矩陣，故可將R-Qss秩最小化問題[13]表示為

(13)

其中，Z+代表一個正定矩陣合集．

由于秩函數的非凸性使得式(13)難以求解，故可將式(13)最小化問題等價松弛為

(15)

其中，1M=[1，1，…，1]T，為M×1的列矢量；qss=[q1，q2，…，qM]．

基于式(14)及式(15)，優(yōu)化問題(13)可等價為如下的半定規(guī)劃問題(SemiDefinite Programming， SDP)，即

(16)

上述半定規(guī)劃優(yōu)化問題可用Matlab凸優(yōu)化工具包(比如CVX[15])實現高效求解．

基于式(16)，可得非均勻噪聲功率qss估計值，即非均勻噪聲協方差可重構為Qss= diag{qss}．由式(10)可知，空間平滑無噪聲協方差矩陣可表示為

(17)

(18)

4 實驗仿真及分析

實驗1 考慮入射角度分別為-3°、10°和16°的非相干信號．圖1(a)是4種算法的空域譜對比圖，信噪比為 -5d B．由圖1(a)知，在低信噪比條件下，傳統的MUSIC、MC-MUSIC和RTM算法無法分辨10°和16°的兩個目標，而SS-CRM算法可有效地分辨3個目標．圖1(b)是4種算法的空域譜對比圖，信噪比為 0 dB．由圖1(b)知，由于非均勻噪聲影響，傳統的MUSIC算法不能分辨10°和16°的兩個目標，而MC-MUSIC、RTM和SS-CRM算法均可分辨3個目標．此外，由圖1還可知，與其他算法相比，所提算法具有較窄的主瓣，表明所提算法在非均勻高斯噪聲和低信噪比條件下具有較好的波達方向角估計性能．

圖1 信噪比為-5 dB和0 dB條件下的非相干信號空域譜對比圖

實驗2 考慮入射角度分別為-3°、10°和16°的信號，其中 -3° 和10°的入射信號相干．圖2(a)是4種算法的空域譜對比圖，信噪比為 -5 dB．由圖2(a)知，在相干信號條件下，MUSIC、MC-MUSIC和RTM算法均不能有效地分辨3個目標，而SS-CRM算法由于對相干信號進行解相干，從而可正確地分辨3個目標．圖2(b)是4種算法的空域譜對比圖，信噪比為 0 dB．由圖2(b)知，在非均勻噪聲和相干信號條件下，SS-CRM算法可有效地分辨3個目標，且具有較窄的主瓣，而其他算法僅可分辨16°的目標．由此表明，與MUSIC、MC-MUSIC和RTM算法相比，所提SS-CRM算法在相干信號和非均勻噪聲條件下亦具有較高的角度估計精度和分辨力．

圖2 信噪比為-5 dB和0 dB條件下的相干信號空域譜對比圖

實驗3 考慮入射角度為-3°和16°的非相干信號和相干信號，信噪比為 -8～ 12 dB，步長為 2 dB，進行200次蒙特卡羅實驗．圖3為非相干信號、相干信號波達方向角估計均方根誤差隨信噪比變化的對比圖．由圖3(a)知，在非相干信號和非均勻噪聲下，傳統MUSIC算法的均方根誤差相對較高，而MC-MUSIC和RTM、SS-CRM算法分別基于矩陣補全理論和協方差秩最小化方法抑制非均勻噪聲，從而可顯著降低波達方向角估計均方根誤差．由圖3(b)知，在相干信號和非均勻噪聲下，4種算法的均方根誤差均有所增加，但所提SS-CRM算法的均方根誤差始終低于其余算法．由此表明，與其余算法相比，無論在非相干或相干信號條件下，所提算法的均方根誤差均低于其他3種算法，表明所提方法具有較好的角度估計精度．另外，由圖3還可知，在低信噪比條件下，所提算法的均方根誤差明顯優(yōu)于其他算法，表明所提算法在相干信號和低信噪比條件下具有較好的波達方向角估計性能．

圖3 波達方向角估計均方根誤差隨信噪比的變化對比圖

實驗4 考慮入射角度分別為-3°和16°的相干信號，信噪比為 0 dB，J= [100: 1 100]，進行200次蒙特卡羅實驗．由圖4可知，隨著快拍數增加，所提SS-CRM、MUSIC、MC-MUSIC及RTM算法的均方根誤差均逐漸降低，且所提SS-CRM算法的均方根誤差顯著低于其他算法．由此表明，在相干信號及非均勻噪聲條件下，所提算法的波達方向角估計性能明顯優(yōu)于傳統的MUSIC、MC-MUSIC和RTM算法，具有較高的角度估計精度．

圖4 波達方向角估計均方根誤差隨快拍數的變化對比圖圖5 波達方向角估計均方根誤差隨WNPR的變化對比圖

圖6 所提算法的信號空間譜對比

實驗6 為驗證所提算法在不同協方差矩陣條件下的波達方向角估計性能，實驗中非均勻噪聲協方差功率矩陣Q之跡保持不變，即 tr(Q)= 30，其他參數設置如實驗1(b)．圖6為不同協方差矩陣條件下所提算法運行10次所得信號空間譜估計．由圖6可知，在不同協方差矩陣條件下，所提算法均可有效地辨識3個目標角度，且具有較高的主瓣和較低的旁瓣．由此表明，所提SS-CRM算法在不同協方差矩陣條件下均具有較好的波達方向角估計性能和噪聲魯棒性能．

為較全面地評估上述算法的性能，在此將分析所提算法的運算時間(完成一次波達方向角估計所需的時間)．在仿真中，除快拍數外，其他參數均為定值．由表1可知，隨著快拍數增加，各算法處理數據量增大，則4種算法完成一次波達方向角估計所需的時間均逐漸增加．由于所提SS-CRM、MC-MUSIC和RTM算法利用信號協方差低秩特性以消除非均勻噪聲影響，則此3種算法的運算時間略高于傳統的MUSIC算法．此外，所提算法的運算時間近似等于MC-MUSIC和RTM算法．需要說明的是，所提算法不僅可抑制非均勻噪聲影響，還可實現相干源解相干，保證了非均勻噪聲和相干信源條件下的波達方向角估計性能．

表1 算法運算時間與快拍數個數的關系表s

5 結 束 語

針對傳統的波達方向角估計算法在相干信號及非均勻噪聲條件下角度估計精度差的問題，基于空間平滑理論，筆者提出一種信號協方差矩陣秩最小化波達方向角估計算法．該算法基于空間平滑方法構建平滑協方差矩陣以降低信號的相干性; 而后利用平滑協方差矩陣低秩性將接收信號協方差矩陣重構為無噪聲協方差矩陣，以改善相干信號條件下波達方向角估計精度，并抑制非均勻噪聲的影響．仿真結果表明，與傳統的MUSIC、MC-MUSIC和RTM算法相比，所提算法在相干信號和非均勻高斯噪聲條件下，具有較好的波達方向角參數估計性能．