一種改進的導(dǎo)彈落點預(yù)報算法

潘 昶

(中國人民解放軍92941部隊, 遼寧 葫蘆島 125000)

在導(dǎo)彈飛行試驗中，為了實現(xiàn)導(dǎo)彈安全控制，中心機實時數(shù)據(jù)處理軟件需要實時準(zhǔn)確預(yù)報導(dǎo)彈落點。一方面，通過導(dǎo)彈落點計算脫靶量，用于判斷導(dǎo)彈是否擊中目標(biāo)，是試驗鑒定和決策的重要依據(jù)。另一方面，可以及時發(fā)現(xiàn)導(dǎo)彈故障，為避免其殘骸落入被保護區(qū)及時實施炸毀。因此落點預(yù)報的準(zhǔn)確性至關(guān)重要。在實時落點預(yù)報模型中，將導(dǎo)彈被動段的運動視為質(zhì)點運動，軌跡方程將導(dǎo)彈關(guān)機點或頭體分離時刻導(dǎo)彈瞬時在發(fā)射坐標(biāo)系下速度與位置的運動參數(shù)作為初值條件。導(dǎo)彈的被動段包括再入段和自由飛行段[1]。文獻[1]指出，在自由飛行段導(dǎo)彈運動只受地球引力作用，再入段與之相比，僅僅是增加了空氣阻力的影響。龍格-庫塔法高精度單步算法是比較常用的落點預(yù)報算法[1]，該方法是利用彈道實時處理結(jié)果給出未來一段時間內(nèi)的彈道狀態(tài)及預(yù)測精度，涉及到的導(dǎo)彈質(zhì)量變化與空氣阻力參數(shù)可以通過飛行試驗前的測試獲得，是一種以數(shù)據(jù)采樣點頻率為步長進行數(shù)值積分計算的方法。該方法在計算落點和基于落點實時計算脫靶量上得到了比較好的應(yīng)用。文獻[2]對脫靶量的計算方法及其適用性進行了闡述，提到了上述的計算脫靶量在某些時候誤差比較大，產(chǎn)生誤差的原因是落點預(yù)報的彈道與實際彈道偏差較大，經(jīng)過發(fā)射系到靶船坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換后，誤差表現(xiàn)為脫靶量與實際中靶情況的偏差。如此說來，問題實際上歸結(jié)于基于“龍格-庫塔”法的落點預(yù)報算法在某些特殊情況下的適用性有所限制，精度較差。本文針對上述問題，對算法進一步分析和改進，探討更適合實際任務(wù)情況下目標(biāo)機動的落點預(yù)報算法。

1 基于重力動力學(xué)的被動段彈道預(yù)報模型

被動段開始時，彈頭與彈體已經(jīng)分離，彈頭依靠在主動段獲得的能量作慣性飛行。導(dǎo)彈在被動段飛行過程中，除受地球引力外不再受任何控制力的推動，只在慣性力作用下作自由拋體運動[2]。導(dǎo)彈被動段在發(fā)射坐標(biāo)系中的質(zhì)心運動方程為：

(1)

式(1)中：V和X分別為導(dǎo)彈的速度矢量和位置矢量；ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度；R0為發(fā)射點的地心矢徑 ；g為重力加速度；m為導(dǎo)彈的自身質(zhì)量；CD為阻力系數(shù)，無量綱；S為導(dǎo)彈彈頭截面積；u是沿著速度矢量方向的單位矢量；h是高程；大氣密度一半近為指數(shù)衰減函數(shù)ρ(t)=e|R0-R|/H0,地球半徑R0=6 378.140 km，H0=13.406。

式(1)可進一步展開為：

(2)

當(dāng)已知主動段關(guān)機點tk時刻的位置xk，yk，zk和速度vxk，vyk，vzk時，利用式(2)就可以用數(shù)值方法計算被動段彈道。當(dāng)導(dǎo)彈在正常引力作用下時，g為正常引力加速度，此時彈道方程稱為被動段標(biāo)準(zhǔn)彈道，導(dǎo)彈落點為標(biāo)準(zhǔn)落點。此模型適用于認(rèn)為導(dǎo)彈被動段相當(dāng)于作自由落體運動，主要考慮了地球引力、哥氏力、牽引力影響，還有空氣阻力等，除此之外，不受其他控制力的情況。

2 造成落點偏差的控制力因素

導(dǎo)彈除了受重力和空氣阻力外，還有控制力的作用使其彈道實際落點與理論落點產(chǎn)生了很大偏差。如圖1所示。點o為導(dǎo)彈關(guān)機點，A′和A分別為標(biāo)準(zhǔn)彈道落點和實際彈道落點；dL和dH分別為落點縱程偏差和橫程偏差。

3 改進的落點預(yù)報模型

由前面分析，考慮導(dǎo)彈被動段僅受地球引力和空氣阻力而建立基于“龍格-庫塔”微分的算法，已經(jīng)不能適應(yīng)落點預(yù)報和精確報靶需求[4]。需要改進落點預(yù)報數(shù)學(xué)模型，提高實時落點預(yù)報的精度。

被動段對導(dǎo)彈進行動力學(xué)建模時，許多因素如導(dǎo)彈的阻力系數(shù)、導(dǎo)彈的攻角等未知。導(dǎo)彈的機動也是根據(jù)攻擊目標(biāo)的位置實時調(diào)整，建立動力學(xué)模型時無法涵蓋所有不確定因素和受力情況。本文把這些不確定因素都?xì)w入到擾動加速度，簡化復(fù)雜因素，建立模型。

對于控制力的處理，有一種簡單方式就是把控制力看成一個未知的輸入矢量?FxFyFz」T加入被動段導(dǎo)彈狀態(tài)方程(1)，g是重力加速度g*與控制力的加速度之和，此時g的3個分量為：

(3)

考慮導(dǎo)彈受重力、空氣阻力，將式(3)代入式(2)，加速度模型表達(dá)式如下：

(4)

(8)

(9)

(10)

依此類推得：

(11)

對導(dǎo)彈被動段的彈道建立運動學(xué)模型，尋找偏差與加速度之間的關(guān)系；常見的運動學(xué)模型有勻速模型、勻加速模型、辛格模型等[5]。再建立動力學(xué)模型，求得控制力。

S=V0T+1/2〗aT2

(12)

已知時間變量T，可求得加速度a,由動力學(xué)方程F=ma得到控制力。在導(dǎo)彈飛行被動段，加速度實質(zhì)上不是恒定不變的，而是時間t的函數(shù)。僅僅是在“當(dāng)前”的時間范圍內(nèi)相當(dāng)于勻加速運動[7]。這種非零均值時間相關(guān)模型能更好地反映導(dǎo)彈實際。則

S(t)=V0T+1/2a(t)T2

(13)

由此，用未加控制力的彈道模型式(2)求當(dāng)前時刻的導(dǎo)彈預(yù)報落點，然后與標(biāo)準(zhǔn)彈道的三個坐標(biāo)軸上分量的均方差作為偏差dX，dY，dZ量代入上式S，根據(jù)式(13)，反算ax(t),ay(t),az(t)。根據(jù)牛頓第二定律,質(zhì)點運動的動力學(xué)方程為：

F=ma

(14)

由式(14)求得導(dǎo)彈所受的控制力在坐標(biāo)軸上的分量。

4 實例分析

用歷史任務(wù)實測數(shù)據(jù)進行回放，分別用未改進的和改進后的落點預(yù)報算法計算導(dǎo)彈落點，將落點轉(zhuǎn)換到在靶船測量坐標(biāo)系下的相對位置偏差，利用接收自靶船的位置姿態(tài)數(shù)據(jù)，計算預(yù)報落點在該靶船慣導(dǎo)甲板坐標(biāo)系下的位置，可近似求出導(dǎo)彈中靶時刻的脫靶量。將實時計算的脫靶量與實際檢靶結(jié)果比對,分析算法改進前后計算的脫靶量的誤差,結(jié)果如表1所示。

從表1可以看出，在其他條件都相同的情況下，改進后的落點預(yù)報算法求得的脫靶量誤差明顯小于改進前的誤差，誤差值在橫向和縱向分別減小10 m左右。充分說明了落點預(yù)報算法改進后，精度有很大提高。

表1 改進算法在任務(wù)中的應(yīng)用

5 結(jié)論

導(dǎo)彈預(yù)報落點與實際落點偏差比較大的原因是由于導(dǎo)彈機動飛行末段受到控制力的影響。基于此，本文加入控制力因素并建立動力學(xué)模型，改進了基于龍格庫塔算法的導(dǎo)彈落點預(yù)報公式，探討了控制力的求解方法。經(jīng)試驗數(shù)據(jù)驗證，改進后的落點預(yù)報算法很大程度上提高了落點計算精度，基于此算法解算的脫靶量精準(zhǔn)，為導(dǎo)彈試驗任務(wù)的快速判決提供了決策依據(jù)。