基于題根研究下的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題

王永亮

(山東莒縣第一中學(xué) 276500)

一、我國高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)與函數(shù)教學(xué)難點(diǎn)

1.教學(xué)模式結(jié)構(gòu)單一

首先，我國大部分高中學(xué)生都處于文理科分科的形式中.雖然高中數(shù)學(xué)仍屬于文理科中的重點(diǎn)教學(xué)課程，但由于大部分文科生將自身學(xué)習(xí)重點(diǎn)仍舊放在文科課程中，認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)自己日后的文科學(xué)習(xí)并無多大幫助，在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生攜帶性能力，無法對(duì)數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)知識(shí)重點(diǎn)進(jìn)行掌握；其次，由于部分文科生在分科之后，大部分教師的重點(diǎn)都放在文科課程中，甚至部分?jǐn)?shù)學(xué)教師自身對(duì)教學(xué)目標(biāo)與內(nèi)容的意識(shí)也產(chǎn)生偏差，導(dǎo)致部分文科學(xué)生的數(shù)學(xué)課堂常出現(xiàn)被占用的情況，而學(xué)生無法獲取更多知識(shí)，導(dǎo)致在解答函數(shù)與導(dǎo)數(shù)以及其他方面的數(shù)學(xué)題目時(shí)出現(xiàn)較多錯(cuò)誤，而學(xué)生自身數(shù)學(xué)能力無法得到提升，導(dǎo)致數(shù)學(xué)課程失去作用；第三，傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師是占據(jù)課堂的主體，而學(xué)生則常作為課堂輔助形式存在，教師通過長篇闊談的方式對(duì)數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行講解，而學(xué)生則需要對(duì)公式進(jìn)行死記硬背，利用套用等方式對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的題目進(jìn)行解答，雖然能夠?qū)處煯?dāng)時(shí)講述的東西進(jìn)行模仿，但卻無法做到舉一反三，導(dǎo)致學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)單一化，同時(shí)也使學(xué)生在挫敗中失去對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的興趣，對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之后的教學(xué)開展產(chǎn)生不利.

2.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的表現(xiàn)形式復(fù)雜多變

函數(shù)形式本就復(fù)雜多樣，并不具備統(tǒng)一形式，而其中所包含的區(qū)間、不等式以及其他概念也均不具備某一種固定值或概念，而在利用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求解時(shí)也無法遵循統(tǒng)一模式，由此可見，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)存在較強(qiáng)的抽象性、模糊性.而數(shù)學(xué)教師在利用傳統(tǒng)教學(xué)方法對(duì)這一部分內(nèi)容進(jìn)行講解時(shí)，雖然能利用宏觀概念使學(xué)生初步了解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的基本含義，但在具體學(xué)習(xí)的過程中仍舊會(huì)因?qū)?shù)與函數(shù)表現(xiàn)出來的復(fù)雜性、多樣性弄昏頭腦，無法充分利用自身所學(xué)知識(shí)提升函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的做題效率，無法做到靈活應(yīng)變.此外，由于導(dǎo)數(shù)與函數(shù)中存在各類代替未知數(shù)字的符號(hào)，而每個(gè)符號(hào)的意義不同，在部分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中所代表的內(nèi)容也十分復(fù)雜，雖然有一部分先天智力較高的學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)到的知識(shí)融會(huì)貫通，但大部分學(xué)生仍舊處于模糊狀態(tài)，而教師無法利用現(xiàn)有教學(xué)方式改善這一現(xiàn)象，導(dǎo)致教學(xué)出現(xiàn)較大問題.

3.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的數(shù)形轉(zhuǎn)換難度較大

上述中提到，高中導(dǎo)數(shù)與函數(shù)類型題目在解答過程中具有較多符號(hào)，而學(xué)生在進(jìn)行解題時(shí)雖掌握了基本解題理念，因無法根據(jù)題目?jī)?nèi)容及問題重點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)及相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行圖形轉(zhuǎn)換，無法將所學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用，導(dǎo)致數(shù)形轉(zhuǎn)換過程存在困難，使學(xué)生解題難度大幅度增加.而部分學(xué)生雖然對(duì)教師講述的內(nèi)容進(jìn)行記憶，但由于他們只是機(jī)械地將教師講述內(nèi)容記住而已，卻在解題或之后的學(xué)習(xí)中無法利用記憶中的內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)，因此這些學(xué)生表面上看起來學(xué)習(xí)認(rèn)真，但實(shí)際上卻缺乏分析能力，無法在解題時(shí)繼續(xù)進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)換，而教師對(duì)學(xué)生的批評(píng)也使學(xué)生逐漸失去信心，逐漸對(duì)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生排斥心理，直到放棄數(shù)學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生最終在日后的學(xué)習(xí)及高考中增大了數(shù)學(xué)帶來的壓力.

二、題根式教學(xué)概念及作用

題根式教學(xué)是由我國陜西師范大學(xué)羅增儒教授提出的新概念.羅教授在對(duì)基于新課程的數(shù)學(xué)解題教學(xué)進(jìn)行講解與分析中提到，可以利用題根式教學(xué)對(duì)當(dāng)下數(shù)學(xué)解題困難的現(xiàn)狀進(jìn)行改善.羅教授指出，雖然現(xiàn)如今使用的變式教學(xué)包含具有科學(xué)性與廣泛性的數(shù)據(jù)庫，但由于數(shù)據(jù)庫本身就是一個(gè)較為宏觀的存在，而高中數(shù)學(xué)能夠運(yùn)用的內(nèi)容極為有限，如果全靠變式教學(xué)根本無法發(fā)揮數(shù)據(jù)庫自身的優(yōu)勢(shì).而為了實(shí)現(xiàn)新課程中高中教學(xué)目標(biāo)內(nèi)容，如果利用題根式教學(xué)代替部分變式教學(xué)，并將其逐漸發(fā)展為主流教學(xué)方式，則能夠使教學(xué)效果更加明顯.

當(dāng)下我國高中數(shù)學(xué)教學(xué)形式極為嚴(yán)峻，雖然新課改提出有關(guān)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)，但從根本上來看，傳統(tǒng)教學(xué)方法已經(jīng)無法滿足現(xiàn)代教學(xué)思想與教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)也無法提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力，而利用題根解題的思想及題根式教學(xué)法對(duì)現(xiàn)有數(shù)學(xué)教學(xué)加以改善，利用題根尋找出學(xué)生在學(xué)習(xí)中最難解決問題，并面向數(shù)學(xué)核心知識(shí)開展教學(xué)，使題根式成為數(shù)學(xué)教學(xué)中最具高效性、靈活性的教學(xué)模式，從而達(dá)到提升我國高中數(shù)學(xué)教學(xué)水平的效果.

三、基于題根研究下的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)問題分析

(1)設(shè)函數(shù)F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

在對(duì)本題進(jìn)行解答時(shí)，首先教師可通過結(jié)合相關(guān)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)概念對(duì)題目進(jìn)行分析，并由學(xué)生從題目中尋找題根.已知本體題根有四個(gè)，而為了更為簡(jiǎn)便地得到正確答案，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)已知方程進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)換，而在轉(zhuǎn)換過程中，教師應(yīng)當(dāng)注意每一位學(xué)生的狀態(tài)與轉(zhuǎn)換思路，如果發(fā)現(xiàn)有學(xué)生轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤也不要批評(píng)，以免對(duì)學(xué)生的自信造成打擊.

得出轉(zhuǎn)換圖形后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生充分對(duì)題根進(jìn)行分析，并根據(jù)分析結(jié)果對(duì)題目和得到的轉(zhuǎn)換圖形加以推算，最終將本題解答出來.

解原方程可化為：

log4(x-1)+log2[h(4-x)]=log2[h(a-x)],

當(dāng)a=5時(shí)，原方程有一解x=3；

當(dāng)a≤1或a>5時(shí)，原方程無解.

則Sn≥h(1)+h(2)+…+h(n)，故原不等式成立.

本次解題不僅是對(duì)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)換、函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、分析以及解題等能力的考查，同時(shí)也是提升學(xué)生題根解題概念的重要依據(jù)，為之后學(xué)生的解題與題根式思維水平的提升奠定基礎(chǔ).

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求所有實(shí)數(shù)a，使e-1≤f(x)對(duì)x∈[1,e]恒成立.

注：e為自然數(shù)的底數(shù).

(1)解因?yàn)閒(x)=a2lnx-x2+ax,其中x>0,

由于a>0，所以f(x)的遞增區(qū)間為(0，a)，減區(qū)間為(a，+∞).

(2)證明：由題意得，f(1)=a-1≥c-1，即a≥c。

由(1)知f(x)在[1，e]內(nèi)單調(diào)遞增，

要使e-1≤f(x)對(duì)x∈[1,e]恒成立，

本題主要考查學(xué)生在利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行求值范圍的能力，通過引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及其他基礎(chǔ)知識(shí)，在完成對(duì)學(xué)生的抽查的同時(shí)全面提升對(duì)學(xué)生現(xiàn)有學(xué)習(xí)能力的了解，而教師則需要結(jié)合現(xiàn)有教學(xué)法和題根教學(xué)法，利用科學(xué)理念加強(qiáng)對(duì)全體學(xué)生的教學(xué)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力，達(dá)到完善數(shù)學(xué)教學(xué)的目的.