高中數(shù)學(xué)中恒成立問(wèn)題的求解策略

黃海蘭

(廣西省南寧市第二十九中學(xué) 530022)

高中數(shù)學(xué)中的恒成立問(wèn)題大多以不等式的形式出現(xiàn)，而不等式兩邊的條件往往是解題的關(guān)鍵，對(duì)這些條件進(jìn)行合理地變形、整理，便能讓解題變得高效率、高準(zhǔn)確率，那么又有哪些方法可以用來(lái)幫助我們整理題目中的條件進(jìn)而解決問(wèn)題呢？以下著重分析恒成立問(wèn)題中三種常用的解題方法.

一、參變分離

恒成立問(wèn)題的中檔題里一般會(huì)出現(xiàn)一個(gè)變量，一個(gè)參數(shù)讓學(xué)生計(jì)算參數(shù)范圍.學(xué)生遇到此類(lèi)問(wèn)題時(shí)往往沒(méi)有突破的方向，此時(shí)應(yīng)該觀察參數(shù)和變量的關(guān)系，當(dāng)參數(shù)和變量易于分離，且分離后方便構(gòu)建新函數(shù)時(shí)，應(yīng)使用參變分離的方法做題.

例1f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)，若當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍.

點(diǎn)撥因?yàn)橥瑫r(shí)考慮參數(shù)和變量的難度過(guò)高，而參變分離的使用很好地梳理了題目所給的條件，將本題轉(zhuǎn)化為一道函數(shù)極值問(wèn)題，進(jìn)而快速解題.所以在遇到同時(shí)存在變量和未知參數(shù)的題目時(shí)不妨多使用參變分離的方法，讓問(wèn)題簡(jiǎn)易化.

二、數(shù)形結(jié)合

某些雙變量問(wèn)題中，如果直接參變分離，構(gòu)建新函數(shù)，再求解，計(jì)算量會(huì)比較大，此時(shí)就需要使用另一種方法——數(shù)形結(jié)合.數(shù)形結(jié)合往往可以通過(guò)圖形達(dá)到避繁就簡(jiǎn)的目的，所以，掌握這一解題技巧同樣是必不可少的.

點(diǎn)撥數(shù)形結(jié)合往往可以將抽象的問(wèn)題形象化，在解決很多類(lèi)型問(wèn)題時(shí)都不失為一個(gè)好方法，此處的應(yīng)用也是使得大小的比較更加的直觀，讓解題更加容易.

三、變換主元

在恒成立問(wèn)題中還有一類(lèi)題目，出題者給出參數(shù)的范圍，而讓學(xué)生求解變量的范圍.前兩種在這類(lèi)題型中就起不到太大的作用了，此時(shí)就需要使用變換主元的方法來(lái)解題.其實(shí)變換主元就是一種換位思考，將參數(shù)想象成變量，將變量看成參數(shù)來(lái)求解.

例3 若不等式2x-1>m(x2-1)，對(duì)滿足-2≤m≤2所有的m都成立，求x的取值范圍.

點(diǎn)撥變換主元實(shí)則就是逆向思維的過(guò)程，出題者將題目中的交換了條件和問(wèn)題的位置，而變換主元就是在解題時(shí)將兩者再次調(diào)換，是一種很巧妙的方法.這一方法的掌握可以開(kāi)拓學(xué)生的視野，發(fā)散解題思維.

綜上來(lái)看，不難發(fā)現(xiàn)，恒成立問(wèn)題的求解，大多與函數(shù)分不開(kāi)關(guān)系，不等式的外形只是為我們的求值指引方向.希望學(xué)生們掌握恒成立問(wèn)題的各種解題技巧，在遇到各種恒成立問(wèn)題時(shí)，可以快速拿出最有利于這道題的解題方法，降低解題的難度，大大縮短解題的時(shí)間，提高解題的準(zhǔn)確率.