從重力與萬有引力的關(guān)系談“赤道上的物體失重嗎？”

呂平

摘 要：某些學(xué)習(xí)材料上說赤道上的物體失重，常見網(wǎng)上的討論對此問題也沒有確切的定論。筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，查閱權(quán)威資料，意圖給學(xué)習(xí)者一個(gè)明確的結(jié)論。本文通過解釋重力與萬有引力的關(guān)系，介紹高中及大學(xué)教材中對超重、失重現(xiàn)象的定義，揭示“赤道上的物體失重”這種說法是錯(cuò)誤的。究其錯(cuò)誤的原因，是對重力和超重、失重的概念認(rèn)識(shí)不清。望本文對仍對此問題存在爭議的廣大師生有所幫助。

關(guān)鍵詞：重力；萬有引力；赤道；失重

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2018）8-0061-2

最近在一本同步練習(xí)材料上看到了這樣一種說法：“地球在不停地自轉(zhuǎn)，除兩極之外，地球上的物體由于繞地軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，都處于失重狀態(tài)，且赤道上的物體失重最多?！辈⑶以谠O(shè)定一些物理量之后，依據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律給出了理論推導(dǎo)如下：

設(shè)地球?yàn)閯蛸|(zhì)球體，半徑為R，表面的重力加速度g=，并不隨地球自轉(zhuǎn)變化。

（1）物體在赤道上的視重等于地球的引力與物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力之差。

對地球上的物體受力分析，由牛頓第二定律mg-FN=mω2R

所以，物體在赤道上的視重

FN=mg-mω2R

（2）物體在赤道上失去的重力等于物體繞地軸轉(zhuǎn)動(dòng)所需的向心力。

物體在赤道上失去的重力，即視重的減少量F=mg-FN=mω2R

（3）物體在赤道上完全失重的條件。

這與筆者往日所學(xué)所講迥然不同，心中疑惑。查閱網(wǎng)上資料，發(fā)現(xiàn)好多人在各種網(wǎng)站中提出此問，但下面的回答莫衷一是。于是，筆者查閱了初中教材、高中教材和教師用書及大學(xué)教材，旨在給出一個(gè)正確的說法。下面的分析中將上面的內(nèi)容簡稱為“材料”。

1 重力與萬有引力的關(guān)系

高中教材和初中教材中說“由于地球吸引而使物體受到的力叫做重力”[1-2]，并特意在注解中說明“受地球自轉(zhuǎn)的微小影響，物體所受的重力與地球?qū)λ囊ι杂胁煌?，而且同一物體在地球上不同緯度的地方所受的重力也稍有不同”[1]。并在教師教學(xué)用書的教學(xué)資源庫中詳細(xì)分析了重力加速度與緯度的關(guān)系：

在實(shí)際測量中，測出物體的自由落體加速度g，就可以根據(jù)牛頓第二定律得知物體所受的力為G=mg，并把G稱為物體所受的重力。把物體懸掛在彈簧秤上，靜止時(shí)，彈簧對物體的拉力FN與重力平衡，依據(jù)牛頓第二定律可知，可得G=-FN；或者把物體放在地面或其他水平支持物上，也可以測得重力的大小。這樣測量出來的重力不等同于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，故有時(shí)稱為“表觀重力”或“視重”。這是因?yàn)榕ｎD第二定律具有局限性，只適用于慣性參考系，而我們的測量是在固定于地面的參考系中進(jìn)行的，由于地球在自轉(zhuǎn)，它是非慣性系，在非慣性系中應(yīng)用牛頓第二定律需要添加慣性力。真實(shí)力和慣性力的合力常稱為表觀力。

我們通常所說的重力G實(shí)際上是物體受到地球引力F與慣性離心力f的矢量和，如圖1所示。

實(shí)際上，慣性離心力f=mω2r=mω2Rcosλ比萬有引力F=要小得多，G與F方向間的夾角實(shí)際上也很小。將地球看作質(zhì)量均勻分布的球體，根據(jù)余弦定理計(jì)算或者通過平行四邊形法則直觀觀察。顯然，G隨著緯度λ的增大而增大，即重力加速度g隨λ的增大而增大，本質(zhì)原因是不同的緯度處，地面參考系的加速度不同。如果考慮實(shí)際上地球是個(gè)赤道略長、兩極略短的橢球體，得到的結(jié)論也是如此。

在高中，講解重力與萬有引力的關(guān)系時(shí)，還有一種更常見的說法：重力是萬有引力的一個(gè)分力。在靜止參考系中，地面上的物體隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)，一定有向心力提供向心加速度。如圖2所示，地球表面物體受到的萬有引力F=和地面給物體的支持力FN的合力提供指向軌跡圓心的向心力Fn=mω2r=mω2Rcosλ。而在靜止參考系中，根據(jù)牛頓第二定律，我們認(rèn)為靜止在地面上的物體受到地面的支持力大小等于重力?？梢哉f按作用效果，將萬有引力分解，其中一個(gè)分力提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力，另一個(gè)分力吸引地面物體“向下”。

以上兩種分析最終得到的重力與萬有引力間大小和方向的關(guān)系是一致的，只是在分析時(shí)選用的參考系不同。筆者認(rèn)為，由于高中階段不涉及非慣性系的學(xué)習(xí)，尤其應(yīng)該避免慣性離心力概念對慣性系中本身沒有離心力這種力的影響，第二種分析更容易被中學(xué)生接受。

可見，材料中推論的前提“地球表面的重力加速度g=，并不隨地球自轉(zhuǎn)變化”本身就是錯(cuò)誤的，究其原因，是對重力的認(rèn)識(shí)不清。

大學(xué)教材中，雖然說“地球上的任何物體都受到地心的引力，我們叫它重力”，但后面又補(bǔ)充說明在非慣性系中實(shí)測的重量是視重，即重力加慣性力構(gòu)成的有效重力[3]。也就是說大學(xué)教材認(rèn)為萬有引力就是重力，但是我們在非慣性系中通常研究的是有效重力，也就是我們高中所講的重力。

2 超重和失重

高中教材和大學(xué)教材列舉了相近的例子說明什么是超重和失重現(xiàn)象。根據(jù)牛頓第二定律和牛頓第三定律，質(zhì)量為m的人站在加速度為a加速上升的電梯中，人對地板的壓力F'=G+ma=m（g+a）>mg。這種物體對支持物的壓力（或懸掛物的拉力）大于物體所受重力的現(xiàn)象，稱為超重現(xiàn)象。反之，電梯加速下降（或減速上升）時(shí)，F(xiàn)'=G-ma=m（g-a）

綜上，材料中所說的“地球在不停地自轉(zhuǎn)，除兩極之外，地球上的物體由于繞地軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，都處于失重狀態(tài)，且赤道上的物體失重最多”是錯(cuò)誤的，原因在于沒有認(rèn)清重力與萬有引力的關(guān)系，及人們對超重、失重現(xiàn)象的定義。

另外，在高中物理必修二第五章介紹航天器中的失重現(xiàn)象，以及第六章萬有引力與航天的學(xué)習(xí)中[4]，我們經(jīng)常忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，近似認(rèn)為人或航天器受到的引力等于重力。

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理必修1 [M].北京：人民教育出版社，2010.

[2]義務(wù)教育教科書物理八年級下冊[M].北京：人民教育出版社， 2012.

[3]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2004.

[4]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理必修2 [M].北京：人民教育出版社，2010.

（欄目編輯 羅琬華）