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    對偶數(shù)環(huán)導(dǎo)出范疇的Recollements

    2018-10-09 06:09:54劉宏錦陳清華
    關(guān)鍵詞:偶數(shù)同構(gòu)等價

    劉宏錦,陳清華

    (1. 龍巖學(xué)院信息工程學(xué)院,福建龍巖364012;2. 福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建福州350117)

    設(shè)R是環(huán),R的對偶數(shù)環(huán)R[ε]是R的一元多項式環(huán)的商環(huán)R[x]/〈x2〉.對偶數(shù)環(huán)R[ε]上的模是微分R-模(M,ε),其中M是R-模,ε是模M上平方為零的自同態(tài).如果(M,ε),(M′,ε′)都是微分R-模,兩者之間的態(tài)射f:(M,ε)→(M′,ε′)是R-模態(tài)射f:M→M′,則滿足fε=ε′f.對于R[ε]上的模的研究最早出現(xiàn)在文獻(xiàn)[1]中.Ringel等[2]研究了路代數(shù)kQ上由完備微分模構(gòu)成的Frobenius范疇的穩(wěn)定范疇與kQ上導(dǎo)出范疇的根范疇之間的關(guān)系.Wei[3]和Xu等[4]考慮了微分模的Gorenstein同調(diào)理論.

    導(dǎo)出范疇的recollements起源于Grothendieck關(guān)于代數(shù)幾何中層的相關(guān)函子的考察.1982年,Beilinson等[5]給出了三角范疇recollements公理化定義.最近,劉宏錦等[6]考慮了在導(dǎo)出范疇recollements下,廣義AR猜想的保持性問題.由已知的recollements構(gòu)造新的recollements是一個有趣的問題,如文獻(xiàn)[7-11]等.注意到這些結(jié)果都是利用Koenig定理將已有代數(shù)的導(dǎo)出范疇的recollements提升到新代數(shù)的導(dǎo)出范疇的recollements.本文中利用Koenig定理考慮環(huán)的導(dǎo)出范疇的recollements在對偶數(shù)環(huán)上的提升,證明了若環(huán)A的上有界導(dǎo)出范疇D-(A)允許有關(guān)于環(huán)A1和A2的上有界導(dǎo)出范疇D-(A1)和D-(A2)的recollement,則A的對偶數(shù)環(huán)A[ε]的上有界導(dǎo)出范疇D-(A[ε])允許有關(guān)于D-(A1[ε])和D-(A2[ε])的recollement.

    1 預(yù)備知識

    本文涉及到的環(huán)A都具有單位元,考慮的模都是右A-模.右A-模范疇記為A-Mod,本文中用A-Proj表示所有投射模構(gòu)成的范疇;A-proj表示所有有限生成投射模構(gòu)成的范疇;D-(A),Db(A)分別表示A-Mod 上的上有界復(fù)形,有界復(fù)形的導(dǎo)出范疇;Kb(A-Proj),Kb(A-proj)分別表示A-Proj,A-proj上的有界復(fù)形的同倫范疇.

    是指三角范疇的6個正合函子:

    i*=i!:′→;i*,i!:→′;

    j*=j!:→″;j*,j!:D″→D;

    滿足如下4個條件:

    (i) (i*,i*),(i!,i!),(j!,j!)和(j*,j*)均是伴隨對;

    (ii)i*,j!和j*均是滿嵌入函子;

    (iii)j*i*=0;

    i!i!X→X→j*j!X→i!i!X[1],

    j!j!X→X→i*i*X→j!j!X[1].

    定義2[12]設(shè)A是環(huán),T·∈Kb(A-Proj).稱T·是偏傾斜復(fù)形,如果T·滿足以下條件:

    (i) 對任意i≠0,有HomKb(A-Proj)(T·,T·[i])=0;

    注Kb(A-proj)上的復(fù)形X·稱為完備復(fù)形,也稱為緊對象,根據(jù)文獻(xiàn)[12],HomKb(A-proj)(X·,-)與任意直和可交換.因此,完備復(fù)形X·只要滿足定義2(i),則X·是偏傾斜復(fù)形.

    定理1[12-13]設(shè)A,A1和A2是環(huán),則有上有界導(dǎo)出范疇的recollement

    2 主要結(jié)果及應(yīng)用

    本文中的主要結(jié)論是

    定理2設(shè)A,A1和A2是環(huán).如果A的上有界導(dǎo)出范疇D-(A)允許有一個關(guān)于A1,A2的上有界導(dǎo)出范疇D-(A1),D-(A2)的recollement,則A的對偶數(shù)環(huán)A[ε]的上有界導(dǎo)出范疇D-(A[ε])允許有如下的recollement

    在證明定理2之前,需要如下引理.

    引理1設(shè)X是A-模,則EndA[ε](X?AA[ε])中的態(tài)射均具有下三角

    的形式,其中α,β∈EndA(X).

    證明右A[ε]模X?AA[ε]同構(gòu)于A上的微分模

    的形式,其中ai∈EndA(X),i=1,2,3,4,且滿足

    故a2=0,a1=a4.

    定理2的證明事實上,對偶數(shù)環(huán)A[ε]中的元素可表示為二元數(shù)組(a1,a2),其中a1,a2∈A.作為加群A[ε]=A⊕A,其乘法定義如下

    (a1,a2)·(b1,b2)=(a1b1,a2b1+b2a1).

    因此,A的單位元也可視為A[ε]的單位元,作為A-A-雙模A[ε]≌A⊕A.

    (i) 作為加群,有如下同構(gòu)

    所以

    (iii) 對任意n∈Z,有

    0.

    因為

    作為R-R-雙模有同構(gòu)

    推論1設(shè)A,A1和A2是環(huán).如果A的上有界導(dǎo)出范疇D-(A)允許有一個關(guān)于A1,A2的上有界導(dǎo)出范疇D-(A1),D-(A2)的recollement.對任意正整數(shù)n,m1,m2,…,mn,令

    則A(n)的上有界導(dǎo)出范疇D-(A(n))允許有如下的recollement

    定義3設(shè)A,B均是環(huán).如果Db(A)和Db(B)作為三角范疇等價,則稱A與B導(dǎo)出等價.

    證明根據(jù)Rickard定理(參見文獻(xiàn)[14],定理6.4),Db(A)和Db(B)作為三角范疇等價當(dāng)且僅當(dāng)D-(A)和D-(B)作為三角范疇等價.又因為存在平凡的recollement.

    所以由推論1,存在平凡的recollement

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