基于灰色馬爾科夫模型的家紡流行色趨勢預(yù)測

史愛武，胡志強，葉 威，陳 鄂

(武漢紡織大學 云計算與大數(shù)據(jù)研究中心，武漢 430200)

家紡流行趨勢是指通過對家紡歷史數(shù)據(jù)進行定性以及定量的分析，預(yù)估家紡的面料、花色以及圖案在未來一段時間內(nèi)的大眾偏愛走向.在家紡產(chǎn)品的設(shè)計研發(fā)過程中，色彩是一種很重要的設(shè)計元素，它將直接體現(xiàn)出其所有者的個性和時尚需求，同時也會在很大程度上影響著市場消費需求[1],它是一個時期、一定社會的政治、經(jīng)濟、人文環(huán)境以及人們心理活動等因素的綜合產(chǎn)物.對社會群體而言，流行趨勢的立意與傳播是以社會的心理變化為依據(jù)的，是可以認識預(yù)測的[2].流行色的演變大約為5～7年，其中，黃金銷售期一般為1～2年，因此流行色是具有時間和空間定義的特定色彩[3].

目前對于家紡流行色預(yù)測有一定的研究[4]，吳湘濟[5]基于家紡產(chǎn)品流行現(xiàn)狀，分析了家紡產(chǎn)品的流行色，指出了近年來家紡流行色的主導(dǎo)色彩；劉歡等[6]使用WGSN、Pantone View、Trend Book等國際八大流行預(yù)測機構(gòu)發(fā)布的2013年春夏色彩趨勢報告作為數(shù)據(jù)源，使用NCS色彩的色彩三角和色彩圓環(huán)分析工具，對獲取的色彩數(shù)據(jù)進行量化統(tǒng)計分析；Lin等[7]應(yīng)用灰色系統(tǒng)理論與灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，以1995-1999年日本秋冬男裝流行色數(shù)據(jù)為研究對象，對服裝流行色色相以及色調(diào)進行了預(yù)測.這些研究普遍存在兩個問題：一是偏向定性分析而缺少定量分析；二是趨勢分析方法存在不足，數(shù)據(jù)挖掘深度不夠.其中，灰色預(yù)測模型以其較小的樣本量，較高的預(yù)測精度被應(yīng)用于流行色預(yù)測中，然而，當數(shù)據(jù)離散程度越大，即數(shù)據(jù)灰度越大時，預(yù)測精度越差，并且GM(1,1)不太適合中長期的預(yù)測[8].本文結(jié)合灰色模型與馬爾科夫模型對家紡流行色進行趨勢預(yù)測，即用灰色模型解釋流行色發(fā)展趨勢，應(yīng)用馬爾科夫鏈對灰色預(yù)測的殘差進行調(diào)整，以提高預(yù)測的精度.

1 灰色馬爾科夫預(yù)測模型

1.1 灰色系統(tǒng)理論

灰色系統(tǒng)是信息不完全的系統(tǒng).所謂“信息不完全”通常是指：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不完全清楚；系統(tǒng)因素不完全明確；因素關(guān)系不完全清楚；系統(tǒng)的作用原理不完全明了.嚴格來講，灰色系統(tǒng)是絕對的，而黑色與白色系統(tǒng)是相對的.灰色系統(tǒng)理論與統(tǒng)計分析方法的區(qū)別在于：前者致力于現(xiàn)實規(guī)律的探討，后者致力于歷史規(guī)律的研究.灰色系統(tǒng)與模糊數(shù)學的區(qū)別在于對系統(tǒng)內(nèi)涵和外延處理態(tài)度的不同，研究對象內(nèi)涵與外延性質(zhì)的不同.灰色系統(tǒng)著重外延明確，內(nèi)涵不明確的對象.對于家紡流行色系統(tǒng)，影響其變化的因素很多，有已知的，也有不明確的.因此，家紡流行色系統(tǒng)是灰色系統(tǒng)[9]，從預(yù)測的不確定性方面來講，采用灰色系統(tǒng)對家紡流行色進行趨勢預(yù)測是恰到好處的.

1.2 馬爾科夫鏈

馬爾科夫模型是一種隨機時間序列分析法.對每一個固定的時間t，函數(shù)x(t)是隨機變量，則稱x(t)是隨機過程.當隨機過程在時刻t=i所處的狀態(tài)已知，過程在時刻t=i+1所處的狀態(tài)只與ti時刻狀態(tài)有關(guān)，而與ti時刻以前的狀態(tài)無關(guān)，那么此隨機過程即為馬爾科夫鏈.馬爾科夫模型是通過對事物不同狀態(tài)的初始概率與狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移概率的研究來預(yù)測事物未來狀態(tài)的一種數(shù)學方法[10].灰色預(yù)測的殘差具有隨機性，從而滿足馬爾科夫鏈的使用要求.因此，運用馬爾科夫過程對灰色預(yù)測的初步結(jié)果進行殘差修正具備理論的可行性.

1.3 灰色馬爾科夫建模

1.3.1 建模原理

設(shè)有原始時間序列，滿足條件X(0)(k)≥0,k=1,2,…，n,則可以通過如下步驟實現(xiàn)GM(1,1)的建模.

記原始序列為：X(0)={X(0)(1),X(0)(2),…,X(0)(n)}

1)原始時間序列一般都具有隨機性，不能直接用于建模，有時可能需要對其進行平滑處理.對原始序列X(0)做一階累加生成，能將隨機序列轉(zhuǎn)化為單調(diào)增長序列.

X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)},

(1)

2)檢驗生成序列X(1)的準指數(shù)規(guī)律性

(2)

當k>3時，生成序列X(1)的σ(1)(k)∈[1,1.5]，則生成序列X(1)的準指數(shù)規(guī)律滿足建模條件，此時才能對原始序列的生成序列X(1)建立灰色預(yù)測模型.

3)建立灰色預(yù)測模型

(3)

其中，a是白化系數(shù)，它反映了序列的發(fā)展態(tài)勢，a∈[0,1]；u為內(nèi)生控制灰數(shù).

4)利用最小二乘法擬合得到系數(shù)向量

(4)

其中YN=[x(0)(2),x(0)(3),…，x(0)(n)]T,

5)求解微分方程，得到灰色GM(1,1)預(yù)測模型的時間響應(yīng)公式

(5)

6)對式(5)做一次累減生成，還原出原始序列X(0)的預(yù)測值

(6)

7)馬爾科夫殘差修正模型

設(shè)家紡流行色預(yù)測誤差的變化是個隨機過程，記為Zn(n=1,2,…，N),誤差所處于狀態(tài)為En，對于N和所有的狀態(tài)E1、E2、…、EN，當前狀態(tài)Ei的概率只與前一個狀態(tài)Ei-1有關(guān)，且狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)移是隨機的，因此，可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣來描敘所有的狀態(tài)轉(zhuǎn)移可能性.在所有狀態(tài)下，Pij(i,j=1,2,…，n)排成的矩陣為

根據(jù)灰色模型的初步預(yù)測結(jié)果，可獲得歷年預(yù)測結(jié)果的相對誤差，然后將相對誤差劃分為幾個狀態(tài)區(qū)間，確定轉(zhuǎn)移矩陣，便可根據(jù)某一年份所處狀態(tài)來預(yù)測下一年份可能出現(xiàn)的狀態(tài)，再對各個狀態(tài)所處區(qū)間范圍進行加權(quán)平均.設(shè)初始時刻的狀態(tài)概率向量為S(0)=(P1,P2,…，Pn),則下一時刻的系統(tǒng)分布為S(1)=S(0)*P,依此類推，可得到k時刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)向量為S(k)=S(0)*Pk，這樣就可以利用概率向量的值進行加權(quán)運算，進而得到馬爾科夫模型殘差修正值以及最終預(yù)測值.

8)模型檢驗

檢驗GM(1,1)模型的精度，一般采用后驗差檢驗.后驗差檢驗是根據(jù)模型預(yù)測值與實際值之間的統(tǒng)計情況進行檢驗的方法，這是從概率預(yù)測方法中移植過來的.以殘值ε為基礎(chǔ)，根據(jù)各期殘差絕對值的大小，考察殘差較小的點出現(xiàn)的概率，以及與預(yù)測誤差方差有關(guān)指標的大小.計算過程如下：

設(shè)歷史序列為x(0)(k)，預(yù)測值序列為

則可得后驗差檢驗的二個重要指標值，即后驗差比值C，小誤差概率P，且

(7)

(8)

指標C越小越好，表明盡管歷史數(shù)據(jù)很離散，而模型所得的殘差值并不太離散，即模型對實際值的逼近程度越好.指標P越大越好，表明殘差與殘差平均值之差小于給定值0.675S2的點較多，即預(yù)測值分布越均勻.根據(jù)C與P兩個指標，可以綜合評定預(yù)測模型的精度，如表1所示：

表1 灰色GM(1，1)預(yù)測模型等級評價Tab.1 Level evaluation of grey GM (1, 1) prediction model

1.3.2 預(yù)測方案設(shè)計

灰色建模過程中所選用的數(shù)據(jù)對象不同，得到的模型參數(shù)也就不同，建立的灰色預(yù)測模型不一樣，這其實是灰色預(yù)測模型對特定條件下系統(tǒng)內(nèi)在規(guī)律的反映.色彩作為家紡產(chǎn)品設(shè)計過程中的重要元素，它有其固有的特點：季節(jié)性和延續(xù)性.近年來家紡流行色的色彩趨勢由10種色相成份所領(lǐng)航，分別是綠黃色、黃色、黃紅色、紅色、紅紫色、紫色、紫藍色、藍色、藍綠色、綠色.因此，首先以國際流行色權(quán)威機構(gòu)國際色彩委員會發(fā)布的2007-2013年的春夏流行色定案為分析對象，得到所有色彩中各個色相成份歷年所占的市場份額[11-12].為了強化原始序列的大致趨勢，削弱原始序列中異常值的影響，即隨機性過大，還需要對統(tǒng)計分析的結(jié)果進行平滑處理，得到適合建模的初始數(shù)據(jù).然后選取連續(xù)5年春夏季度藍色經(jīng)過平滑處理之后的市場份額序列建立灰色預(yù)測模型.圖1描述了對藍色進行灰色馬爾科夫預(yù)測的流程.

圖1 灰色馬爾科夫預(yù)測流程圖Fig.1 Forecast flow chart of Grey-Markov model

第一步，以藍色2007-2011年春夏季度的市場份額作為原始序列，并對原始序列進行平滑處理，檢驗其是否滿足建模條件，然后應(yīng)用滿足建模條件的序列進行建模，得到預(yù)測模型.平滑處理的計算公式如下[13]：

k=2,3,…，n-1.

(9)

對于兩端點的計算可采用如下公式：

(10)

(11)

第二步，以藍色2012年春夏季度的市場份額作為模型精度的檢驗數(shù)據(jù)，應(yīng)用P和C來評定模型的精度等級，并通過計算得到2012年春夏季度藍色的市場份額預(yù)測值與實際值之間的相對誤差.

第三步，剔除2007年的數(shù)據(jù)，增加2012年的數(shù)據(jù)，構(gòu)建2008～2012年新的數(shù)據(jù)序列.按照第一步與第二步的順序構(gòu)建新的模型，對2013年春夏季度藍色的市場份額進行預(yù)測.

第四步，依次類推，直到實現(xiàn)對2014年春夏季度藍色的市場份額預(yù)測.

第五步，根據(jù)歷年預(yù)測結(jié)果的相對誤差建立馬爾科夫殘差修正模型，來對各個預(yù)測值進行修正，形成最終的預(yù)測值.

灰色馬爾科夫預(yù)測模型對流行色的預(yù)測是逐個進行的，同樣可以采用相同的流程來對其它色彩下一年春夏季度的市場份額進行預(yù)測.

2 實驗案例分析

2.1 采用GM(1，1)預(yù)測

以國際流行色權(quán)威機構(gòu)國際色彩委員會發(fā)布的2007～2013年的春夏流行色定案作為數(shù)據(jù)來源，選取了其中的藍色作為建模對象，按照上述預(yù)測方案進行具體建模.2007～2013藍色春夏季度市場份額的原始數(shù)據(jù)如表2所示.

表2 2007～2013藍色春夏季度市場份額Tab.2 Market share of blue in the spring and summer quarter for the year of 2007～2013

模型對2012～2014年藍色春夏季度的市場份額進行預(yù)測的結(jié)果如表3所示.

表3 GM(1,1)預(yù)測結(jié)果

由表3可知：上述各個原始序列建立的灰色模型等級基本上都是三級及以上，只有2009～2013年原始序列建立的灰色模型等級為三級，說明灰色建模能夠及時補充最新信息，進行動態(tài)建模，對環(huán)境、參數(shù)等隨機的非線性干擾具有一定的自適應(yīng)能力.因此，對藍色進行灰色建模是符合建模要求的.

2.2 馬爾科夫模型進行殘差修正

根據(jù)灰色模型的初步預(yù)測結(jié)果，可獲得歷年預(yù)測結(jié)果的相對誤差，然后將相對誤差劃分為幾個狀態(tài)區(qū)間.

1) 相對誤差在-53%至-21%之間，表示預(yù)測值被嚴重低估，稱為狀態(tài)1.

2) 相對誤差在-21%至-0%之間，表示預(yù)測值被正常低估，稱為狀態(tài)2.

3) 相對誤差在0%至21%之間，表示預(yù)測值被正常高估，稱為狀態(tài)3.

4) 相對誤差在21%至53%之間，表示預(yù)測值被嚴重高估，稱為狀態(tài)4.

歷年的預(yù)測結(jié)果如表4所示.

表4 GM(1，1)預(yù)測值、殘差以及狀態(tài)劃分Tab.4 GM(1,1) prediction results,residual and state division

對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為

實驗以2011～2013年春夏季度的原始數(shù)據(jù)為測試數(shù)據(jù)，用以檢驗修正模型的改進效果.由表4可知，初始狀態(tài)向量S0=[0 0.5 0.25 0.25]，從而可以得到2011～2013年的預(yù)測狀態(tài)向量如表5所示.

表5 2011～2013年春夏季度藍色預(yù)測狀態(tài)向量Tab.5 Prediction state vector of blue in the spring and summer quarter for the year of 2011～2013

利用馬爾科夫殘差修正模型對2011～2013年的藍色市場份額預(yù)測值進一步修正，可得最終預(yù)測值如表6所示.

表6 灰色模型與灰色馬爾科夫模型預(yù)測結(jié)果對比Tab.6 Comparison of predicted results between grey model and Grey-Markov model

由表6可以看到，經(jīng)過馬爾科夫殘差修正模型修正之后，雖然2011年預(yù)測誤差變大了，但是對2012與2013年的預(yù)測精度都有所提高.這說明了灰色馬爾科夫預(yù)測模型對于家紡流行色的趨勢預(yù)測相比單一的GM(1,1)具有更好的趨勢外推能力，更適合用于家紡流行色的長期預(yù)測.

3 結(jié) 論

本文提出了基于灰色馬爾科夫模型的家紡流行色趨勢預(yù)測研究.以國際流行色權(quán)威機構(gòu)國際色彩委員會發(fā)布的2007-2013年的春夏流行色定案為分析對象，采用灰色模型對未來家紡流行色-藍色的市場份額進行預(yù)測，并且通過后驗差檢驗法來探討此模型的預(yù)測精度及其建模的可行性，最后，應(yīng)用馬爾科夫模型對灰色預(yù)測的初步結(jié)果進行殘差修正.實驗結(jié)果表明，灰色馬爾科夫模型在流行色趨勢預(yù)測方面相比單一的灰色模型具有更好的趨勢外推能力，更適合用于家紡流行色的長期預(yù)測，且預(yù)測精度更高.研究中還存在以下一些不足：1) 創(chuàng)新性和繼承性是家紡產(chǎn)品流行色設(shè)計的基本原則，在今后的研究中應(yīng)該通過增加對春夏、秋冬季節(jié)定案的分析與預(yù)測，獲得對家紡流行色周期變化理論的驗證和應(yīng)用指導(dǎo)，以便于建立完整的家紡流行色預(yù)測體系；2) 家紡流行色受到多種復(fù)雜因素的影響，基于歷史數(shù)據(jù)的家紡流行色預(yù)測研究只是對現(xiàn)象的預(yù)測，并沒有深入到把握影響流行色發(fā)展趨勢的本質(zhì)，從而對其進行本質(zhì)的預(yù)測.在今后的研究中，應(yīng)該增加對影響因素與流行色內(nèi)在關(guān)聯(lián)的量化研究，以達到家紡流行色預(yù)測體系的智能化，真正做到精度預(yù)測.